n个节点能组成多少种二叉树

2024年6月GESP编程能力认证C++等级考试六级真题(含答案) 一、单选题（每题2分，共30分）。

1.面向对象的编程思想主要包括（）原则。

A. 贪心、动态规划、回溯。

B. 并发、并行、异步。

C. 递归、循环、分治。

D. 封装、继.承、多态。

2.运行下列代码，屏幕上输出（）。

A. 1 1 1B. 1 2 3C. 1 1 2D. 1 2 23.运行下列代码，屏幕上输出（）。

A. rectangle area: triangle area:B. parent class area: parent class area:C. 运行时报错D. 编译时报错4.向一个栈顶为hs的链式栈中插入一个指针为s的结点时，应执行（）。

A. hs->next =s;B. s->next =hs;hs =s;C. s->next =hs->next;hs->next =s;D. s->next =hs;hs =hs->next;5.在栈数据结构中，元素的添加和删除是按照什么原则进行的（）。

A. 先进先出B. 先进后出C. 最小值先出D. 随机顺序6.要实现将一个输入的十进制正整数转化为二进制表示，下面横线上应填入的代码为（）。

7.下面定义了一个循环队列的类，请补全判断队列是否满的函数，横向上应填写（）。

A. return(rear +1)% capacity ==front;B. return rear % capacity ==front;C. return rear ==front;D. return(rear +1)==front;8.对“classmycls”使用哈夫曼（Huffman）编码，最少需要（）比特。

A. 10B. 20C. 25D. 309.二叉树的（）第一个访问的节点是根节点。

A. 先序遍历B. 中序遍历C. 后序遍历D. 以上都是10.一棵5层的满二叉树中节点数为（）。

数据结构第二单元测验题目的参考答案数据结构第二单元测验答案一、选择题1.由3 个结点可以构造出多少种不同的有向树( )A.2B.3C.4D.52.由3 个结点可以构造出多少种不同的二叉树( d)A.2B.3C.4D.53.二叉树的第I层上最多含有结点数为(c )A.2IB.2I-1-1C.2I-1D.2I -14.一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵二叉树最少有( b )结点A.2hB.2h-1C.2h+1D.h+1除第一层外,每层最少2个结点5.一棵树高为K的完全二叉树至少有( c )个结点A.2k–1B.2k-1–1C.2k-16.深度为6的二叉树最多有( c )个结点A．64 B.63 C.32 D.317.设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1 则T中的叶子数为( )A.5B.6C.7D.88.若一棵二叉树具有10个度为2的结点，5个度为1的结点，则度为0的结点个数是( c )A.9B.11C.15D.不确定9.一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是( e )A.250B.500C.254D.505 E．以上答案都不对10.对于有n 个结点的二叉树, 其高度为( d )A.nlog2nB.log2nC.?log2n?|+1D.不确定11.将含有83个结点的完全二叉树从根结点开始编号，根为1号，按从上到下.从左到右顺序结点编号，那么编号为41的双亲结点编号为（）A.42B.40D.2012.一个二叉树按顺序方式存储在一个维数组中，如图0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14A B C D E F G H I J则结点E在二叉树的第（c ）层。

A. 1B. 2C. 3D.413.某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是（ b）的二叉树A.空或只有一个结点B.高度等于其结点数C.任一结点无左孩子D.任一结点无右孩子14.任何一棵二叉树的叶结点在其先根.中根.后根遍历序列中的相对位置( c )A.肯定发生变化B.有时发生变化C.肯定不发生变化D.无法确定15.二叉树线索化后，仍不能有效求解的问题是（d ）A.先序线索二叉树中求先序后继B.中序线索二叉树中求中序后继C.中序线索二叉树中求中序前驱D.后序线索二叉树中求后续后继一共有两种情况:一个是先序线索中求先序前驱和后序线索求后序后继16.如果T2是由有序树T转化而来的二叉树，那么T中结点的前序就是T2中结点的( a )A.前序B.中序C.后序D.层次序17.设森林T中有4棵树，第一.二.三.四棵树的结点个数分别是n1,n2,n3,n4,那么当把森林T转换成一棵二叉树后，且根结点的右子树上有( d )个结点。

