17009椭圆中的定值问题

椭圆中的定点定值问题椭圆是一个非常重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。

它具有许多有趣的性质和特征。

其中之一就是定点定值问题。

在这篇文章中，我将探讨椭圆中的定点定值问题，并介绍一些相关的理论和应用。

首先，我们需要了解什么是椭圆。

一个椭圆可以定义为到两个固定点的距离之和等于定值的所有点的集合。

这两个固定点被称为焦点，而定值则被称为焦距。

椭圆还具有一个重要的性质，即焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。

在椭圆中的定点定值问题中，我们考虑的是在椭圆上选择一个特定的点，并确定其到椭圆上的其他点的距离之和。

这个距离之和被称为点的性质或特征。

一个经典的例子是在椭圆上选择一个点P，然后求它到椭圆上的两个焦点的距离之和。

这个距离和被称为离心率。

离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的扁平程度。

当椭圆近似于圆形时，离心率接近于零；当椭圆非常扁平时，离心率接近于一。

除了离心率，我们还可以通过其他的定点定值问题来描述椭圆的性质。

例如，我们可以选择一个点P，并求它到椭圆上的任意一点的距离之和。

这个距离和等于椭圆的周长。

通过计算周长，我们可以比较不同椭圆之间的大小和形状。

在实际应用中，椭圆的定点定值问题具有广泛的应用。

例如，在椭圆曲线密码学中，椭圆上的点被用作密码算法的基础。

通过选择不同的定点定值问题，我们可以生成不同的加密和解密算法，从而实现安全的通信和信息传输。

此外，在计算机图形学和机器视觉中，椭圆的定点定值问题也扮演着重要的角色。

通过选择合适的定点定值问题，我们可以用椭圆来描述和识别不同的图像和对象。

这在图像处理和模式识别中具有重要的应用。

总结起来，椭圆中的定点定值问题是数学和物理学中一个有趣而重要的研究领域。

通过选择不同的点和定值，我们可以揭示椭圆的许多性质和特征。

这些性质和特征在许多领域中都有广泛的应用，包括密码学、计算机图形学和机器视觉等。

因此，研究定点定值问题对于我们深入理解椭圆的本质和应用具有重要意义。

浅谈椭圆中定值问题的解决方法椭圆中的定值问题主要是指如何找到椭圆方程中的常数值。

解决该问题的常用方法有以下几种：1. 已知椭圆上两个点坐标，求解常数值假设椭圆方程为：$\\frac{(x-a)^2}{h^2}+\\frac{(y-b)^2}{k^2}=1$，已知椭圆上任意两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$的坐标，可列出以下两个方程：$\\frac{(x_1-a)^2}{h^2}+\\frac{(y_1-b)^2}{k^2}=1$ 和$\\frac{(x_2-a)^2}{h^2}+\\frac{(y_2-b)^2}{k^2}=1$将两个方程相减可以消去关于$a$和$b$的项，得到：$\\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2-2a)}{h^2}+\\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2-2b)}{k^2}=0$从而可以求得常数值。

2. 已知椭圆上一点坐标和椭圆长轴、短轴长度，求解常数值假设椭圆长轴长度为$2a$，短轴长度为$2b$，一点坐标为$(x_1,y_1)$，椭圆方程为$\\frac{(x-a)^2}{a^2}+\\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，可先求出椭圆中心点坐标为$(a,b)$，再代入已知点坐标，即可解出常数值。

3. 已知椭圆在$y$轴上截距和离心率，求解常数值假设椭圆方程为$\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，已知在$y$轴上截距为$c$和离心率为$e$，可得以下两个方程：$c=\\pm b\\sqrt{1-\\frac{e^2}{a^2}}+b$ 和 $e=\\sqrt{1-\\frac{b^2}{a^2}}$将两个方程代入椭圆方程中，可以解出常数值。

