2019版高考理科数学一轮复习精选提分练含最新2018模拟

一、选择题1．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)等于( )A ．8B ．－8C ．±8 D.982．数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，11＋2＋3＋…＋n的前n 项和为( ) A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.3n 2n ＋13．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>04．在等差数列{a n }中，3a 4＝7a 7，且a 1>0，则当{a n }的前n 项和最大时，n 的取值为( )A ．8或9B ．8C ．9D ．105．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式b n 为( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2nD ． 2n ＋1 6．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，则数列lg a 1,2lg a 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( ) A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n ＋1D ．2n ＋17．若在数列{a n }中，对任意正整数n ，都有a 2n ＋a 2n ＋1＝p (p 为常数)，则称数列{a n }为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{a n }为“等方和数列”，其前n 项和为S n ，且“公方和”为1，首项a 1＝1，则S 2 014的最大值与最小值之和为( )A ．2 014B ．1 007C ．－1D ．28．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016·(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( )A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4二、填空题9．设首项不为零的等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若不等式a 2n ＋S 2n n 2≥λa 21对任意a n 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为________．10．数列{a n }满足：na n ＋2＋(n ＋1)a n ＝(2n ＋1)a n ＋1－1，a 1＝1，a 2＝6，令c n ＝a n ·cos n π2，n ∈N *，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 4n ＝________.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则[a 21＋a 22＋…＋a 22 017]＝________. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，把方程f (x )－x ＝0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和S n ＝________.答案精析1．B [由题意，得a 2－a 1＝d ＝－1＋94－1＝83，b 22＝9， 又因为b 2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b 2＝－3，所以b 2(a 2－a 1)＝－8，故选B.]2．B [∵11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，11＋2＋3＋…＋n的前n 项和为2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故选B.]3．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－5d 3， ∴a 1d ＝－5d 23<0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3， ∴dS 4＝－2d 23<0，故选B.] 4．C [设公差为d ，由已知得3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以d ＝－433a 1，则a n ＝a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－433a 1.当a 1>0时，由a n >0，解得n <374，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0，故当n ＝9时，S n 取得最大值．]5．A [根据题意，在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝9，则公差d ＝2，则a n ＝2n －1(n ∈N *)，对于{b n }，由b n ＋1＝2b n －1，可得b n ＋1－1＝2(b n －1)，即{b n －1}是公比为2的等比数列，且首项b 1－1＝3－1＝2，则b n －1＝2n ，b n ＝2n ＋1.]6．C [∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1， ∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1， ① 2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，②∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.]7．D [由题意可知，a 2n ＋a 2n ＋1＝1，首项a 1＝1，∴a 2＝0，a 3＝±1，a 4＝0，a 5＝±1，…，∴从第2项起，数列的奇数项为1或－1，偶数项为0，∴S 2 014的最大值为1 007，最小值为－1 005，∴S 2 014的最大值与最小值之和为2.]8．D [∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0，设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ，则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0，化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0，∵m 2＋n 2－mn ＋2 016>0，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0，∴a 4＋a 2 013＝2，∴S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝2 016(a 4＋a 2 013)2＝2 016. 又a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013，故选D.]9.15解析 在等差数列{a n }中，首项不为零，即a 1≠0，则数列的前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2. 