2014年高考真题——文科数学(重庆卷)精校版 Word版含答案

重庆市2014年初中毕业暨高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，可知17-的相反数是17，故选A ． 【考点】相反数的定义 2.【答案】B【解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减得64642222x x x x -÷==，故选B ． 【考点】同底数幂的除法运算 3.【答案】A【解析】因为二次根式中被开方数是非负数，即0a ≥，故选A 【考点】二次根式中被开方数的取值范围 4.【答案】C【解析】n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒，将5n =代人即得五边形的内角和是540，故选C ． 【考点】多边形的内角和 5.【答案】D【解析】气温最低即数值最小，8-在这四个数中处在数轴的最左边，故8-最小，故选D 【考点】有理数的大小比较 6.【答案】B【解析】将方程的两边向时乘最简公分母1x -得整式方程21x =-，解得3x =.经检验，3x =是原分式方程的解，故选B ．【考点】分式方程的解法 7.【答案】D【解析】根据方差越小越稳定，而0.020.03 0.050.11<<<，故丁的成绩最稳定，故选D 【考点】方差的意义 8.【答案】B【解析】因为//AB CD ，根据“两直线平行，同位角相等”得142EFD ∠=∠=︒，又因为FG FE ⊥，所以2180904248∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【考点】平行线的性质及垂直的定义，OA OB =43AB OC =242=3π.所以22ax a ，由①得a 只能等于【考点】一次函数图象与坐标轴的交点、解不等式组、三角形的面积计算等，DC BC =62210BC CE BE ⨯=CF BE ⊥︒,OCF ∴∠+∠又OBM ∠+BM CF =等腰R MF【解析】解：AD BC ⊥tan 4BAD ∠=,12AD =9BD ∴=CD BC ∴=2(1)(x 1)x x -+-1111x +-+补图如下：(2)用1A ,2A 表示餐饮企业，1B ,2B 表示非餐饮企业，画树状图如下：10%)150(19-24．【答案】证明：如图) BAC ∠=12∴∠=∠,AB AC =,∴∠B FCA ∠=∠ABF ∴△BE CF ∴=(2)①过E 45B ∠=AD BC ⊥2BM ED =⊥②AD BC∠=∠15=MC MC78∴∠=∠,∠=BAC∴∠=ACB∴∠=∠57∠=ADE【解析】【考点】全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角乎分线的性质等1AM ME=⨯12x=-，(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，2)5AB =,2BD AB =+1122ABD AB AD S BD AE ==△ 解得4AE =2222543BE AB AE ∴=-=-=若点Q 在线段BD 的延长线上时，如图1，34∠=∠'A Q A ∴=在Rt BF ∆若点Q 在线段BD 上，如图2：1=3∠∠，3=5+∠∠35∴∠=∠4A ∴∠=∠'5F Q ∴='1A ∠=∠设QB QA =在Rt BF ∆③当PD PQ =时，如图4，有1=2=3∠∠∠1A ∠=∠253DQ ∴=11 / 11。

2014年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．3．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则解：分层抽样的抽取比例为，×5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）6．（5分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）V=×﹣×8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，22B===+2+2＞2∴a+b=a+=a+=a+3++7+7a=4+210．（5分）（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）（﹣，﹣]（﹣]（﹣]（﹣]，x=﹣＜，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B= {3，5，13}．12．（5分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=10．解：∵=∴∴13．（5分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．ωω（，﹣）图象上每一点的横坐标缩短为个单位长度得到函数﹣ω﹣（x+（（）=sin=故答案为：14．（5分）（2014•重庆）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6．=15．（5分）（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．，联立得，联立得×，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．∴17．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．P=18．（13分）（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．求出sinC，且，cosC==；22=2sinCabsinC=sinC19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．y=+﹣﹣，x﹣a=+﹣﹣﹣=20．（12分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．BAD=，BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得BAD=，（BM=OBM=（，，=，=，，即PO==•OM=S PO=21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．|=，于是可求得椭圆的标准方程；与椭圆﹣=2，得==，得，，因此，所求椭圆的标准方程为与椭圆，所以+﹣，即3﹣﹣得+1|=，==。

2014年重庆高考数学试题（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1•实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）A 第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•在等差数列｛a n ｝中，印=2,比a ^ 10，则內=（）A.5B.8C. 1 0D.143•某中学有高中生 3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取 一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取 70人，贝U 门为（）A100 B. 1 50 C.200 C.2504•下列函数为偶函数的是（ ）5•执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为6.已知命题P :对任意x R ，总有丨x 1 - 0 ；q ： "x 二1是方程"x 2=0"的根则下列命题为真命题的是（ ）A p _q B._p q C._ p q D. p q7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A. f(x) =x -1B. f ( x> 3x xC.f (x) =2x -2」A.10B. 1 7C.19C.362 2 (|PF i 1 1 PF 2|) =b -3ab,则该双曲线的离心率为() A.、2B. ,15C.4D. . 17 9. 若 log (3a 4b )log 2 . ab,则a b 的最小值是() A.6+273 B .7+2^3 C .6+473 D.7+4J313,x (-1,0] 口 亠 f(x)二 x 1 ,且g(x) = f (x)-mx-m 在(-1,1] I10. 已知函数 x,x ・(0,1]内有且仅有两个不同的零点, 则实数m 的取值范围是( )11.已知集合 A 咄1,2,3,5,8}, B -{1,3,5,8,13},则Ac B = 12已知向量a 与b 的夹角为60，且 a =(-2,-6), | b |=心0,则ab =f x =sin ，x 亠「1 八 >0，；V 2 2丿图像上每一点的横坐标缩短为原来的8.