圆锥曲线的焦半径解题技巧

第7讲 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式知识与方法1．椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：（1）10PF a ex =+；（2）20PF a ex =−（记忆：左加右减）2．双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：（1）10PF ex a =+；（2）20PF ex a =−（记忆：左加右减）典型例题【例1】椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a =，2c =，e =，设()00,P x y ()000,0x y >>，则10PF x =，20PF =，由12PF PF ⊥可得222212012412163PF PF x F F +=+==，解得：0x =代入椭圆方程得01y =，故)P .【答案】)变式1 椭圆22162x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】由题意，a ，2c =，3e =，设点P 的恒横坐标为0x ，则103PF x =，20PF=，12F PF∠为钝角2222121200412163PF PF F F x x⇒+<⇒+<⇒<<.【答案】(变式2 椭圆22162x y+=的左、右焦点分别为1F、2F，椭圆上的一点P满足123PF PF=，若P在第一象限，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，a=，2c=，e=，设()00,P x y()000,0x y>>，则10PF x=，20PF=，120003332PF PF x⎫=⇒=⇒=⎪⎪⎭，代入椭圆方程得0y，所以32P⎛⎝⎭.【答案】322⎛⎫⎪⎪⎝⎭变式3 椭圆22162x y+=的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，则12PF PF⋅的取值范围为_______.【解析】由题意，a=，2c=，3e=，设()00,P x y，其中x≤≤则10PF=，20PF x=，所以[]2120262,63PF PF x⋅=−∈【答案】[]2,6变式4 （2019·新课标Ⅲ卷）设1F、2F为椭圆22:13620x yC+=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若12MF F为等腰三角形，则M的坐标为_______.【解析】解法1：12MF F为等腰三角形，点M在第一象限12MF MF⇒>，且26MF a<=，又128F F=，所以112MF F F≠，故只能1128MF F F==，设()00,M x y()000,0x y>>，则()2200220046413620x yx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得：03xy=⎧⎪⎨⎪⎩，所以(M.解法2：12MF F为等腰三角形，点在M第一象限12MF MF⇒>，且26MF a<=，又128F F=，所以112MF F F≠，故只能1128MF F F==，设()00,M x y ()000,0x y >>，由椭圆焦半径公式知102683MF x =+=，解得：03x =，代入椭圆方程得0y =(M【答案】(【例2】双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足1235PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，1a =，b =，2c =，2e =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−， 因为1235PF PF =，所以00321521x x +=−，解得：02x =或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y =±，所以P 的坐标为()2,3±. 【答案】()2,3±变式1 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】12F PF ∠为钝角12cos 0F PF ⇒∠<，而22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +−∠=⋅，所以22212120PF PF F F +−<由题意，1a =，b =2c =，2e =，124F F =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−，所以22002121160x x ++−−<，解得：0x <<，又01x ≤−或01x ≥，且当01x =±时，显然么12180F PF ∠=︒，所以0711,2x ⎛⎫⎛⎫∈− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】711,22⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足15PF =，则12PF F 的面积为_______.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，2e =，设()00,P x y ，则10215PF x =+=，解得：02x =或3−，当02x =时，代入双曲线方程可求得03y =±，所以12120162PF F SF F y =⋅⋅=， 当03x =−时，代入双曲线方程可求得0y =±1212012PF F S F F y =⋅⋅= 解法2：由题意，1a =，b =2c =，所以124F F =当点P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以23PF =， 显然2222121PF F F PF +=，所以212PF F F ⊥，从而122121134622PF F SPF F F =⋅=⨯⨯=， 当点P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以27PF =，从而2221122121121cos 25PF F F PF PF F PF F F +−∠==−⋅，所以12sin PF F ∠==，从而121121211sin 5422PF F SPF F F PF F =⋅⋅∠=⨯⨯=综上所述，12PF F 的面积为6或 【答案】6或变式3 双曲线2213y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线第一象限上的一点P 满足12PF F 为等腰三角形，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意1a =，b 2c =，2e =，设()00,P x y ()001,0x y >>， 则1002121PF x x =+=+，2002121PF x x =−=−，124F F =，因为12PF F 为等腰三角形，且显然12PF PF ≠，所以112PF F F =或212PF F F =， 若112PF F F =，则0214x +=，解得：032x =，代入双曲线方程解得0y =从而32P ⎛ ⎝⎭，若212PF F F =，则0214x −=，解得：052x =，代入双曲线方程解得0y =，从而5,22P ⎛ ⎝⎭，所以点P 的坐标为322⎛ ⎝⎭或5,22⎛ ⎝⎭.