由不等式a 2n ＋S 2n n 2≥λa 21，得a 2n ＋n 2(a 1＋a n )24n 2≥λa 21， ∴54a 2n ＋12a 1a n ＋14a 21≥λa 21，即54⎝⎛⎭⎫a n a 12＋a n 2a 1＋14≥λ. 设t ＝a n a 1，则y ＝54t 2＋12t ＋14＝54⎝⎛⎭⎫t ＋152＋15≥15， ∴λ≤15，即λ的最大值为15. 10．16n 2＋6n解析 由递推关系整理可得n (a n ＋2－a n ＋1)＝(n ＋1)(a n ＋1－a n )－1，则a n ＋2－a n ＋1n ＋1＝a n ＋1－a n n －1n (n ＋1)，由此可得 a 3－a 22＝a 2－a 11－⎝⎛⎭⎫11－12， a 4－a 33＝a 3－a 22－⎝⎛⎭⎫12－13， …，a n ＋1－a n n ＝a n －a n －1n －1－⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， 以上各式相加可得a n ＋1－a n n ＝4＋1n， ∴a n ＋1－a n ＝4n ＋1(n ∈N *)，再次累加求通项可得a n ＝2n 2－n (n ≥2)，当n ＝1时该式也成立．综上可得a n ＝2n 2－n ，则c 4n －3＋c 4n －2＋c 4n －1＋c 4n ＝－a 4n －2＋a 4n ＝32n －10，∴S 4n ＝n (22＋32n －10)2＝16n 2＋6n . 11．1解析 由递推关系可得a n a n ＋1＋a n ＋1＝a n ，∴1a n ＋1－1a n＝1，又1a 1＝1， 由此可得，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝1n， 则当n ≥2时，a 2n ＝1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n， 据此有a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 22 017<1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 016－12 017＝2－12 017<2， 又a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 22 017>a 21＝1，则[a 21＋a 22＋…＋a 22 017]＝1.12.n (n －1)2解析 当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，则f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1， 当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －2＋1， 当2<x ≤3时，1<x －1≤2，则f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －3＋2，当3<x≤4时，2<x－1≤3，则f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－4＋3，依次类推，当n<x≤n＋1(n∈N)时，则f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－n－1＋n，所以g(x)＝f(x)－x＝2x－n－1＋n－x，故a n＋2＝n＋1，又a1＝0，所以通项公式a n＝n－1，S n＝n(n－1)2，n∈N*.。

1.已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．2．(2018届浙江省名校协作体考试)已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上的最值．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知点(b ，a )在直线x sin B ＋y (sin A －sin B )＝c sin C 上．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，求△ABC 面积的最大值．4.如图，在△ABC 中，B ＝π3，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且AE ＝8，AC ＝410，∠CED ＝π4. (1)求CE 的长；(2)若CD ＝5，求cos ∠DAB 的值．5．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．答案精析1．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝4cos π6cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＋1 ＝4cos π6cos 5π6＋1＝4×32×⎝⎛⎭⎫－32＋1＝－2. (2)f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫－12cos x －32sin x ＋1 ＝－2cos 2x －23sin x cos x ＋1＝－2cos 2x －3sin 2x ＋1＝－3sin 2x －cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π， 当2k π＋π2≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增， 解得k π＋π6≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，2π3＋k π(k ∈Z )． 2．解 (1)由题意得f (x )＝12sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，T ＝2π2ω＝π， 所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0时，4x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4， 所以当4x ＋π4＝－π2， 即x ＝－3π16时，g (x )取最小值， g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－3π16＝1－22； 当4x ＋π4＝π4，即x ＝0时，g (x )取最大值，g (x )max ＝g (0)＝1.3．解 (1)∵点(b ，a )在直线x sin B ＋y (sin A －sin B )＝c sin C 上， ∴b sin B ＋a (sin A －sin B )＝c sin C ，由正弦定理得b 2＋a (a －b )＝c 2，即b 2＋a 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝12， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)∵c ＝7，∴b 2＋a 2－ab ＝7≥2ab －ab ，∴ab ≤7，当且仅当a ＝b 时取等号，∴S ＝12ab sin π3≤734，即△ABC 面积的最大值为734. 4．解 (1)由题意可得∠AEC ＝π－π4＝3π4， 在△AEC 中，由余弦定理得AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos ∠AEC ， ∴160＝64＋CE 2＋82CE ， 整理得CE 2＋82CE －96＝0，解得CE ＝42(舍负)．