设F i , F 2分别为双曲线的左、右焦点，学科 网双曲线上存在一点 P 使得 9— 1 「,一2］-（咛 B.11 一 1 (〒莎(哙 9 2（-；,-2］ 一（0,：］C. 4 311—2 』訂］化］13.将函数 A.12 B.18 C.24 D.30半，纵坐标不变，再向右平移6的单位长度得到y =si n X的图像，则<6丿2 214.已知直线x_y・a=0与圆心为C的圆x y .2x_4y_4=0相交于A ,B两点，且。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）文科数学一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（）第一象限第二象限第三象限第四象限2.在等差数列中,，则（）3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（）4.下列函数为偶函数的是（）5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为6.已知命题对任意，总有；是方程的根则下列命题为真命题的是（）7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.308.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）A. B. C.4 D.9.若的最小值是（）A. B. C. D.10.已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题11.已知集合______.12.已知向量_________.13.将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移的单位长度得到的图像，则______.14.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.15.某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ （用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.（I）求及；（II）设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.17.（本小题满分13分.（I）小问4分，（II）小问4分，（III）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I）求频数直方图中的值；（II）分别球出成绩落在与中的学生人数；（III）从成绩在的学生中人选2人，求次2人的成绩都在中的概率.18.（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，且（1）若，求的值;（2）若，且的面积，求和的值.19.（本小题满分12分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值。

数学试卷 第1页（共4页）数学试卷 第2页（共4页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(文史类)数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =( )A .5B .8C .10D .143.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A .100B .150C .200D .250 4.下列函数为偶函数的是( )A .()1f x x =-B .2()f x x x =+C .()22x x f x -=-D .()22x x f x -=+5.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为 ( )A .10B .17C .19D .366.已知命题p ：对任意x ∈R ，总有||0x ≥；q ：1x =是方程20x +=的根.则下列命题为真命题的是( ) A .p q ∧⌝ B .p q ⌝∧ C .p q ⌝∧⌝D .p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .12B .18C .24D .308.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为 ( )A .2B .15C .4D .17 9.若42log 34)log a b ab +=(，则a b +的最小值是( )A .623+B .723+C .643+D .743+10.已知函数13,(1,0],()1,(0,1],x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A .91(,2](0,]42--UB .111(,2](0,]42--U C .92(,2](0,]43--UD .112(,2](0,]43--U 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.已知集合{3,4,5,12,13}A =，{2,3,5,8,13}B =，则A B=I . 12.已知向量a 与b 的夹角为60︒，且a (2,6)=--，|b|10=，则a g b = .13.将函数ππ()sin()(0)22f x x ωφωφ=+>-，≤＜图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到sin y x =的图象，则π()6f = . 14.已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为 .15.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=.求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[5060)，与[6070)，中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[5070)，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8a b c ++=.（Ⅰ）若2a =，52b =，求cos C 的值；（Ⅱ）若22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C +=，且ABC △的面积9sin 2S C =，求a 和b 的值.19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a ∈R ，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值.20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2AB =，π3BAD ∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.（Ⅰ）证明：BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F △的面积为2.（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.。

2014年重庆高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） .100A .150B .200C .250C 4．下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x xD f x -=+s 为（ ）.19C D ．366．已知命题 :p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ） .A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧A ．8．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ）A.2 B ．15 C ．4 D ．17 9．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+ B ．327+ C ．346+ D ．347+10．已知函数13,(1,0](),1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃--C ．]32,0(]2,49(⋃--D ．]32,0(]2,411(⋃--二．填空题11．已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______．12．