以上是解决椭圆中定值问题的一些常用方法，实际中还有其他方法，但基本思路都是相似的。

椭圆曲线中的定点定值问题的四种方法
椭圆曲线密码学是现代密码学领域中的一个重要分支，其核心是解决椭圆曲线上的定点定值问题。

本文将介绍椭圆曲线中的定点定值问题及其四种常用解决方法。

定点定值问题是指给定一个椭圆曲线上的点P和整数k，求kP 的值。

下面将介绍四种方法来解决这个问题：
1. 变形重复平方算法（Double-and-Add Algorithm）：这是最简单和直观的方法，通过将k表示为二进制形式，并根据位的值来迭代地进行计算。

当某一位为1时，将点P加到结果上；当某一位为0时，将点P进行加法运算。

该算法的时间复杂度为O(log(k))。

2. NAF （Non-Adjacent Form）方法：在变形重复平方算法的基础上，在k表示为二进制时可以选择使用加1或减1的方式，使得连续1的位数尽可能少。

这样可以减少加法运算的次数，进而提高效率。

3. 有穷域上的运算法则：将椭圆曲线上的点坐标和系数限定在一个有限域中，通过定义该有限域上的加法和乘法运算法则来求解定点定值问题。

这种方法在实际应用中经常使用，可以利用有限域运算的高效性。

4. 同态映射方法：根据椭圆曲线的同态性质，将定点定值问题转化为其他更容易求解的问题，并利用同态映射的特性进行计算。

这种方法具有较高的复杂性和灵活性，适用于特定的情况。

通过掌握这四种方法，我们可以更好地理解和应用椭圆曲线密码学中的定点定值问题。

根据实际情况选择合适的方法可以提高计算效率和保证系统的安全性。

椭圆定点定值问题
椭圆的定点定值问题是指给定一个椭圆和一个定点，在这个椭圆上找到一个点，使得这个点到给定定点距离等于给定值。

具体来说，设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} = 1$ ，给定定点为 $(h,k)$ ，给定值为 $d$ ，
求点 $(x,y)$ 满足 $\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = d$ 。

为了解决这个问题，可以将椭圆方程代入距离方程，得到
$ \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = d$ ，展开并平方，得到 $ (x-h)^2 + (y-k)^2 = d^2$ 。

将椭圆标准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 代入
上式，可得 $ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = d^2$ 。

进一步整理，并消去分母，得到 $ b^2(x-h)^2 + a^2(y-k)^2 =
a^2b^2d^2$ 。

这个方程实际上是一个椭圆，其长轴和短轴分别为 $2a$ 和
$2b$ ，定点为 $(h,k)$ ，到定点距离之和为 $2d$ 。

因此，解
决椭圆的定点定值问题就转化为了找到满足这个新椭圆方程的点。

具体求解这个椭圆方程可能需要使用数值方法或者图形方法，先确定椭圆的长轴和短轴长度，然后在椭圆上画出定点，并找到到定点距离之和为给定值的点。

椭圆中的定点和定值问题作者：张晓帆来源：《新课程·下旬》2019年第09期在椭圆问题中，部分几何量和参数无关，不会随着参数大小的改变而改变，而定点和定值这两个几何量和参数无关，这就构成了椭圆中的定点和定值问题。

解决此类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，然后根据等式恒成立、等式变形、数式变换等寻找不受参数影响的量。

解决椭圆定点定值问题不仅能培养学生科学探究和逻辑思维的能力以及科学的学习态度和坚持不懈的学科精神，也培养了学生勇于创新、求真求实的思想品质。

本文给出椭圆中定点和定值问题的解题策略，希望对广大师生有所帮助。

类型一：定点问题策略：合理选择参变量证明直线恒过定点问题评注：本题要求证明直线恒过定点问题，为了利用好两直线斜率之和为-1的条件，需设出B、C两点的坐标，从而表示出两条直线的斜率。

而在设参数问题的选取上，常用的方案有两种，设直线或者设点，本题中，两者兼具，只有合理选择参数，才能减少运算量，进而求出定点的坐标。

在本题第2小题的解题过程中，也有不少学生采用联立消去x的方法进行求解，这种方法则涵盖了斜率不存在的情况，同样值得肯定。

而在课堂上，我也投影展示了这两种不同的方法，并对这两种方法进行了及时的肯定。

学生在进行方法选择的同时也锻炼了自身的科学探究和逻辑思维的能力。

反思与感悟要解决椭圆中的定点问题，若题设条件中给出定点坐标，则应合理选择参变量进行验证;若题设并未给出定点坐标，则首先需要确定定点的坐标，常用的方法是利用从特殊到一般的数学思想方法，先通过符合题设条件的一些特殊情况确定定点的坐标，找到这个定点，明确解决问题的方向与目标，然后再进一步探究和推导，得出一般情况下的结论。