故CE ＝4 2.(2)在△CDE 中，由正弦定理得CE sin ∠CDE ＝CD sin ∠CED， 即42sin ∠CDE ＝5sin π4， ∴5sin ∠CDE ＝42sin π4＝42×22＝4，∴sin ∠CDE ＝45. ∵∠CDE ＝∠BAD ＋∠B ，∴∠CDE >B ＝π3. 又sin ∠CDE ＝45<sin B ＝32， 根据正弦函数的图象知，∠CDE 为钝角．∴cos ∠CDE ＝－35. ∴cos ∠DAB ＝cos(∠CDE －B )＝cos ∠CDE cos π3＋sin ∠CDE sin π3 ＝－35×12＋45×32＝43－310. 即cos ∠DAB ＝43－310.5．解 (1)由正弦定理a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又因为c sin A ＝3a cos C ，所以a sin C ＝3a cos C ，所以sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝sin C cos C ＝3， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝5sin 2A ，所以2sin B cos A ＝2×5sin A cos A .因为△ABC 为斜三角形，所以cos A ≠0，所以sin B ＝5sin A .由正弦定理可知b ＝5a ，①因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝5，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.。

训练目标(1)掌握平面的性质，能应用这些性质判断线面、面面的位置关系；(2)会利用定义判断线线、线面、面面的位置关系.解题策略(1)借助几何体，将抽象问题形象化；(2)巧用反证法、排除法、特殊位置法化难为易.一、选择题1．平面α与平面β平行的条件可以是( )A ．α内有两条平行直线都与β平行B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，a ∥β，b ⊂β，b ∥α2．一条直线l 上有相异的三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α3．设x ，y ，z 是空间不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是( )A ．x ，y ，z 为直线B ．x ，y ，z 为平面C ．x ，y 为直线，z 为平面D ．x 为直线，y ，z 为平面4．在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③5.如图，设P 为正四面体A －BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有( )A ．4个B ．6个C ．10个D ．14个6．下列结论正确的是( )A．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥βB．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥βC．若两直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α7.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直AC1；③三棱锥E－AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为2.2其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．428.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝，BB1＝BC＝1，点P是长方体外的一点，过点P作直线l，记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为θ1，θ2，若sin(θ1－50°)＝cos(140°－θ2)，则满足条件的直线l( )A．有1条B．有2条C．有3条D．有4条二、填空题9.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为________．10．设a，b，c是空间中的三条直线，给出以下几个命题：①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．其中真命题的个数是________．11.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．12．如图，已知在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号)答案精析1．D2．D [当l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等；当l ⊂α时，直线l 上所有点与α的距离都是0；当l ⊥α时，直线l 上只能有两点到α的距离相等；当l 与α斜交时，直线l 上只能有两点到α的距离相等．∴一条直线l 上有相异的三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是l ∥α或l ⊂α，故选D.]3．C [只有C 项中的当x ，y 为直线，z 为平面时，可以得到其为真命题，因为垂直于同一个平面的两条直线互相平行；A 项中，x ，y 相交，平行，异面都有可能；B 项中，有可能x ，y 相交；D 项中，有可能x ⊂y .故选C.]4．B [平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，②正确；若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，③不正确；过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直，④正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面，故选B.]5．C [分两种情况讨论：①点P 到其中两个点的距离相等，到另外两个点的距离相等，且这两个距离不相等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；②点P 到其中三个点的距离相等，到另外一个点的距离与它到其他三个点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点．综上，满足题意的点共有10个，故选C.]6．A [垂直于同一条直线的两个平面平行，A 正确；平行于同一条直线的两个平面位置不确定，B 错误；若两直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1，l 2位置不确定，C 错误；若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α或相交，D 错误．]7．C [如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过点C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当A 1E ⊥AB 1时，△AA 1B 1∽△A 1B 1E ，则＝，A 1B 1AA 1B 1E A 1B 1即B 1E ＝，12∴E 点在靠近B 1处的四等分点处，又C1B1⊥A1B1，C1B1⊥BB1，∴B1C1⊥平面AA1B1B，∴C1B1⊥A1E，又AB1∩B1C1＝B1，∴A1E⊥平面AB1C1，∴A1E⊥AC1，所以②错误．