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【巩固练习】一.选择题 1. 若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－5B ．7C ．－1D ．7或－12．（2016•富顺县校级模拟）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ） ①x 2﹣10x +25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④；⑤． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3. 如果24a ab m --是一个完全平方公式，那么m 是（ ）A.2116b B.2116b - C.218b D. 218b - 4. （2015•永州模拟）已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a 2+b 2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 35. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A.12B.6C.3D.0 6. 若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A.0c ≥B. 9c ≥C. 0c >D. 9c >二.填空题7．（2016•赤峰）分解因式：4x 2﹣4xy +y 2= ．8. 因式分解:()222224m nm n +-＝_____________. 9. 因式分解: 2221x x y ++-＝_____________.10. 若224250x y x y +-++=，x y +＝_____________.11. 当x 取__________时，多项式2610x x ++有最小值_____________.12.（2015•宁波模拟）如果实数x 、y 满足2x 2﹣6xy+9y 2﹣4x+4=0，那么= ．三.解答题13.若44225a b a b ++=，2ab =，求22a b +的值.14.（2015春•怀集县期末）已知a+=，求下列各式的值： （1）（a+）2；（2）（a ﹣）2；（3）a ﹣．15. 若三角形的三边长是a b c 、、，且满足2222220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵2222220a b c ab bc ++--=，∴2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=. 即()()220a b b c -+-=∵()()220,0a b b c -≥-≥，∴,a b b c a b c ====即.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知： a b c 、、为三角形的三条边，且2220a b c ab bc ac ++---=，试判断三角形的形状.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】由题意，3m -＝±4，71m =-或.2. 【答案】C ；【解析】② ③ ⑤ 不能用完全平方公式分解.3. 【答案】B ； 【解析】222211142222a ab m a a b b a b ⎛⎫⎛⎫--=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2144m b -=，选B. 4. 【答案】D ；【解析】解：由题意可知a ﹣b=﹣1，b ﹣c=﹣1，a ﹣c=﹣2，所求式=（2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ca ），=[（a 2﹣2ab+b 2）+（b 2﹣2bc+c 2）+（a 2﹣2ac+c 2）]，=[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]，=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，=3．故选D ．5. 【答案】A ；【解析】原式＝()222623612a b +-=⨯-=. 6. 【答案】B ；【解析】()()22639x x c x c -+=-+-，由题意得，90c -≥，所以9c ≥.二.填空题 7. 【答案】（2x ﹣y ）2 【解析】4x 2﹣4xy +y 2=（2x ）2﹣2×2x •y +y 2=（2x ﹣y ）2．8. 【答案】()()22m n m n +-；【解析】()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-. 9. 【答案】()()11x y x y +++-【解析】()()()222221111x x y x y x y x y ++-=+-=+++-.10.【答案】1；【解析】()()2222425210x y x y x y +-++=-++=，所以2,1x y ==-，1x y +=. 11.【答案】－3，1；【解析】()2261031x x x ++=++，当3x =-时有最小值1.12.【答案】．【解析】解：可把条件变成（x 2﹣6xy+9y 2）+（x 2﹣4x+4）=0， 即（x ﹣3y ）2+（x ﹣2）2=0，因为x ，y 均是实数，∴x﹣3y=0，x ﹣2=0，∴x=2，y=，∴==．故答案为． 三.解答题13.【解析】解：44224422222a b a b a b a b a b ++=++-()22222a b a b =+-将2ab =代入()222225a b a b +-=()()2222222259a b a b +-=+=∵22a b +≥0，∴22a b +＝3.14.【解析】解：（1）把a+=代入得：（a+）2=（）2=10； （2）∵（a+）2=a 2++2=10， ∴a 2+=8，∴（a ﹣）2=a 2+﹣2•a•=8﹣2=6； （3）a ﹣=±=±．15.【解析】 解：∵2222222220a b c ab bc ac ++---=∴()()()2222222220a ab b b bc c a ac c -++-++-+= ()()()2220a b b c a c -+-+-= ∴000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴a b c ==，该三角形是等边三角形.。
人教版八年级数学（上）第十四章整式的乘法与因式分解14.2.2 完全平方公式（1）➢自主学习、课前诊断一、温故知新计算下列多项式的积：（p+1）2 (m+2)2（p-1）2 (m-2)2二、设问导读阅读课本P109-110完成下列问题：1. 1.通过以上计算你发现了什么规律.2.小结：完全平方公式(a+b)2 =_____________(a-b)2=______________3.在图14.2-2中，大正方形的边长为______,面积为_________;从分割的角度，大正方形由______部分组成，所以它的面积还可以表示为__________，于是我们可以得到一个等式___________. 在图14.2-3中，左下角正方形的边长为______,面积为_________;左下角正方形的面积还可以表示为____________，于是我们可以得到一个等式__________ __________. 3.=+2)4(nm+2)(2nn+⋅⋅2222)(bbaaba++=++⋅⋅-=-yyy2)21(222222)(bbaaba+-=-5.自学例3和例4，(1)212y⎛⎫-⎪⎝⎭中，可以把_____看成a,_____看成b;(100+2)2中，可以把_____看成a,_____看成b;(100-1)2中，可以把_____看成a,_____看成b;三、自学检测1.填空：（1）（x+2）2 =_________(2)(m-4)2=m2+____+16(3)(_____+5y)2=______+20xy+25y22. 运用公式进行计算（1）(4a+b)2 (2) (4a-3b)2人教版八年级（上）数学第十四章互动学习、问题解决一、导入新课二、交流展示➢学用结合、提高能力一、巩固训练1.下列计算正确的是（）.A.(a+b)2=a2+b2B.(a-b)2=a2+2ab-b2C.(-a+b)2=a2-2ab+b2D.(-a-b)2=a2-2ab+b22．填空（1）若（a-4）2=a2+ka+16,则k=________. （2）如果x2+6x+m2是一个完全平方公式，则m= .（3）式子25m2+kmn+16n2可表示为完全平方形式，则k为 .3.已知x-y=9,xy=8则x2+y2的值是（）A. 100B. 97C. 94D. 91二、当堂检测1.若m,n是整数，那么(m+n)2-(m-n)2的值一定是（）.A.正数B.负数C.非负数D.4的倍数2．计算：（1）2)52(+-x(2)2)12(--m(3)2)3243(yx-(4) (3a+1)2-(3a+1)(-1+3a)三、拓展延伸化简求值:.21,31)2)(2()32(2-==-+-+yxyxyxyx其中➢课堂小结、形成网络__________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________。