【答案】32⎛ ⎝⎭或52⎛ ⎝⎭强化训练1.（★★）椭圆22:182x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】显然a =，c =2e =，设()00,P x y ()000,0x y >>，则102PF x =，20PF =，222212121*********PF PF PF PF F F x x ⊥⇒+=⇒+=⇒=，代入椭圆方程得03y =，故33P ⎛ ⎝⎭.【答案】33⎛ ⎝⎭2.（★★）椭圆2214520x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆第一象限上的一点P 满足12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a =e =，设()00,P x y ，则10PF =，20PF =−，1210F F =，因为12PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故220010033x x ⎛⎫⎛⎫+−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：03x =±，代入椭圆方程得04y =±， 结合P 在第一象限可得点P 的坐标为()3,4. 【答案】()3,43.（★★）椭圆22142x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足123PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，2a =，e =，设()00,P x y ，则102PF =+，202PF x =，因为123PF PF =，所以00232⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，解得：0x =，代入椭圆方程得01y =±，故点P 的坐标为)1±【答案】)1±4.（★★）椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.【解析】设()00,P x y ，则102PF =，202PF =−，易求得12F F =， 因为12F PF ∠为钝角，所以22212121212cos 02PF PF F F F PF PF PF +−∠=<⋅，故2221212PF PF F F +<，从而2200221222x x ⎛⎫⎛⎫++−< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：0x <.【答案】33⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭5.（2021·新高考Ⅰ卷·★★）已知1F 、2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A.13 B .12 C .9 D.6【解析】解法l ：由题意，椭圆的长半轴长为3，所以126MF MF +=，故2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12MF MF =时等号成立，所以12MF MF ⋅的最大值为9.解法2：由题意，3a =，2b =，c ，离心率3e =，设()00,M x y ，033x −≤≤，则1033MF x =+，2033MF x =−，所以2120599MF MF x ⋅=−， 故当00x =时，12MF MF ⋅取得最大值9. 【答案】C6.（★★）双曲线22122x y −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足123PF PF =，则点P 的坐标为_______.【解析】由题意，a b==，2c=，e=，设()00,P x y，则10PF，20PF=，因为123PF PF=，00=，解得：2x=或12，又x≥2x=，代入双曲线方程可求得y=，即(2,P.【答案】(2,7.（★★★）设双曲线22:1412x yC−=的左、右焦点分别为1F、2F，若双曲线C的左支上的点P到右焦点的距离等于12，则12tan PF F∠=_______.【解析】由题意，2a=，4c=，112PF=，由双曲线定义，214PF PF−=，所以18PF=，又1228F F c==，所以2221122121121cos28PF F F PFPF FPF F F+−∠==⋅，故12sin PF F∠==121212sintancosPF FPF FPF F∠∠==−∠.解法2：由题意，2a=，b=4c=，离心率2e=，设()00,P x y，则202212PF x=−=，解得：5x=−或7，又点P在双曲线C的左支上，所以5x=−，代入双曲线方程可求得y=±如图，不妨设P在x轴上方，则y=PQ x⊥轴于Q，则0110tan4PQ yPFQQF x∠===−−，显然121PF F PFQπ∠=−∠，所以()1211tan tan tanPF F PFQ PFQπ∠=−∠=−∠=−.【答案】−8.（★★★）双曲线2213xy−=的左、右焦点分别为1F、2F，双曲线上的一点P满足2PF=则12PF F 的面积为_______.【解析】解法1：由题意，a =1b =，2c =，e =， 设()00,P x y，则10PF =解得：03x =或0，显然0x ≤或0x ≥03x =，代入双曲线方程可求得0y =，所以1212011422PF F SF F y =⋅=⨯= 解法2：由题意，a =1b =，2c =，所以124F F =， 若点P在双曲线的左支上，则由双曲线定义，21PF PF −=又2PF =1PF =若点P在双曲线的右支上，则由双曲线定义，21PF PF −=，又2PF =，所以1PF =，所以222212121212cos 23PF F F PF PF F PF F F +−∠==−⋅，故21sin PF F ∠==，从而122122111sin 4223PF F SPF F F PF F =⋅⋅⋅∠=⨯=【答案】。