已知向量a 与b 的夹角为60，且(2,6),||10a b =--=，则a b ⋅=_________． 13．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 14．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．15．某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分．（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．17．（本小题满分13分．（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人， 求次2人的成绩都在[)7060，中的概率． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a （1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C AB B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值． 19．（本小题满分12分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014·重庆卷(文科数学)一选择题1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5 B．8 C．10 D．143．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为() A．100 B．150C．200 D．2504．下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x5．执行如图1-1所示的程序框图，则输出s的值为()图1-1A．10 B．17C．19 D．366．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q7．某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为()图1-2A ．12B ．18C ．24D ．308．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15 C ．4 D.179．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 310．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 二填空题11． 已知集合A ＝{3，4，5，12，13}，B ＝{2，3，5，8，13}，则A ∩B ＝________． 12．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．13．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．14．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．15．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)三解答题 16．（本小题满分13分） 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .17． （本小题满分13分）20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1-3所示．图1-3(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．18． （本小题满分13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．19．（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 20．（本小题满分12分）如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ； (2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．图1-421．（本小题满分12分）如图1-5，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．图1-5。

2014·重庆卷(文科数学)1．[2014·重庆卷] 实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．B[解析] 由条件知复数在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限．2．[2014·重庆卷] 在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5 B．8 C．10 D．142．B[解析] 由题意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.3．[2014·重庆卷] 某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．2503．A[解析] 由题意，得703500＝n3500＋1500，解得n＝100.4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x4．D[解析] A中，f(－x)＝－x－1，f(x)为非奇非偶函数；B中，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)为非奇非偶函数；C中，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数；D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)为偶函数．故选D.5．[2014·重庆卷] 执行如图s的值为()A．10 B．17C．19 D．365．C[解析] 第一次循环结束，得s＝0＋2＝2，k＝22－1＝3；第二次循环结束，得s ＝2＋3＝5，k＝23－1＝5；第三次循环结束，得s＝5＋5＝10，k＝25－1＝9；第四次循环结束，得s＝10＋9＝19，k＝29－1＝17>10，此时退出循环．故输出s的值为19.6．[2014·重庆卷] 已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q6．A[解析] 由题意知p为真命题，q为假命题，则綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．7．[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为()A ．12B ．18C ．24D ．307．C [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5；截去的锥体的底面是两直角边的长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以该几何体的体积为V ＝12345－1312343＝24.8．[2014·重庆卷] 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15 C ．4 D.178．D [解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴4a 2＝b 2－3ab ，两边同除以a 2，得⎝⎛⎭⎫b a 2－3·b a－4＝0，解得b a ＝4，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋16＝17.9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 39．D [解析] 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b ＝(a＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3a b ，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.10．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 10．A [解析] 作出函数f (x )的图像，如图所示．函数g (x )＝f (x )－mx －m 的零点为方程f (x )－mx －m ＝0的根，即为函数y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)图像的交点．