由题意知，直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球心O是AC1与A1C的交点，则△AA1O的面积为定值，∵BB1∥平面AA1C1C，∴点E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E－AA1O的体积为定值，故③正确；设BE＝t，则B1E＝2－t，∴AE＋EC1＝＋.1＋t21＋(2－t)2由其几何意义，即平面内动点(t,1)与两定点(0,0)，(2,0)的距离和，故其最小值为2，故④2正确．∴正确命题的个数是3.]8．D　[由题意有sin(θ1－50°)＝cos(90°＋50°－θ2)＝－sin(50°－θ2)，即sin(θ1－50°)＝sin(θ2－50°)，则θ1＝θ2，考虑与直线AC1，B1C1所成的角相同的直线，其在平面ADC1B1内的射影应该平分∠AC1B1，这样的直线只有1条，同理其补角也存在1条满足题意的直线，这样找到2条满足题意的直线，同理，在∠DAC1处也可以找到2条满足题意的直线；综上，满足条件的直线l有4条，故选D.]9.25 5解析　如图，过E点作EM∥AB，过M点作MN∥AD，取MN的中点G，所以平面EMN∥平面ABCD，EG∥BF，异面直线BF与D1E所成角转化为∠D1EG，不妨设正方形边长为2，则GE ＝，D 1G ＝，D 1E ＝3，在△D 1GE 中，由余弦定理，得cos ∠D 1EG ＝＝529＋5－22×3×5.25510．0解析　因为a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c 可以相交、平行、异面，故①错；因为a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 可以异面、相交、平行，故②错；由a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 可以异面、相交、平行，故③错．11．AB ，BC ，AC AB解析　因为PC ⊥平面ABC ，所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC .因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB .12．④解析　连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，易证PQ ∥平面MEF ，又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，∴直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．。

1.如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如图的五棱锥P —ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥P A ；(2)求四棱锥P —BFED 的体积．2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：(1)AP∥平面C1MN；(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.4.如图，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM＝MA1吗？请你叙述判断理由．答案精析1．(1)证明 ∵点E ，F 分别是边CD ，CE 的中点，∴BD ∥EF .∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC .∴EF ⊥AC .∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ，又P A ⊂平面POA ，∴BD ⊥P A .(2)解 设AO ∩BD ＝H .连接BO ，∵∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3，在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7，在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2，∴PO ⊥BO .∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ，梯形BFED 的面积S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33， ∴四棱锥P —BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3. 2．(1)证明如图，设G 为AD 的中点，连接BG ，PG ，因为△P AD 为正三角形，所以PG ⊥AD . 在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD .又BG ∩PG ＝G ，所以AD ⊥平面PGB .因为PB ⊂平面PGB ，所以AD ⊥PB .(2)解 当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：在△PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，所以EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.3．证明(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形．从而AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN.(2)连接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.所以MN⊥BD.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，所以DD1⊥MN，而DD1∩DB＝D，DD1，DB⊂平面B1BDD1，所以MN⊥平面B1BDD1，又MN⊂平面C1MN，所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.4．(1)证明∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，且AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，又∵CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明 延长B1A 1与BM 的延长线交于点N ，连接C 1N . ∵AM ＝MA 1，∴NA 1＝A 1B 1.∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1B 1＝A 1N ， ∴C 1N ⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，底面NB 1C 1∩侧面BB 1C 1C ＝B 1C 1， 又C 1N ⊂底面NB 1C 1，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .又∵C 1N ⊂平面C 1NB ，∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)解 过M 作ME ⊥BC 1于点E ，连接DE . ∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，截面MBC 1∩侧面BB 1C 1C ＝BC 1， 又ME ⊂截面MBC 1，∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ， 又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴ME ∥AD ， ∴M ，E ，D ，A 四点共面．∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，平面ADEM ∩侧面BB 1C 1C ＝DE ，AM ⊂平面ADEM ， ∴AM ∥DE .∴四边形ADEM 为平行四边形，∴AM ＝DE . ∵AM ∥CC 1，∴DE ∥CC 1.∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点．∴AM ＝DE ＝12CC 1＝12AA 1，∴AM ＝MA 1.。

训练目标 ()掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；()会求目标函数的最值；()了解目标函数的简单应用.解题策略 ()根据不等式(组)画出可行域；()准确理解目标函数的变量及相关参数的几何意义；()用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；()注意目标函数的变形应用.一、选择题．下列各点中，与点()位于直线＋－＝的同一侧的是()．() ．(－)．(－) ．(，－)．(届浙江省名校协作体考试)若变量，满足约束条件则＋的最大值是()．．．．．设正数，满足－<－<，则＝－的取值范围为()．() ．(－∞，)．(－) ．(，＋∞)．点(，)为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的最小值为()．－．－．－．－．已知实数，满足若＝＋的最大值为，则等于()．．．．．已知实数，满足若目标函数＝＋的最小值的倍与＝＋的最大值相等，则实数的值为()．－．－．．．设，满足约束条件则＝－的最大值为()．．．．．(届浙江“七彩阳光”联盟联考)已知变量，满足约束条件若不等式－＋≥恒成立，则实数的取值范围是()．[－，]．[－，]．(－∞，－]∪[，＋∞)．(－∞，－]∪[，＋∞)二、填空题．不等式组表示的平面区域的面积为．．已知实数，满足则＝＋的最大值为．．已知，是平面区域内的两个动点，向量＝(，－)，则·的最大值是．．已知函数()＝－，点集＝{(，)()＋()≤}，＝{(，)()－()≥}，则∩所构成平面区域的面积为．答案精析．．[因为＝＋过点()时取得最小值，联立方程组解得代入－－＝，解得＝，故选.]．[由得根据题意画出平面区域如图所示，。

一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C 等于( )A.23B ．－23 C ．－13 D ．－142．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌时长为50秒，升旗手匀速升旗的速度为( )A.35(米/秒) B.35(米/秒) C.65(米/秒) D.15(米/秒) 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A 等于( )A.5π6B.2π3C.π3D.π64．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则C 等于( ) A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π45．设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)6．已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2， p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C 2共线，其中a ，b ，c ，A ，B ，C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．(2018届浙江省“七彩阳光”联盟联考)已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，其面积满足S △ABC ＝14a 2，则c b的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C.2＋1 D.2＋28．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫12，2D ．(1,2]二、填空题9．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________ km.10．已知△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则边a ＝________.11．(2018届温州一模)如图，在四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(2c －a )sin C ＝(b 2＋c 2－a 2)sin B b，且b ＝23，则△ABC 周长的取值范围为________．答案精析1．D 2.A 3.D 4.B 5.A6．B [∵m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2与n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2， 由正弦定理，得sin A cos B 2＝sin B cos A 2， ∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B 2， ∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2， 化简，得sin A 2＝sin B 2. 又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B 2，可得A ＝B . 同理，由n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2与p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C 2共线得到B ＝C ， ∴A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．]7．C [根据题意，有S △ABC ＝14a 2＝12bc sin A ，应用余弦定理，可得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝2bc sin A ，于是t 2＋1－2t cos A ＝2t sin A ，其中t ＝c b(t >0)．于是2t sin A ＋2t cos A ＝t 2＋1，所以22sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝t ＋1t ，从而0<t ＋1t≤22，解得t 的最大值为2＋1，故选C.] 8．