圆锥曲线二级常用焦半径定理圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，它在几何学、物理学和工程学中有着广泛的应用。

在研究圆锥曲线的性质时，我们经常会遇到焦半径及其相关定理的概念。

本文将介绍圆锥曲线二级常用焦半径定理，希望能为读者提供一些指导意义。

圆锥曲线是由一个移动的直线在平面上绕着一个固定点旋转而形成的。

这个固定点被称为焦点，而直线称为准线。

根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

椭圆是一种封闭曲线，它的特点是离焦点距离之和是一个常数。

关于椭圆的焦半径定理如下：椭圆上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之和等于椭圆的焦半径。

具体来说，我们可以以椭圆的准线上一点为起点，任意作一条切线与椭圆相交于另一点，然后将这两个点与椭圆焦点连线，我们可以发现这个三角形的两条直角边之和是一个定值，即椭圆的焦半径。

双曲线是一种开口的曲线，它的特点是离焦点距离之差是一个常数。

关于双曲线的焦半径定理如下：双曲线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个直角三角形，且这个直角三角形的两条直角边的长度之差等于双曲线的焦半径。

与椭圆相似，我们以双曲线的准线上一点为起点，任意作一条切线与双曲线相交于另一点，然后连结这两个点与双曲线的焦点，我们可以发现这个三角形的两条直角边之差是一个常量，即双曲线的焦半径。

抛物线是一种开口向上或向下的曲线，它的特点是离焦点距离等于焦准距的一半。

因此，抛物线的焦半径定理可以简单地表述为：抛物线上的任意一条切线与准线和焦点之间的连线构成一个等腰三角形，且这个等腰三角形的底边长度等于焦准距的一半。

同样，我们以抛物线的准线上一点为起点，任意作一条切线与抛物线相交于另一点，然后连结这两个点与抛物线的焦点，我们可以发现这个三角形的底边长度正好是焦准距的一半。

通过了解圆锥曲线二级常用焦半径定理，我们可以更好地理解圆锥曲线的性质和特点。

椭圆椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分APFiF?在点P 处的外如，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除公 长轴的两个端点.3. 以議点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 】为肓.径的圆必与以长轴为宜径的圆内切.5. 若&(%,儿)在椭圆匚+ — = 1上，则过&的椭圆的切线方程是卑+冷=1.n b a b6.若P D (A -0,V 0)在椭圆^+2T =1外，则过Po 作桶圆的两条切线切点为円、P2,贝9切点弦吋2的直线a b 方程是年+臂=1.a h2 Q7.椭岡3 + S = l (a>b>0)的左右焦点分别为F 】，F2，点P 为椭圆上任恿一点乙FfF 厂y ,则椭恻a b的焦点角形的面积为S“ =h 2tan^・1 z 2228.椭圆冷+冷=1 <a>b>0)的焦半径公式：异b 2 I MF X 1= a +• J MF 2 1= a -(F,(-c,0) , F 2(c,0) M(x 0> j a )).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 为点，A 为椭圆长轴匕一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF 丄NF.过椭圆一个焦点F 的直线与椭恻交于两点氏Q,A f . A?为橢圆k 轴上的顶点，A|P 和A?Q 交丁点皿A?P 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. F y 2h 2AB 足椭圆—+ —= 1的不平行于对称轴的弦，儿)为AB 的中点，则k aM ^k Ali =- — a ■方-a"即K 舶学。

a 几则被Po 所平分的中点弦的方程足写+卑二斗+牛. a b a b椭圆一(会推导的经典结论)10. 11.12.若P 0(A 0,儿)在椭圆鼻+士 = 1内, a13. 若尸畑儿)在椭圆则过Po 的弦中点的轨迹方程是1.椭圆^7 + ^ = 1(a>b>o)的两个顶点为州(-4())，2(S O)，与y 轴平行的直线交椭圆于P|・a b'X 2 y 2P2时AjP|与A 2P 2交点的轨迹方程是飞- r = 1・/ b 22 22.过椭圆―+耳"(a>0, b>0)上任一点儿)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,Ca bh 2x两点，则直线BC 有定向且匕厂―L(常数).3. 若P 为椭圆3+斗=| (a>b>0) h 异于长轴端点的任一点,F b F 2是焦点，ZPFF O =« ,a b 2_ZPF 2F { = /J ,则tan —e<7t —・a + c2 21 24.设椭圆±r + 2- = l (a>b>0)的两个焦点为Fi 、F 2?P (异于长轴端点)为椭圆上任恿一点，在s1n 6?cAPF1F2中，记上件尸尺=伉，乙PF\F&=卩，乙Ff2P = y ，则有——;————=一=宅.•*■sin ft + sin / a125. 若椭恻二+匚二1 (a>b>0)的左、右焦点分别为Fj. F 2,左那线为L,则肖0V 虫石-1时, a" h可在椭恻上求一点P ，使得PR 是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.r v6.P 为椭圆〒沽I (5>。

探究圆锥曲线的焦半径和焦点弦长公式作者：范光龙来源：《中学课程辅导·教师通讯》2014年第23期在高中，关于圆锥曲线中的焦半径和焦点弦是学习的重点和难点，也是高考热点话题，我们先来学习圆锥曲线中的焦半径和焦点弦的性质，再来看考情，看看他在高考中的地位和作用。