而函数y ＝m (x ＋1)的图像恒过定点P (－1，0)，由图易知有两交点的边界有四条，其中k PO ＝0，k P A ＝12，k PB ＝－2，第四条为过P 点的曲线y ＝1x ＋1－3的切线PC .将y ＝m (x ＋1)(m ≠0)代入y ＝1x ＋1－3，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，则由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝4m ＋9＝0，得m ＝－94，即k PC＝－94，所以由图可知满足条件的实数m 的取值范围是⎛⎭⎫－94，－2∪⎝⎛⎭⎫0，12.11．[2014·重庆卷] 已知集合A ＝B ＝{2，3，5，8，13}，则A ∩B ＝________．11．{3，5，13} [解析] 由集合交集的定义知，A ∩B ＝{3，5，13}． 12．[2014·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．12．10 [解析] ∵|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210，∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2101012＝10.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.14．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．14．0或6 [解析] ∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1，2)，半径为 3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝29－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －3|22＝3 2，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 15．[2014·重庆卷] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)15.932[解析] 设小张到校的时间为x ，小王到校的时间为y ，(x ，y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为Ω＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|152≤x ≤476，152≤y ≤476，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1313＝19.事件A 表示小张比小王早到5分钟，所构成的区域为A ＝(x ，y )x－y ≥112，152≤x ≤476，152≤y ≤476，即图中的阴影部分，面积为S A ＝121414＝132.这是一个几何概型问题，所以P (A )＝S A S Ω＝932.16．、[2014·重庆卷] 已知{a n }S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝24n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q＝23(4n－1)．17．、[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1-3所示．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率． 17．解：(1)据直方图知组距为10，由 (2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )10＝1，解得a ＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为20.0051020＝2. 成绩落在[60，70)中的学生人数为30.0051020＝3.(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60，70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．故所求概率为P ＝310.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.19．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．19．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.20．、[2014·重庆卷] 如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ； (2)若MP ⊥AP20．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2112cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2cos 6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2212cos 2π3＝214. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝1231＋121232 ＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝135 3832＝516. 21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22c .从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 22，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝53.圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文史类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014重庆，文1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(－2,1)，所以该点位于复平面的第二象限．故选B.2．(2014重庆，文2)在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()．A．5 B．8 C．10 D．14答案：B解析：由等差数列的性质，可知a1＋a7＝a3＋a5.因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8.故选B.3．(2014重庆，文3)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()．A．100 B．150 C．200 D．250答案：A解析：由题意知，抽样比为701= 350050，所以1=3500150050n，即n＝100.故选A.4．(2014重庆，文4)下列函数为偶函数的是()．A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x答案：D解析：由题意知，所给四个函数其定义域均为R，关于原点对称．由偶函数的定义知，选项A，B，C中函数均不满足f(－x)＝f(x)．而D选项中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，显然为偶函数，故选D.5．(2014重庆，文5)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为()．A．10 B．17 C．19 D．36答案：C解析：执行过程如下：k＝2，s＝0；经判断执行“是”，此时s＝0＋2＝2，k＝3；经判断执行“是”，此时s＝2＋3＝5，k＝5；经判断执行“是”，此时s＝5＋5＝10，k＝9；经判断执行“是”，此时s ＝10＋9＝19，k ＝17；经判断执行“否”，此时输出s ＝19.故选C.6．(2014重庆，文6)已知命题 p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根． 则下列命题为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧q D ．p ∧q 答案：A解析：由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以p 为假，q 为真．所以p ∧q 为真，p ∧q 为假，p ∧q 为假，p ∧q 为假．