数学八年级上册《完全平方公式（1）》导学案设计人：审核人：【学习目标】1、会完全平方公式的推导及其应用。
2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
3、培养严谨的科学态度。
【学习重点】完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。
【学习难点】理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算。
【学习方法】重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。
自学学法指导：仔细看书，对有疑问的地方进行圈点，做完后同桌互相对照。
仔细阅读课本109页到110页内容，完成自学部分。
1.问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？尝试计算下列各式，看看能不能发现什么规律？(1)（p+1）2=(p+1) (p+1)=(2) (m+2)2=(3)（p-1）2=(p-1) (p-1)=-(4)（m-2）2=2.学生归纳，得到完全平方公式(a+b)2 =_____________；(a-b)2 =____________。
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．3、由图14.2-2可以看出：（1）大正方形的边长是a+b，大正方形面积是(a+b)2；阴影部分的大正方形边长是a，所以它的面积是___；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是；另外两个矩形的长都是，宽都是，所以每个矩形的面积都是。
（2）大正方形面积=阴影部分的大正方形面积+两个矩形的面积+阴影部分的小正方形面积。
于是就可以得出：(a+b)2 =4、由图14.2-3可以看出：（1）、阴影部分大正方形面积=大正方形的面积-阴影部分小正方形的面积-两个矩形的面积（2）、阴影部分的大正方形边长是a-b，所以它的面积是(a-b)2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是；另外两个矩形的长都是，宽都是，所以每个矩形的面积都是；大正方形的边长是a，其面积是 __．于是就可以得出：(a-b)2 ===5．仿照例3、4完成下列练习知识链接：完全平方公式.（1）2)331(b a +- （2） 2)32(y x --（3）982 (4) 10126.自学中我的困惑是：研学1.相互交流自学中的收获与困惑。
《完全平方公式》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．122．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．363．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣674．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．205．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝，＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有项，各项系数的和等于；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有项，各项系数的和等于；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝＝；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝，并用所学知识说明你的结论的正确性．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+a5b+15a4b2+a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．《完全平方公式》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（）A．0B．1C．5D．12【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值．【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．2．（5分）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12B．20C．28D．36【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选：C．【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．3．（5分）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67【分析】把a+b＝10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab＝11代入求出a2+b2的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．4．（5分）若a＝4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a＝4+，整理成a﹣＝4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a＝4+，∴a﹣＝4，两边平方得，（a﹣）2＝16，∴a2+﹣2＝16，即：a2+＝18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣＝4两边平方是解本题的关键．5．（5分）已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝﹣4，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（﹣5）2﹣3×（﹣4）＝37，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2＝5，则（a﹣2017）（a﹣2018）＝2【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出即可．【解答】解：（a﹣2017）（a﹣2018）＝﹣＝﹣＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．7．（5分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，并说出第7排的第三个数是15．【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；第7排的第三个数是15，故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；【点评】考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．8．