推荐学习K12浙江省2016届高三数学专题复习 专题七 计数原理与概率、推理证明与数学归纳法模拟演练
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专题七 计数原理与概率、推理 证明与数学归纳法经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·舟山联考)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32D ．2 2．(2015·杭州诊断)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．(2015·德州二模)从6名同学中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有( ) A ．240种 B ．144种 C ．96种 D ．300种4．若(1＋x )(2－x )2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x2 015＋a 2 016x2 016，则a 2＋a 4＋…＋a 2 014＋a 2 016等于( ) A ．2－22 015B ．2－22 016C ．1－22 015D ．1－22 0165．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.196．(2015·温岭中学模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120 D ．210 二、填空题7．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的重复数字的四位数中，“好数”共有________个．8．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________．(结果用最简分数表示)9．(2015·温州中学)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 三、解答题10．(2015·金华一中模拟)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．11．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列．12．(2015·绍兴联考)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．经典模拟·演练卷1．B [∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.] 2．B [展开式的通项公式T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r，∴T r ＋1＝3n －r C rnxn －52r ，r ＝0，1，2，…，n .令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.]3．A [分三类：(1)甲、乙均没参加游览，有A 44＝24种方案． (2)甲、乙只有1人参加游览，有C 12C 34A 13A 33＝144种方案． (3)甲、乙均参加游览，有C 24C 12A 33＝72种方案．∴由分类加法计数原理，共有24＋144＋72＝240(种)不同方案．]4．C [采用赋值法，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 015＋a 2 016＝2，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 015＋a 2 016＝0，把两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 016)＝2，所以a 0＋a 2＋…＋a 2 016＝1，又令x ＝0，得a 0＝22 015，所以a 2＋a 4＋…＋a 2 014＋a 2 016＝1－22 015.故选C.]5．D [由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有4×5＝20(个)；若个位数为偶数时，这样的两位数共有5×5＝25(个)；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45(个)．其中，个位数是0的有5个．于是，所求概率为545＝19.]6．C [f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 34＝120，故选C.] 7．12 [当相同的数字不是1时，有C 13个； 当相同的数字是1时，共有C 13C 13个，由分类加法计数原理知共有“好数”C 13＋C 13C 13＝12个．]8.23 [三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法， 其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 23C 12＝3×3×2＝18(种)选法． ∴所求概率为P ＝1827＝23.]9．A 城市 [由丙可知乙至少去过一个城市，由甲可知甲去过A 、C 城市，且比乙多，故乙去过一个城市，且没去过C 城市．故乙去过A 城市．]10．解 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”， P (A )＝C 16C 130C 236＝27.所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”， 事件A 1为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”， 事件A 2为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”． P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 221C 236＋C 19C 16C 236＝13＋335＝44105.所以采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是44105.11．(1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列．(2)解 因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n.又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n .可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．12．解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1， 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 法二 a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)法一 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.法二 设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14.③又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)， 即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14.④综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。