故选A.7．(2014重庆，文7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．12B ．18C ．24D ．30 答案：C解析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1截掉了三棱锥D －A 1B 1C 1，所以其体积V ＝VABC －A 1B 1C 1－VD －A 1B 1C 1＝12×3×4×5－1132⨯×3×4×3＝24.8．(2014重庆，文8)设F 1，F 2分别为双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF |－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )．A B C ．4 D 答案：D解析：由双曲线的定义知，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2，所以4a 2＝b 2－3ab ，即223=4b ba a-⋅，解得=4ba(－1舍去)．因为双曲线的离心率c e a ==所以e =.故选D.9．(2014重庆，文9)若4log (34)log a b =＋a ＋b 的最小值是( )． A． B．C． D．答案：D解析：由4log (34)log a b =＋2211log (34)log ()22a b ab =＋，所以3a ＋4b ＝ab ，即34=1b a+.所以3434()+77a ba b a b b a ba ⎛⎫=+=+≥⎪⎝⎭＋＋，当且仅当34a b b a +，即4a =，3b =+ D.10．(2014重庆，文10)已知函数()13,(1,0],1,(0,1],x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )．A ．91,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．111,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．92,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ D ．112,20,43⎛⎤⎛⎤--⎥⎥⎝⎦⎝⎦答案：A解析：由题意画出f (x )的图象，如图所示．令g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)，所以g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，可转化为y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)的图象在(－1,1]上有且仅有两个不同的交点．y ＝m (x ＋1)是过定点(－1,0)的一条直线，m 是其斜率．由数形结合知，符合题意的直线位于l 1(x 轴)与l 2之间和l 3与l 4(切线)之间． 因为l 4与y ＝f (x )相切，所以13(1)1m x x -=+＋有两个相等的实根，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0有两个相等的实根，即Δ＝9＋4m ＝0，解得94m =-. 设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，易求k 1＝0，212k =，k 3＝－2， 所以91,20,42m ⎛⎤⎛⎤∈-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2014重庆，文11)已知集合A ＝{3,4,5,12,13}，B ＝{2,3,5,8,13}，则A ∩B ＝__________. 答案：{3,5,13}解析：由已知条件，结合交集运算，可得A ∩B ＝{3,5,13}．12．(2014重庆，文12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，||=b 则a ·b ＝__________.答案：10解析：由题意得||=a所以ab ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝1102=. 13．(2014重庆，文13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ππ(0,)22ωϕ>-≤<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则π()6f ＝__________.答案：2解析：本题可逆推，由y ＝sin x 的图象推f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象．将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到πsin()6y x +＝的图象，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，得到()1πsin()26f x x =+的图象．所以ππππsin sin 612642f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14．(2014重庆，文14)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．答案：0或6解析：由题意，得圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离d ===|－3＋a |＝3，所以a ＝0或a ＝6. 15．(2014重庆，文15)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)答案：932解析：用x 轴表示小张到校时刻，用y 轴表示小王到校时刻，建立如图直角坐标系．设小张到校的时刻为x ，小王到校的时刻为y ，则x －y ≥5.由题意，知0≤x ≤20,0≤y ≤20，可得可行域如图所示，其中，阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校．由5,20x y x -=⎧⎨=⎩得A (20,15)．易知B (20,20)，C (5,0)，D (20,0)． 由几何概型概率公式，得所求概率1151592=202032ACD ODBES P S ∆⨯⨯==⨯正方形.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分)(2014重庆，文16)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .分析：通过已知条件，借助等差数列的通项公式以及前n 项和公式，即可求出a n 和S n ；在第(2)问充分利用第(1)问的结论，求出a 4，S 4并代入方程，求出q ，然后利用等比数列通项公式及前n 项和公式可求出结果．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1()(121)22n n a a n n ++-=＝n 2. (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0， 即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和112(41)13n n n b q T q (-)==--．17．(本小题满分13分，(1)小问4分，(2)小问4分，(3)小问5分)(2014重庆，文17)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．分析：由频率分布直方图各小矩形面积和为1，可列出关于a 的方程，然后解方程求出a 的值；在第(2)问中，利用第(1)问的结果，分别计算得出[50,60)与[60,70)的频率，然后根据频率公式求出频数；在第(3)问中，利用第(2)问的结果得出成绩在[50,70)的人数，然后分别用字母来表示来自[50,60)，[60,70)的人，并列出所有基本事件，再利用古典概型的概率公式求出概率．解：(1)据直方图知组距＝10，由(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝1，解得10.005200a ==. (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60,70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率为310p =. 18．