类型二：定值问题策略：用点坐标作為参变量代入化简计算定值例1（普陀区2018.12高三模拟）评注：本题探究两条直线斜率的关系，选择用椭圆上任意一点的坐标作为参变量，利用直线斜率的坐标公式，表示出两条直线的斜率，从而表示出其乘积。

专题26--椭圆中定值和最值问题一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y －y 0＝k (x －x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线的方程；(2)(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＝0表示的是过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆的方程．3．与椭圆有关的参数的定值问题 二、椭圆中的最值问题 1．参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k ，a ，b ，c ，(x ，y )的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．2．长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k 或(x ，y ))的函数，运用函数或基本不等式求最值． 要点热点探究► 探究点一 与椭圆有关的定值问题在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题．例1 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．【解答】 (1)当直线AM 的斜率为1时， 直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.因为此方程有一根为－2，所以x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2. 所以k MP ＝k PN ，M 、P 、N 三点共线， 所以直线MN 过x 轴上的一个定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 例2 椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为：x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝12k 5(k 2＋4)，y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，又A (－2,0)， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝－64(k 2＋1)25(k 2＋4)＋4k 5·12k 5(k 2＋4)＋1625＝0， 即可得∠MAN ＝π2.► 探究点二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于k 的函数；二是关于点(x ，y )的函数．例3 如图26－1，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A ，C ，T 三点共线；(2)如果BF →＝3FC →，四边形APCB 面积的最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和点P 的坐标．【解答】 (1)证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，①AT ：x a 2c＋y b ＝1，② BF ：x c ＋y－b ＝1，③解得AT 与BF 的交点⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得： ⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1， 满足①式，则AT 与BF 的交点在椭圆上，即为点C ，则A ，C ，T 三点共线． (2)过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，则△OBF ∽△ECF .∵BF →＝3FC →，∴CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得： ⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b2＝1，∴a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 设P (x 0，y 0)，则x 20＋2y 20＝2c 2，此时C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c ·4c 3＝43c 2， 直线AC 的方程为：x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c＝x 0＋2y 0－2c 3·c .所以只需求x 0＋2y 0的最大值即可．法一：∵(x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2， ∴x 0＋2y 0≤6c ，当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c . 法二：令x 0＋2y 0＝t ，代入x 20＋2y 20＝2c 2得：(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0. Δ＝(－4t )2－24(t 2－2c 2)≥0， 得－6c ≤t ≤6c ，当t ＝6c 时，代入原方程解得x 0＝y 0＝63c .