B [由题意可得a 2＋b 2－c 22ab ×a cos B ＋b cos A c ＝12， 且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， a cos B ＋b cos A c ＝sin A cos B ＋sin B cos A sin C ＝sin C sin C＝1， 所以cos C ＝12， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 所以c 2＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab＝4－3ab ≥4－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．又三角形满足两边之和大于第三边，则c <a ＋b ＝2，综上可得，c 的取值范围为[1,2)．] 9.6－110．7解析 由已知条件可得12bc sin 60°＝103，可得bc ＝40， 又由余弦定理可得b 2＋c 2－bc ＝b 2＋c 2－40＝a 2，即a ，b ，c 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝40，b 2＋c 2－40＝a 2，a ＋b ＋c ＝20，由b 2＋c 2－40＝(b ＋c )2－2bc －40＝(20－a )2－120＝a 2，解得a ＝7.11．2 2 6解析 设∠ADB ＝∠CDB ＝θ，BD ＝x ，在△ABD 内，由余弦定理，得AD 2＋BD 2－AB 22AD ×BD＝cos θ， 即1＋BD 2－BD 22×1×BD ＝cos θ，所以BD ＝12cos θ， 在△CBD 内，由余弦定理，得BD 2＋CD 2－BC 22BD ×DC＝cos θ， 即BD 22BD ×4＝cos θ，所以BD ＝8cos θ， 可得cos θ＝14，BD ＝2，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－78. 由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos 2θ＝24，所以AC ＝2 6.12．(43，63]解析 由题意得c (2sin C －sin A )＝sin B b (b 2＋c 2－a 2)，故2sin C －sin A ＝2sin B 2bc(b 2＋c 2－a 2)，则2sin C －sin A ＝2sin B cos A ．因为C ＝π－(A ＋B )，所以2sin(A ＋B )－sin A ＝2sin B cos A ，化简得sin A ·(2cos B －1)＝0，由于sin A ≠0，故cos B ＝12，因为0<B <π，故B ＝π3.由已知及余弦定理得a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝b 2＝12，即(a ＋c )2－3ac ＝12，可得(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22≤12，(a ＋c )2≤48，即0<a ＋c ≤43，当且仅当a ＝c ＝23时取等号，所以23<a ＋c ≤43，故△ABC 周长的取值范围为(43，63]．。

一、选择题1．已知P ⎝⎛⎭⎫－3，a a ＋1为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则a 的值为( ) A ．1B ．3 C.13 D.12 2．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－π3，k ∈Z 3.1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是( )A ．sin 3－cos 3B ．cos 3－sin 3C ．±(sin 3－cos 3)D ．以上都不对4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12B ．－12 C.32 D ．－325．已知tan θ＝4，则sin θ＋cos θ17sin θ＋sin 2θ4的值为( ) A.1468 B.2168C.6814D.68216．(2017·金华模拟)设角A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，则点P (sin A －cos B ，cos A －sin C )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43 D.438．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则该三角形是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题9．(2018届浙江省名校协作体考试)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.10．已知sin ⎝⎛⎭⎫12π5＋θ＋2sin ⎝⎛⎭⎫11π10－θ＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫2π5＋θ＝________. 11．已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α ·1＋1tan 2α＝________. 12．化简：sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎫k π＋4π3(k ∈Z )＝________.答案精析1．A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.35 4510．2 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫12π5＋θ＋2sin ⎝⎛⎭⎫11π10－θ＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫11π10－θ ＝－2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π10－θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π10－θ ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π10－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π5＋θ， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π5＋θ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋θcos ⎝⎛⎭⎫2π5＋θ＝2.11．0 解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α 1＋cos 2αsin 2α ＝cos α 1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α·1－cos α＋sin α·1sin α＝0. 12.⎩⎨⎧ 34，k 为奇数，－34，k 为偶数解析 当k 为奇数时， 原式＝sin 2π3·⎝⎛⎭⎫－cos 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当k 为偶数时， 原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π3＝32×⎝⎛⎭⎫－12＝－34.。