我们先看抛物线这样的性质。

那么圆锥曲线是否具有上面的性质1。

我们先看以下双曲线。

在双曲线中，F为右焦点，AB为过F的焦点弦，CD为椭圆的右准线，与x轴交于点E。

AD，BC分别垂直准线交准线于D，C。

连接BD交x轴于G，直线AB的倾斜角为θ。

过B作BH垂直于DA的延长线于H，e为双曲线的离心率，p= 为双曲线的焦准距。

我们用平面几何的方法证明，在以上双曲线中，根据相似比，可以得到：EG除以BC等于DG除以DB，而FG除以FB等于DA除以BA，再将DA换成FA除以e，再化简得：FG除以BC等于DG除以DB，从而得到FG等于EG，所以G为EF的中点。

分析：这道题的高考得分率较低，而且得分的学生花的时间较长，非常影响高考总成绩，原因是学生对于圆锥曲线的焦半径和焦点弦长公式非常陌生。

如果我们掌握好圆锥曲线的焦半径和焦点弦长公式的性质，根据条件|AF1|=3|BF1|，和性质2，解方程组，解出|AF1|，然后，|AF1|，|F1F2|，|AF2|用勾股定理，直接算出b的值。

分析：本题如果用正常思路，运算量非常大。

我们可以用条件结合性质2计算出弦长|AB|，再带入性质3，很容易算出结果。

下面我们列举近几年来高考中用到次性质的问题：（1）2007年重庆卷第16题；（2）2008高考江西卷理科第15 题；（3）2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题；（4）2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题；（5）2010年高考辽宁卷理科第20题。

通过以上论述，圆锥曲线的焦半径和焦点弦的性质是非常的重要，所以我们很有必要学好他。

（作者单位：安徽省巢湖市第一中学）。

圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 2121y y k x x -=- ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =③夹角公式：直线111222::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离 ①222121()()AB x x y y =-+-②2121AB k x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-③12AB y =- （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）111222::l y k x b l y k x b =+=+①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且（Ⅱ）11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=①1212120l l A A B B ⊥⇔+=② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111222A B C A B C =≠者（2220A B C ≠）两平行线距离公式1122::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩距离d = 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩距离d =2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

焦半径公式推导及应用在我们学习圆锥曲线的过程中，焦半径公式可是个相当重要的“小伙伴”。

今天咱们就一起来好好琢磨琢磨这个焦半径公式的推导以及它在解题中的神奇应用。

先来说说啥是焦半径。

简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的一点到焦点的距离。

那对于椭圆来说，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是椭圆上的任意一点。

那焦半径$|PF_1|$和$|PF_2|$咋算呢？咱们一步步来。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴$2a$，所以有$|PF_1| + |PF_2| = 2a$。

再根据两点间的距离公式，$|PF_1| = \sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2}$，$|PF_2| = \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$。

把这俩式子相加得到：$\sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2} + \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2} = 2a$。

经过一番整理和化简（这过程可有点复杂，就不详细展开啦），最终就能得到焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$。

这里的$e$是椭圆的离心率，$e = \frac{c}{a}$。

咱再来说说双曲线。

设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是双曲线上的任意一点。

同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长$2a$，所以有$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。

圆锥曲线相关性质及解题技巧椭圆与双曲线的性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。

圆锥曲线焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式是用来计算圆锥曲线的焦半径的公式。

它是圆锥曲线的重要参数，其长度反映了圆锥曲线的大小。

也就是说，焦半径越大，圆锥曲线越大。

圆锥曲线焦半径公式是一个复杂的数学公式，它是由三个参数组成，分别是离心率e、曲率半径R和弦长S。

e表示圆锥曲线的离心率，R表示圆锥曲线的曲率半径，S表示圆锥曲线的弦长。

圆锥曲线焦半径公式可以用来计算圆锥曲线的焦半径，公式如下： F=R[1-(1-e^2)^(3/2)]/[e(1-e^2)^(1/2)]
其中，F表示圆锥曲线的焦半径，e表示圆锥曲线的离心率，R表示圆锥曲线的曲率半径。

由于圆锥曲线焦半径公式包含三个参数，因此计算出圆锥曲线的焦半径需要计算三个参数的值，即e、R和S的值。

可以根据圆锥曲线的特性来求解这三个参数的值。

当焦半径的值计算出来之后，就可以知道圆锥曲线的大小了。

焦半径的值可以用来衡量圆锥曲线的大小，它可以帮助我们更好的了解圆锥曲线的特性，并用来分析圆锥曲线的性能。

总之，圆锥曲线焦半径公式是一个有用的公式，它可以帮助我们计
算出圆锥曲线的焦半径，从而了解圆锥曲线的大小，并用来分析圆锥曲线的性能。