由法一、法二知四边形APCB 的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23， ∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1.此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫63，63.【点评】 本题所建立的函数与点P 坐标(x 0，y 0)有关．在计算最值时，方法一用的是基本不等式；方法二用的是代入消元和方程有解来计算最值．本题还可以用三角换元的方法或者构造z ＝x 0＋2y 0的几何意义用线性规划的思想来解决问题． ► 探究点三 椭圆和圆的综合问题椭圆和圆的综合问题中，题目中存在多种曲线混合的现象，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值的问题．例4 如图26－2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其右准线l与x 轴的交点为T ，过椭圆的上顶点A 作椭圆的右准线l 的垂线，垂足为D ，四边形AF 1F 2D 为平行四边形．(1)求椭圆的离心率；(2)设线段F 2D 与椭圆交于点M ，是否存在实数λ，使TA →＝λTM →？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；(3)若B 是直线l【解答】 (1)依题意：AD ＝F 1F 2，即a 2c ＝2c ，所以离心率e ＝22.(2)由(1)知：a ＝2c ，b ＝c ，故A (0，c )，D (2c ，c )，F 2(c,0)，T (2c,0)，TA →＝(－2c ，c )，所以椭圆方程是x 22c 2＋y 2c2＝1，即x 2＋2y 2＝2c 2，直线F 2D 的方程是x －y －c ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2y 2＝2c 2，x －y －c ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－c (舍去)或⎩⎨⎧x ＝43c ，y ＝13c ，即M ⎝⎛⎭⎫43c ，13c ，TM →＝⎝⎛⎭⎫－23c ，13c ，所以TA →＝3TM →， 即存在λ＝3使TA →＝3TM →成立．(3)解法一：由题可知圆心N 在直线y ＝x 上，设圆心N 的坐标为(n ，n )， 因圆过准线上一点B ，则圆与准线有公共点， 设圆心N 到准线的距离为d ，则NF 2≥d ，即(n －c )2＋n 2≥|n －2c |，解得n ≤－3c 或n ≥c ，又r 2＝(n －c )2＋n 2＝2⎝⎛⎭⎫n －c 22＋c22∈[c 2，＋∞)， 由题可知，(πr 2)min ＝c 2π＝4π，则c 2＝4， 故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.解法三：设B (2c ，t )，△AF 2B 外接圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 又A (0，c )，F 2(c,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＋cD ＋F ＝0，c 2＋cE ＋F ＝0，4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，D ＝E ＝－c －F c ，r 2＝14(D 2＋E 2－4F )＝12c 2＋F 22c2.由4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，得4c 2＋t 2＋(2c ＋t )⎝⎛⎭⎫－c －Fc ＋F ＝0， 4c 2＋t 2－2c 2－ct －2F －tFc ＋F ＝0,2c 2－ct ＋t 2－(t ＋c )F c ＝0，F ＝c ⎣⎡⎦⎤(t ＋c )＋4c2t ＋c －3c ，所以F ≥c 2或F ≤－7c 2，所以r 2＝12⎝⎛⎭⎫c 2＋F 2c 2≥c 2，所以(πr 2)min ＝c 2π＝4π，所以c 2＝4.所求椭圆方程是x 28＋y 24＝1.【点评】 本题的第三小问从多种角度建立了半径与圆心的坐标之间的关系，无论哪一种方法，本题关键是求出r 2的取值范围，方法一用的是几何法；方法二和方法三用的是代数法．例 [2011·江苏卷] 如图26－3，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意k >0，求证：PA ⊥PB.【解答】 (1)由题设知a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，得线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎫－1，－22，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点， 又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)k ＝2时，直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43. 于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此，d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k2，记μ＝21＋2k 2.则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )，于是C (μ，0)，故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率k PB ＝μk 32＋k2－μkμ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k PB k ＝－1，所以PA ⊥PB .。

