李洁+指数分布总体的参数估计及应用

服从指数分布的极大似然估计的实际例子1.统计学家使用极大似然估计来估计指数分布的参数。

Statisticians use maximum likelihood estimation toestimate the parameters of the exponential distribution.2.通过估计参数λ，我们可以更好地了解指数分布中事件发生的方式。

By estimating the parameter λ, we can gain a better understanding of how events occur in an exponential distribution.3.极大似然估计是一种常用的统计方法，可用于估计各种类型的分布。

Maximum likelihood estimation is a commonly usedstatistical method that can be used to estimate various types of distributions.4.我们可以使用极大似然估计来估计指数分布的中位数或平均值。

We can use maximum likelihood estimation to estimate the median or mean of the exponential distribution.5.估计出的参数可以用于预测未来事件的发生情况。

The estimated parameters can be used to predict the occurrence of future events.6.极大似然估计需要收集一定数量的数据来进行计算。

Maximum likelihood estimation requires collecting a sufficient amount of data for computation.7.通过比较不同参数值下的似然函数，我们可以找到最可能的参数值。

参数估计的方法及应用参数估计是统计学中的一个重要方法，用于根据已知数据估计总体的未知参数。

它是统计推断的基础，广泛应用于各个领域，包括医学、金融、市场调研等。

下面将介绍几种常见的参数估计方法及其应用。

1. 点估计点估计是参数估计中最简单的一种方法，通过计算样本数据的统计量来估计总体参数的值。

最常用的点估计方法是样本均值和样本方差，分别用来估计总体均值和总体方差。

例如，在市场调研中，可以通过抽样调查估计某一产品的平均满意度，从而评估市场反应。

2. 区间估计区间估计是参数估计中更常用的一种方法，它不仅给出了参数的一个点估计，还给出了一个区间估计，用于表达估计值的不确定性。

典型的区间估计方法有置信区间和预测区间。

2.1 置信区间置信区间是用于估计总体参数的一个区间范围，表示参数值落在该区间内的概率。

置信区间一般由样本统计量和抽样分布的分位数确定，常见的置信区间有均值的置信区间和比例的置信区间。

比如，一个医生想要估计一种药物对某种疾病的治疗效果，可以从患者中随机抽取一部分人群服用该药物，然后计算患者的治愈率。

利用样本中的治愈率和抽样分布的分位数，可以构建出一个置信区间，用于估计总体的治愈率。

2.2 预测区间预测区间是用于预测个体观测值的一个区间范围，表示个体观测值落在该区间内的概率。

和置信区间不同的是，预测区间不仅考虑参数的估计误差，还考虑了个体观测值的不确定性。

例如，在金融领域，投资者可以利用历史收益率估计某只股票的未来收益率，并通过构建预测区间来评估投资风险。

3. 极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的概率分布，通过寻找使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计总体参数。

例如，在医学研究中，研究人员可以根据已知的疾病发病率和病人的临床症状，利用极大似然估计方法来估计某一疾病的传染率。

4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计原理的参数估计方法，它将参数看作是随机变量，并基于先验概率和样本数据来计算后验概率分布。

第五章 总体参数的估计用Excel ，z 值=Normsinv(1-a/2)求z 2α值用Excel ，t 值=TINV(1-置信水平,自由度)，t 值=tinv(a,自由度)求t 2α值§5.1 用估计量估计总体参数 演绎法和归纳法：从一个已知总体开始，讨论样本具有怎样的性质、样本均值x 能如何接近总体的均值μ。

这就叫演绎法--------由一般（总体）去推证特殊（样本）。

从抽取的一个已知出发，问对被抽样的未知总体可以作出什么结论。

这就叫归纳法，或叫统计推断-------由特殊（样本）去推证一般（总体）。

样本与总体：在一个总体中，均值μ和方差σ2虽然一般都是未知的，但它们却是固定的常数，记住这点是非常重要的。

这些常数叫做总体参数。

相反地，样本均值x 是一随机变量，它随样本而变化，它的分布是近似正态的。

象x 这样的随机变量是通过样本中的观测值计算出来的，专门名称叫做样本统计量。

用于估计的统计量叫做估计量，抽取一个样本，估计量就有了一个数值，这个数字称为该估计量的一个实现或取值，也称为一个估计值。

点估计和区间估计：点估计：是用作未知总体参数估计值的单一数值。

用估计量的实现值来近似相应的总体参数总体参数的区间估计：就是我们有相当把握认为参数位于其间的两个数值的陈述。

置信区间估计：我们可能十分相信，又可能不大相信总体参数包含在区间估计的区域内，因此，必须对这一区间附加一些概率的陈述。

用以作出这一概率陈述的方法是置信区间估计。

§5.2 点估计用什么样的估计量来估计参数呢？实际上没有硬性限制。

任何统计量，只要人们觉得合适就可以当成估计量。

当然，统计学家想出了许多标准来衡量一个估计量的好坏。

什么是好估计量的标准呢？无偏性、一致性、有效性1. 无偏性。

无偏性的直观意义是没有系统性误差。

虽然每个可能样本的估计值不一定恰好等于未知总体参数，但如果多次抽样，应该要求各个估计值的平均数等于总体参数，即从平均意义上，估计量的估计是没有偏差的。

具测量误差和缺失数据指数分布参数的估计与检验赵志文;何静花;杨慧超【摘要】在寿命实验中,由于测量设备的局限性,观测方法以及环境等因素的影响,观测数据经常存在测量误差.对带有测量误差的数据进行估计时,若忽略测量误差,可能导致估计是不相合的.此外,在许多实际问题的研究中,一些观测值经常无法观测而缺失.针对指数分布总体,利用矩估计的方法给出了未知参数的估计,证明了估计的优良性,讨论了两指数分布总体参数相等的假设检验,给出了检验统计量及其极限分布,得到了两总体参数之差的置信区间,并且用随机模拟的方法说明了方法的可行性.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(034)002【总页数】3页(P193-195)【关键词】指数分布;缺失数据;测量误差;矩估计;假设检验【作者】赵志文;何静花;杨慧超【作者单位】吉林师范大学数学学院,吉林四平 136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平 136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平 136000【正文语种】中文【中图分类】O212.1统计学中,具有测量误差和缺失数据的观测数据得到越来越多的关注与研究。