（5分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1；（2）（a+b）n展开式共有n+1项，系数和为2n．【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．【解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．【点评】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．9．（5分）已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为8．【分析】应用基本不等式a2+b2≥2ab，先求出2ab的取值范围，再利用完全平方公式把（a﹣b）2展开代入即可得到取值范围，从而得到最大值．【解答】解：∵a2+b2≥2|ab|，∴2|ab|≤4，∴﹣4≤﹣2ab≤4，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4﹣2ab，∴0≤4﹣2ab≤8，∴（a﹣b）2的最大值8．故答案为：8．【点评】本题考查了完全平方公式，利用基本不等式求出﹣2ab的取值范围是解题的关键，此题较难，不容易想到思路，希望同学们思路开阔灵活求解．10．（5分）已知a+＝﹣2，则＝2，＝0．【分析】已知a+＝﹣2，两边分别平方可求得，再进行求解即可得出答案．【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，∴对其两边进行平方得；＝2，∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，∵＝﹣2＝2﹣2＝0，∴a﹣＝0，故（a+）（a﹣）×2＝0．故答案为：2，0．【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是熟练灵活运用完全平方公式进行解题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：＝；＝；计算：＝；猜想：＝．【分析】先计算出结果，然后根据三个式子的结果规律，得猜想．【解答】解：原式＝＝；故答案为：由已知和计算的三个式子知：当n＝0时，＝＝，当n＝1时，＝＝，当n＝2时，原式＝＝…所以猜想＝＝．故答案为：【点评】本题考查了计算和规律型问题．解决本题的关键是找到计算结果的规律．12．（10分）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；（2）请直接写出（a+b）5共有6项，各项系数的和等于32；（3）（a+b）n（n为非负整数）共有（n+1）项，各项系数的和等于2n；（a﹣b）n（n为非负整数）各项系数的和等于0．【分析】（1）根据规律写出（a+b）4的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；（3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和，（a﹣b）n的各项系数的和即可．【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．验证：（a+b）4＝（a+b）2（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项，各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，它们的和等于32；（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，∵1＝20，1+1＝21，1+2+1＝22，1+3+3+1＝23，∴（a+b）n各项系数的和等于2n；∵1﹣1＝0，1﹣2+1＝0，1﹣3+3﹣1＝0，∴（a﹣b）n各项系数的和等于0．故答案为：6，32；（n+1），2n；0．【点评】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．13．（10分）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272＝（27+7）×20+72＝729322＝（32+2）×30+22＝1024562＝（56+6）×50+62＝3136…（1）请根据上述规律填空：382＝（38+8）×30+82＝1444；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，并用所学知识说明你的结论的正确性．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．【解答】解：（1）382＝（38+8）×30+82＝1444，故答案为：（38+8）×30+82，1444；（2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2，故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．14．（10分）观察下列算式，尝试问题解决：杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n＝0，1，2，3，4，5..）的计算结果中的各项系数：（1）请根据上题中的杨辉三角系数集”，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23①请补全下面展开式的系数：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6②请写出（a+b）10各项系数之和：210（2）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，求a1+a2+a3+…+a16+a17的值．（3）你能在（2）的基础上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值吗？若能，请写出过程．【分析】（1）①根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求展开式即可；②根据规律确定（a+b）10各项系数之和；（2）根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．（3）“杨辉三角系数集”的规律可知：a0＝1，分别将x＝1和x＝﹣1代入（2）式后相加即可求得．【解答】解：（1）①：（a﹣b）6＝a6+（﹣6）a5b+15a4b2+（﹣20）a3b3+15a2b4﹣6ab5+b6；故答案：﹣6，﹣20；②∵（a+b）1＝a+b各项系数之和1+1＝2＝21，（a+b）2＝a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1＝4＝22，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1＝8＝23，…（a+b）10各项系数之和：210；故答案为：210；（2）由（1）得：（x+1）17各项系数之和：217，即a0+a1+a2+a3+…+a16+a17＝217，∴a1+a2+a3+…+a16+a17＝217﹣1；（3）当x＝1时，（1+1）17＝217＝a17×1+a16×1+…+a1×1+a0＝a17+a16+…+a1+a0①，当x＝﹣1时，（﹣1+1）17＝0＝﹣a17+a16﹣…+a2﹣a1+a0②，①+②得：2（a0+a2+a4+a6+…+a14+a16）＝217，∵a0＝1，∴a2+a4+a6+…+a14+a16＝216﹣1．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清“杨辉三角形”中系数规律是解本题的关键．15．（10分）已知x+y＝5，xy＝1．（1）求x2+y2的值．（2）求（x﹣y）2的值．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2＝23；（2）∵x+y＝5，xy＝1，∴原式＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4＝21．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
《小专题完全平方公式的变形》
——教材P112习题T7的变式与应用教材母题：（教材P112习题T7）已知，求的值.