专题8：椭圆中的定值问题1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 是椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长是6． （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k 的直线交x 轴于T 点，交曲线C 于A ，B 两点，是否存在k 使得22AT BT +为定值，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，M为C 上的动点，其中M 到1F 的最短距离为1，且当12MF F △的面积最大时，12MF F △恰好为等边三角形. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的动直线l 过点2F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，那么，2||PF AB 是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.3．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过F 的直线0x -+=与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形MFO ． （1）求椭圆的方程；（2）若ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为ABC 的重心，判断ABC 的面积是否为定值，并说明理由．4．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，并且经过(0P点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点P 的直线与x 轴交于N 点，与椭圆的另一个交点为B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线PB '交x 轴于点M ，求证：OM ON ⋅为定值．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//OP AD （O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.6．已知经过原点O 的直线与离心率为2的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于A ，B 两点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，且12AF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点P 是椭圆C 上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C 的切线与2x =-交于点M .记直线1PF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求出该定值.7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点和抛物线212y x =的焦点相同，且椭圆过点(-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，点C 在椭圆上，问平行四边形OACB 的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.8．以椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的中心O的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C且经过点，椭圆C 的“准圆”的一条弦AB 所在的直线与椭圆C 交于M N 、两点．（1）求椭圆C 的标准方程及其“准圆”的方程； （2）当0OM ON ⋅=时，证明:弦AB 的长为定值．9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M 为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMBAMNS S △△为定值.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右两个焦点分别是1F ，2F ，焦距为2，点M 在椭圆上且满足212MF F F ⊥，123MF MF =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，证明2211||||OA OB +为定值，并求出该定值.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为12A ⎫⎪⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证：12λλ+为定值. 12．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与()3,1a =-共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且(),OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值．13．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，1AF B △的周长为（1）求椭圆E 的方程；（2）对于椭圆E ，问否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.参考答案1．（1）22143x y += ；（2）存在；k =．【分析】（1）由椭圆的定义及△PF 1F 2的周长为6，得226a c +=①，椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =②，解得,,a c b 进而可得椭圆的方程．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线:AB x my n =+，联立椭圆的方程，结合韦达定理，代入化简22AT BT +，即可得出答案．【解析】解：（1）由题意知226a c +=；12c a =，解得2,1a c ==，∵222a b c =+，∴23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在k ，则0k ≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线:AB x my n =+，(,0)T n 22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222(34)63120m y mny n +++-=， ∴122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -⋅=+，222222364(312)(34)48(34)0m n n m m n ∆=--+=+->222222222112212()()(1)()AT BT x n y x n y m y y +=-++-+=++222221212226312(1)[()2](1)23434mn n m y y y y m m m ⎡⎤-⎛⎫=++-⋅=+--⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222226(1)(34)4(34)(34)m m n m m +⎡⎤=-++⎣⎦+， 要使22AT BT +为定值， 则有2340m -=，所以m =，所以1k m ==．【点评】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.2．（1）22143x y +=；（2）2||PF AB 为定值，证明见解析【分析】（1）当点M 在椭圆的左顶点时，M 到1F 的距离最短，可得1a c -=，当点M 在椭圆的上顶点（或下顶点）时，12MF F △的面积最大，此时12MF F △为等边三角形，可得2a c =，从而可求出,,a b c ，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）易知直线l 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =-，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得到关于x 的一元二次方程，结合韦达定理，可求得AB 的中点的坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线的方程，令0y =，可求出点P 的坐标，从而可得到2PF 的表达式，然后根据弦长公式AB =，可求出AB 的表达式，从而可求得2||PF AB 为定值，经验证当0k =时，2||PF AB 为相同的定值.【解析】（1）由题意，当点M 在椭圆的左顶点时，M 到1F 的距离最短，则1a c -=，当点M 在椭圆的上顶点（或下顶点）时，12MF F △的面积最大，此时12MF F △为等边三角形，则2a c =，联立22212a c a c a b c ⎧-=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a c b ===故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）2||PF AB 为定值.证明：由题意可知，动直线l 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =-，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()()2222348430k x k x k +-+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834kx x k +=+，()21224334k x x k-=+，设AB 的中点为()00,Q x y ，则212024234x x k x k +==+，()0023134k y k x k -=-=+. 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2234k x k =+，即22,034k P k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 所以()222223113434k k PF k k +=-=++.AB ==()2212134k k +=+. 所以()()2222231134||412134k PF k AB k k ++==++. 当0k =时，l 的方程为0y =， 此时，24AB a ==，21PF c ==，21||4PF AB =.综上，2||PF AB 为定值.【点评】方法点睛：求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3．（1）2214x y +=；（2）是定值2，理由见解析.【分析】（1）由直线过左焦点写出左焦点坐标，得参数c 、右焦点坐标，又由三角形面积1||24OMF M S OF y =⋅=，求M 坐标，即可确定△FMF '为直角三角形，进而求||,||MF MF '，根据椭圆定义求参数a ，写出椭圆方程即可.（2）讨论直线BC 的斜率：当不存在时，设直线BC ：1x x =，()11,B x y ，()11,C x y -，由重心坐标的性质求A 坐标，由A 在椭圆上求2211,x y ，求ABCS；当存在时，设直线BC ：y kx m =+，()11,B x y ，()22,C x y ，联立直线与抛物线方程结合韦达定理求12x x +，12x x ，即得12y y +，由重心坐标的性质确定A 的坐标，由A 在椭圆上得22441m k =+，结弦长公式、点线距离公式求||BC 、A 到直线BC 的距离d ，求ABCS，即可判断是否为定值.【解析】（1）直线0x -=过左焦点F ，则有(F ，所以c =F '，又124OMF M S y ==△，得12M y =，代入直线方程有M x =12M ⎫⎪⎭.。