文献[1-3]讨论了存在测量误差下的参数估计。

文献[4]研究了具有部分缺失数据的两指数总体的参数估计以及相关的检验问题。

文献[5]讨论了定时截尾下具有部分缺失数据的2个指数总体的参数估计及相关假设检验问题。

文献[6]研究了两参数指数失效模型的参数估计问题。

本文进一步讨论了当样本具有测量误差和部分数据缺失时,2个指数分布总体参数的估计问题与相关假设检验问题。

给出了参数的矩估计,证明了估计的优良性,讨论了两指数分布总体参数相等的假设检验,给出了检验统计量及其的极限分布,并且用随机模拟的方法说明了本方法的可行性。

假设有2个指数分布,其密度函数为其中λi>0(i=1,2)为未知参数。

分别对2个指数分布进行n次独立观测,对每个总体进行观测时,样本观测值以1-p的概率缺失且存在测量误差。

参数估计的若干方法及应用陈茜瑶 2012级数学一班 060112041摘要:参数估计是统计理论的一种基本形式，是数理统计学的一种重要分支，其中最常见的估计方法是点估计和区间估计。

本文将对矩估计，极大似然估计，区间估计法等三种参数估计方法进行推广分析。

对它们的范围进行比较讨论，最后我们对其各自的重要性及其在实际中的应用作一介绍。

关键词：参数估计；矩估计；极大似然估计；区间估计引言: 随着数理统计的应用更加广泛,参数估计在医疗，交通，市场消费,甚至是自然灾害的预测等实际生活中都有着举足轻重的作用，它科学且精确地让我们预测一个参数的值，以达到避免灾害或是获取利益等作用。

参数估计已不知不觉渗透到生活的各个方面，它对人们的生活带来的很大的方便。

但是对于参数估计方法，好多人却不是很了解，所以，为了人们能更好的利用参数估计为生产生活服务，本文将在论文中对参数估计的具体方法做一个较为系统细致的讲解。

参数估计方法在人们生活中的应用，便于人们能更了解参数估计，接触参数估计，很好把它应用到生活之中。

这样，就会避免不必要的盲目性，对事物的发展有个相对明确的判断和把握，为生活带来方便和效益。

定义 2.1 设1,,nx x是来自总体的一个样本，用来估计未知参数θ的统计量()1,,n x x θθ∧∧=称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计。

点估计分为矩估计和极大似然估计。

点估计的优越性：无偏性——体现了一种频率思想，只有在大量重复使用时，无偏性才有意义。

有效性——意义是：用ˆθ估计θ时，除无系统偏差外，还要求估计精度更高。

若有θ的两个无偏估计1112ˆˆ(,,,)n X X X θθ=⋅⋅⋅与2212ˆˆ(,,,)n X X X θθ=⋅⋅⋅，如果var(1ˆθ)<=var(2ˆθ)，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

相合性——和样本的容量有关，是在极限的意义下引进的，适用于大样本情形，当样本容量n 越大时，总体的信息量增加，该估计也越精确越可靠，特别是当 样本容量趋于无穷大时，估计值将与参数真值几乎完全一致。

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第21讲指数分布1§2.4 连续型随机变量及其概率密度四川大学第21讲指数分布3第21讲连续型随机变量及其概率密度(III)指数分布四川大学四川大学第21讲指数分布4（二）指数分布四川大学第21讲指数分布5四川大学第21讲指数分布6若连续型随机变量X 具有概率密度,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，Exponential distribution显然f (x )≧0且()f x dx +∞-∞⎰+0xe dx λλ∞-=⎰1=故f (x )是概率密度(0λ>常数）+0()xed x λλ∞-=--⎰记为X ~ E (λ)。

[]x eλ-+∞=-0()e e -∞=--(01)=--四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布7,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩λxy eλλ-=1四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布8,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩1λ=0.5λ=2λ=四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布9λxy eλλ-=,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩现在来求分布函数x ≤0时，()()x F x f t dt -∞=⎰0xdt -∞=⎰0=x >0时，()()x F x f t dt -∞=⎰0xte dtλλ-=⎰xx()x t e d t λλ-=--⎰0[]t xe λ-=-1xeλ-=-四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布10λxy eλλ-=,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩分布函数x ≤0时，()0F x =x >0时，()1xF x eλ-=-1,0()0,xe x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布11λxy eλλ-=,0()0,0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩1,0()0,xe x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布12概率计算{}P a X b <<设0≤a <b ()b a f x dx =⎰b x a e dxλλ-=⎰()b x a e d x λλ-=--⎰[]x b a e λ-=-a be λλ--=-或者{}P a X b <<()()F b F a =-a b e eλλ--=-λx y e λλ-=a b {}P X a >1{}P X a =-≤1()F a =-a eλ-=四川大学四川大学四川大学第21讲指数分布14P X X服从指数分布的随机变量X 具有下列性质：,0s t ∀>有这个性质称为无记忆性：在已知X >s 发生的条件下，则X >s +t 发生的概率就等于{X >t }发生的概率。