一、选择题1．(2017·青岛模拟)函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －3π4是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 2．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6(－π≤x ≤π)的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，1 D.⎣⎡⎦⎤－12，32 3．(2017·临川模拟)若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则( ) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1)4．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则下列结论正确的是( ) A ．导函数为f ′(x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称 C ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝3cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称且f ⎝⎛⎭⎫3π8＝1，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π8，－π4上单调，则ω可取数值的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎤－π3，5π3B.⎣⎡⎤－2π，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π3，2πD.⎣⎡⎦⎤－2π，－π3和⎣⎡⎦⎤5π3，2π 7．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos x C ．sin x D ．－cos x8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，π2C.⎣⎡⎦⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎤π6，π2二、填空题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为⎝⎛⎭⎫2π3，－3，则对于下列判断： ①直线x ＝π2是函数f (x )图象的一条对称轴； ②函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3为偶函数； ③函数y ＝1与y ＝f (x )⎝⎛⎭⎫－π12≤x ≤35π12的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是________．(写出所有正确判断的序号)10．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________． 11．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．12．函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，θ上的最小值为－14，则θ的取值范围是____________．答案精析1．A2．C [由－π≤x ≤π，可知－π2≤x 2≤π2，－2π3≤x 2－π6≤π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，0内单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤0，π3内单调递减，且cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－12，cos π3＝12，cos 0＝1，因此所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，1，故选C.] 3．A [由－π2<x ＋π4<π2，得－3π4<x <π4，可知函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3π4，π4上是增函数，因此f (0)>f (－1)，又函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的周期为π，因此f (1)＝f (1－π)，又1－π<－1<0，所以f (1)<f (－1)<f (0)，故选A.] 4．B [对于A ，函数f ′(x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3·2＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，A 错误； 对于B ，当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝－3取得最小值，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，B 正确； 对于C ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3不是单调函数，C 错误；对于D ，函数y ＝3cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，这不是函数f (x )的图象，D 错误．故选B.] 5．B [由题设可知π2ω＋φ＝π2＋2k π，3π8ω＋φ＝π4＋2m π，k ，m ∈Z ，或π2ω＋φ＝3π2＋2k π，3π8ω＋φ＝3π4＋2m π，k ，m ∈Z ，由此可得π8ω＝π4或π8ω＝3π4，解得ω＝2或ω＝6，经验证均符合题意，故选B.] 6．D [由题意得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，要求其单调递增区间，只需求f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间，则π2＋2k π≤12x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得5π3＋4k π≤x ≤11π3＋4k π，k ∈Z .当k ＝0时，递增区间为⎣⎡⎦⎤5π3，11π3；当k ＝－1时，递增区间为⎣⎡⎦⎤－7π3，－π3.因为x ∈[－2π，2π]，所以递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π，－π3和⎣⎡⎦⎤5π3，2π，故选D.] 7．D [对于A ，C 选项，当f (x )＝1时，F (x )＝sin x ＋1；当f (x )＝sin x 时，F (x )＝2sin x .此两种情况下F (x )的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，π2，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调；对于B 选项，当f (x )＝cos x 时，F (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调．只有D 项符合题意．] 8．