浅谈椭圆中定值问题的解决方法椭圆中定值问题是椭圆曲线密码学的一个重要组成部分，可以用来保护数字通信和访问受保护的资源。

椭圆中定值问题是一种典型的NP难题，其解决方法也是一个复杂的过程，在本文中我们将着重介绍它的解决方法。

首先，椭圆定值问题被表达为：给定椭圆曲线 E：Y^2=X^3 + AX+B 和一个点 P (x,y)，求满足条件XP ≡ x mod m 的 X 值，这一距离被称为“定值”。

因为该问题是 NP 难题，无法使用暴力搜索的方法来解决，而必须使用特定的算法。

常用的算法之一是采用 Baby Step-Giant Step 算法，它是一种快速的椭圆定值算法，可以有效解决此问题。

该算法的步骤是：首先，找到在 P(x, y) 上的两个可逆元素 k1、k2，然后将 k2 扩展到 k1 的模 m 上；其次，计算出 k1 和 k2 的积 k ；最后，找出满足 k = X1 * X2 + X3 * Y1 + X4 * Y2 + X5 * Z2 的X1、X2、X3、X4、X5，其中 Z2 是 P(x, y) 上的单位元素，即使 X1、X2、X3、X4、X5 满足等式的条件也可以将它们映射到 k1 上。

此外，对于椭圆定值问题的求解，还可以使用 Pollard Rho 算法，它是一种基于“传递闭包”方法的基于离散对数的定值算法。

该算法使用一种称为“Pollard Rho迭代”的快速算法，使用了概率性的技术，能够比较有效地求解椭圆定值问题，但如果某个问题不能在规定时间内求解，则可以重新尝试算法，直到求出正确答案。

最后，另一种大规模椭圆定值问题求解方法是使用多项式求解的方法，即使用多项式来表示椭圆定值问题中的函数，然后使用多项式求解器来求解多项式方程。

这种算法的优点是效率高、可以有效解决大规模椭圆定值问题，但也有缺点是实施起来较复杂，实现难度较大。

总之，椭圆定值问题的解决方法有很多，上面三种最常用的分别是 Baby Step-Giant Step 算法、Pollard Rho 算法和多项式求解法。

椭圆中的“定”五、一般结论30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一定点，过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、，直线21,l l 的斜率分别为21,k k .（1）若2221a b k k =⋅，直线PQ 的斜率为定值00x y -.反之亦然. （2）若021=+k k ，直线PQ 的斜率为定值0202x a y b .反之亦然. 31.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之积为定值()122≠m m a b ，则直线BC 必定过定点()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之和为定值()02≠n n a b ，则直线BC 必定过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000,y x an b y bn a x N . 33.（1）一条经过点()0,m M 的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于B A ,两点，作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B'过定点2,0a T m ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于,P R 两点，设点20,b Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PQM RQM ∠=∠.34.（1）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为B A ,，则直线AB 必过椭圆的左（右）焦点，反之，当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时，过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线.（2）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为A ，则以NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即090NFA ∠=.35.过点()00,P x y 作直线交12222=+by a x C ：()0>>b a 于,A B 两点，点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上，若A P Q B A Q P B =，则点Q 在定直线00221x x y y a b+=上.36.已知()00,P x y 是椭圆 2222:1x y E a b+=外一点，过点P 作椭圆的切线，切点为,A B ，再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ，交AB 于点Q ，令111,,s t u PM PN PQ===，则,,s t u 的关系是2s t u +=.37.自()00,P x y 点作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线，切点分别为12,P P ，则切点弦12PP 的方程为00221x x y y a b+=：.38.过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()000,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.39. （1）过圆2222x y a b +=+上任意一点作椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的两条切线，则这两条切线相互垂直.反之，作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条相互垂直的切线，则切线交点一定在圆2222x y a b +=+上.（2）过圆2222x y a b +=+上任意一点P 作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线,PA PB ,,A B 为切点，中心O 至切点弦的距离为1d ，P 点至切点弦的距离为2d ，则221222a b d d a b =+.40.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。