(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分)(2014重庆，文18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8，(1)若a ＝2，52b =，求cos C 的值； (2)若22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C ==，且△ABC 的面积9sin C 2S =，求a 和b 的值．分析：先通过已知条件，求出c ，然后借助余弦定理求出cos C 的值；在第(2)问中，利用已知条件中的关系式，根据二倍角公式，得到sin A ，sin B ，sin C 之间的关系，然后借助正弦定理转化为边的关系，再结合已知条件列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值．解：(1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72. 由余弦定理得，222222572122cos 525222a b c C ab ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯.(2)由22sin cos+sin cos 2sin 22B A A BC =可得： 1cos 1cos sin sin 2sin 22B A A BC ++⋅+⋅=，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知：a ＋b ＝3c . 又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. 由于19sin sin 22S ab C C ==，所以ab ＝9， 从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.19．(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)(2014重庆，文19)已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线12y x =.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．分析：利用已知条件得切线的斜率为－2，然后求出f (x )在x ＝1处的导数，列出关于a 的方程，求出a 的值；在第(2)问中，充分利用导数判断函数单调性与极值的方法，求导后转化为求方程f ′(x )＝0，然后判断f ′(x )在每个区间的符号，在求解过程中要注意函数的定义域．解：(1)对f (x )求导得()2114a f x x x'=--，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线12y x =，知()3124f a '=--=-，解得54a =.(2)由(1)知53()ln 442x f x x x =+--， 则()22454x x f x x--'=， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.20．(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分)(2014重庆，文20)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，π3BAD ∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P －ABMO 的体积．分析：先利用平面几何的方法，求出OB ，然后在△OBM 中，借助余弦定理求出OM 的值，运用勾股定理的逆定理，得出线线垂直，再结合已知条件，利用线面垂直的判定定理，得出BC ⊥平面POM ；在第(2)问中，充分利用第(1)问的结论，得到OA 的长度，然后分别在△POM ，△ABM ，△POA 中借助余弦定理得到关于PO 的方程，求出PO 的长度，再分别计算△AOB 与△OMB 的面积得出四边形ABMO 的面积，最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥P －ABMO 的体积．(1)证明：如图，因ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连结OB ，则AO ⊥OB .因π3BAD ∠=，故OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝π2sin6＝1， 又因12BM =，且π3OBM ∠=，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM＝2211π31()21cos 2234+-⋅⋅⋅=.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)解：由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝π2cos6⋅=. 设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形， 故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.由△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝234a +. 连结AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22112π212()22cos 2234+-⋅⋅⋅=.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则P A 2＋PM 2＝AM 2，即22321344a a +=++，得2a =2a =(舍去)，即PO =. 此时S ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB＝1122AO OB BM OM ⋅⋅+⋅⋅＝1111222+⨯=.所以四棱锥P －ABMO 的体积115·3316P ABMO ABMO V S PO -=⋅==. 21．(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)(2014重庆，文21)如图，设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，121||F F DF =△DF 1F 2的面积为2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．分析：先通过已知条件，借助a ，b ，c 之间的关系，转化为关于a ，b ，c 的方程，然后利用a ，b ，c 的几何意义，求出a ，b ，c 的值，从而得到椭圆的标准方程；在第(2)问中，充分利用数形结合的思想方法，首先设出交点P 1，P 2的坐标，然后写出向量11F P ，22F P ，再由F 1P 1⊥F 2P 2列出关于x 1的方程求出x 1，得到圆心坐标，最后利用两点间的距离公式求出半径得到圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.由121||2F F DF =得1||DF ==.从而1221121222DF F S DF F F ∆===，故c ＝1.从而1||2DF =，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此2||2DF =.所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝a =b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=. (2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2. 由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以11F P ＝(x 1＋1，y 1)，22F P ＝(－x 1－1，y 1)． 再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋21y ＝0.由椭圆方程得22111(1)2x x -=＋， 即211340x x +=.解得143x =-或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当143x =-时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C . 设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得1011111y y y x x -⋅=-+.而y 1＝|x 1＋1|＝13，故053y =.圆C 的半径1||3CP ==. 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.。