A [由题意可得相邻的两个最低点的距离为1个周期， 即T ＝π，所以ω＝2，由f (x )>1，即sin(2x ＋φ)>0,2k π<2x ＋φ<π＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎝⎛⎭⎫－φ2＋k π，－φ2＋π2＋k π，k ∈Z ， 所以⎝⎛⎭⎫－π12，π3⊆⎝⎛⎭⎫－φ2＋k π，－φ2＋π2＋k π，k ∈Z ， 由⎩⎨⎧ －π12≥－φ2＋k π，－φ2＋π2＋k π≥π3(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤φ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|≤π2，所以φ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3.] 9．②③解析 由题设T 4＝2π3－5π12＝3π12＝π4， 所以T ＝π，所以ω＝2，A ＝3，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)，将M ⎝⎛⎭⎫5π12，0代入可得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0， 所以φ＝π6，故f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因此验证可得②③是正确的，①是不正确的．10.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 11.[－1,1] π1212.⎝⎛⎦⎤－2π3，2π3解析 由题意知y ＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1，设t ＝cos x ，则函数y ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2，令－(t －1)2＋2＝－14，解得t ＝－12或t ＝52， ∵cos x ≤1，∴t ＝－12，即cos x ＝－12，则要使函数y 在⎣⎡⎦⎤－2π3，θ上的最小值为－14，则需cos θ≥－12，根据余弦函数的图象可知θ∈⎝⎛⎦⎤－2π3，2π3.。

一、选择题1．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．在下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x 5＋5x(x ∈R 且x ≠0) B ．y ＝x ＋2xC ．y ＝a x ＋a －x (a >0)D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 4．(2018届浙江“七彩阳光”联盟联考)若m ＋2n ＝20(m ，n >0)，则lg m (lg n ＋lg 2)的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 5．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在6．已知m ，n ∈(0，＋∞)，若m ＝m n ＋2，则当m 22＋2n 2－4m －2n取得最小值时，m ＋n 等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．87．已知a >b >0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为( ) A.3102B ．4C ．2 3D ．3 28．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( )A.2＋1B ．4 2C ．3＋2 2D ．6二、填空题9．已知点P (1,1)在直线ax ＋4by －1＝0(ab >0)上，则1a ＋1b的最小值为________． 10．若x ，y 都是正数，且x ＋y ＝3，则4x ＋1＋1y ＋1的最小值为________． 11．已知a >b >0，且ab ＝1，那么当a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________. 12．已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案精析1．B 2.C 3.C 4.A 5.A6．C [∵m ＝m n＋2， ∴m 22＋2n 2－4m －2n ＝m 2＋4n 22－2≥2mn －2， ∵mn ＝m ＋2n ≥2m ·2n ，∴mn ≥8，因此当m ＝2n ＝4时，m 22＋2n 2－4m －2n取最小值， 此时m ＋n ＝6，故选C.]7．D [因为a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]， 故a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝12(a ＋b )＋4a ＋b ＋12(a －b )＋1a －b， 又因为12(a ＋b )＋4a ＋b ≥22，12(a －b )＋1a －b≥212＝2， 所以a ＋4a ＋b ＋1a －b ≥32， 当且仅当⎩⎨⎧ a ＋b ＝22，a －b ＝2，即⎩⎨⎧ a ＝322，b ＝22时取等号，故选D.]8．C [画出y ＝1＋sin πx (0<x <2)的图象(图略)，可知此曲线的对称中心为(1,1)，则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)，所以a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b ) ＝1＋b a ＋2a b＋2≥3＋22， 当且仅当b a ＝2a b，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号． 即⎝⎛⎭⎫1a ＋2b min ＝3＋2 2.故选C.]9．9解析 根据点在线上，得到a ＋4b －1＝0，得a ＋4b ＝1，故1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝5＋4b a ＋a b≥5＋4＝9， 等号成立的条件为4b a ＝a b ，即a ＝13，b ＝16. 故1a ＋1b的最小值为9. 10.95解析 4x ＋1＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋1y ＋1·()x ＋1＋()y ＋15 ＝1＋x ＋15()y ＋1＋4()y ＋15()x ＋1≥95， 当且仅当x ＝73，y ＝23时取等号． 11.6－22解析 a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b≥22， 当且仅当a －b ＝2时取等号，所以1b －b ＝2，解得b ＝6－22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去b ＝－6－22. 12.⎝⎛⎦⎤－∞，658 解析 因为x ＋y ＋8＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2，解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤(x ＋y )2＋1x ＋y 恒成立， 令x ＋y ＝t (t ≥8)，且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1t. 函数f (t )在[8，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝658. 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，658.。