【变式1】（淄博中考）若，则=（）
A.2
B.1
C.-2
D.-1
【变式2】（乐山中考）已知实数满足，则=（）
A.1
B.-
C.
D.
【变式3】已知，则_________.
【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式
，通过配方可对进行适当的变形，如
或.
（1，则的值为_________.
（2）已知，求的值.
针对训练
1.已知都是正数，，则（）
A.-3
B.3
C. 3
D.9
2.已知.
（1）求的值.
（2）若，求的值.
3.已知，求的值.
4.（1）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式：
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①若m+n=8，mn=12，求m-n的值：
②已知，请利用上述等式求mn.
参考答案
教材母题
解：即
【变式1】B.
【变式2】C
【变式3】25
【变式4】解：(1)
.
针对训练
1.B
2.解：(1) .
.
3.解：
.
4.解：（2）①m-n=4或-4.②mn= 1.。
完全平方公式(第一课时)教案教学内容：完全平方公式教学目标：完全平方公式的推导及其应用教学重点：完全平方公式的推导过程，公式特点教学难点：理解完全平方公式的特点并能灵活应用公式进行计算教学过程：一复习引入：1 计算下面各题：(复习多项式与多项式相乘)(1)(2x＋1)(x＋3) (2) (m＋2n)(m－3n) (3) (x＋2)(x＋3) (4)(x－4)(x＋1) (5) (y＋4)(y－2) (6) (y－5)(y－3)2 师：我们曾学过求正方形的面积，那么它的面积公式是如何表示的，请一个同学说出来。
生：s = a2师：很好，请问a2 表示什么意思？生：a2表示a · a，即两个a相乘师：说得对，用数学表达式可以写作：a2 = a ·a (教师板书)，这节课我们就要用到这种方法来解决一个新的问题二导入新课：先计算下列各式，看谁能先发现计算结果有什么的规律性(1) (p＋1)2 = (p＋1)(p＋1)= (2) (m＋2)2 =(3) (p－1)2 = (p－1)(p－1) = (4) (m－2)2 =通过计算，得：(1) 的结果是：p2＋2p＋1 ；(2) 的结果是：m2＋4m＋4 ；(3) 的结果是：p2－2p＋1 ；(4) 的结果是：m2－4m＋4 。
教师启发学生先观察(1)式，师：它是求(p+1)的平方，第一项和第三是这两个加数的什么？生：是这两个加数的平方，师：在看第二项，在我们计算的结果中除了字母p和数字1 外，还多了一个系数2，你还知道是如何得到的吗？生：是根据多项式与多项式相乘，展开后其中有两项是一样的，通过合并同类项得到系数2；师：说的对，请再分析一下第二项与这两个加数是不是还有什么样的关系？生：从刚才的计算过程中可以看出，实际上第二项就是这两个加数的2倍；师：说得好！(教师板书)：2 p = 2 ×p ×1，因为这个1可以省略，所以写作2 p，但我们心里要明白是这两个加数的2倍，不然的话我们就容易出现计算上的错误，比如说(2) 和(4)中间项就是2 ×m ×2 = 4m得到的；师：还有一个问题就是展开后的符号是如何确定的，你知道吗？生：对于这样的式子来说，如果说是加号就加上这两个数的2倍，是减号的话即减去这两个数的2倍了，其余符号都为加号。
2023年人教版八年级上册数学必背公式(含解析)1. 平方公式- 两个相同数的平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$2. 乘法公式- 平方差求积公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$- 二次完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$- 二次不完全平方公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$3. 分式运算- 分式相乘公式：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$- 分式相除公式：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$4. 代数运算- 求和公式：$a + b + c = c + b + a$- 求差公式：$a - b \neq b - a$- 求积公式：$a \times b = b \times a$- 求商公式：$\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$5. 几何公式- 直角三角形斜边长度公式（勾股定理）：$c^2 = a^2 + b^2$- 三角形内角和公式：$a + b + c = 180^\circ$- 相似三角形边长比例公式：$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$- 三角形周长公式：$P = a + b + c$6. 统计与概率公式- 平均数计算公式：$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$- 可能性计算公式：$P(A) = \frac{\text{有利事件的个数}}{\text{总事件的个数}}$以上是2023年人教版八年级上册数学必背公式的完整版及相应解析。