学习数据结构心得体会数据结构研究总结通过一学期对《数据结构与算法》的研究，大概的了解了基本的数据结构和相应的一些算法。

下面总结一下自己一个学期研究的收获和心得。

数据结构是什么：数据结构是计算机存储、组织数据的方式。

数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。

数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。

数据结构重要性：一般认为，一个数据结构是由数据元素依据某种逻辑联系组织起来的。

对数据元素间逻辑关系的描述称为数据的逻辑结构；数据必须在计算机内存储，数据的存储结构是数据结构的实现形式，是其在计算机内的表示；此外讨论一个数据结构必须同时讨论在该类数据上执行的运算才有意义。

一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构影响数据处理的效率。

在许多类型的程序的设计中，数据结构的选择是一个基本的设计考虑因素。

许多大型系统的构造经验表明，系统实现的困难程度和系统构造的质量都严重的依赖于是否选择了最优的数据结构。

许多时候，确定了数据结构后，算法就容易得到了。

有些时候事情也会反过来，我们根据特定算法来选择数据结构与之适应。

不论哪种情况，选择合适的数据结构都是非常重要的。

选择了数据结构，算法也随之确定，是数据而不是算法是系统构造的关键因素。

这种洞见导致了许多种软件设计方法和程序设计语言的出现，面向对象的程序设计语言就是其中之一。

常见的数据结构：1.顺序表：定义：顺序表是在计算机内存中以数组的形式保存的线性表,是指用一组地址连续的存储单元依次存储数据元素的线性结构。

线性表采用顺序存储的方式存储就称之为顺序表。

顺序表是将表中的结点依次存放在计算机内存中一组地址连续的存储单元中。

基本运算：置表空：sqlsetnull（l）判表满：sqlempty（l）求表长：sqllength(l)插入：sqlinsert（l,i,x）按序号取元素：sqlget（l,i）删除：sqldelete(l,i)按值查找：sqllocate(l,x)2.链表定义：链表是一种物理储备单元上非连续、非顺序的储备结构，数据元素的逻辑顺序是经由过程链表中的指针链接次序实现的。

数据结构树的种类树是一种基本的数据结构，用于表示具有层次结构的数据。

它由一组节点组成，其中的每个节点都可以有零个或多个子节点。

树可以有不同的种类，每种种类具有不同的特点和应用场景。

以下是一些常见的树的种类：1. 二叉树（Binary Tree）：二叉树是一种每个节点最多只有两个子节点的树结构。

它可以是空树，或者由一个根节点、左子树和右子树组成。

二叉树具有简单的结构，常用于二分和排序。

2. 二叉树（Binary Search Tree）：二叉树是一种具有以下特点的二叉树：左子树中的所有节点都比根节点小，右子树中的所有节点都比根节点大。

二叉树支持快速的查找、插入和删除操作，并在树中保持有序性。

3. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：平衡二叉树是一种二叉树，但它在插入和删除节点时会自动调整树的结构以保持树的平衡性。

平衡二叉树的常见实现包括 AVL 树和红黑树，它们可以提供在最坏情况下仍保持对数时间复杂度的查找、插入和删除操作。

4. B树（B-Tree）：B树是一种自平衡的树结构，它具有以下特点：每个节点可以有多个子节点，每个节点中的键值有序排列，并且每个节点中的键值数量有一个上限和下限。

B树通常用于大规模数据的存储和数据库系统。

5. Trie树（Trie Tree）：Trie树，也称为字典树或前缀树，是一种专门用于处理字符串集合的树结构。

Trie树的每个节点都代表一个字符串前缀，通过将字符逐级插入树中，可以高效地完成字符串的和查找操作。

6. 线段树（Segment Tree）：线段树是一种用于处理区间查询问题的树结构。

它将要处理的区间划分为一系列离散的线段，并为每个线段创建一个节点。

线段树可以高效地回答关于区间的统计性质，如区间最小值、区间最大值、区间和等。

7. 堆（Heap）：堆是一种完全二叉树，它具有以下特点：对于每个节点，它的值都大于等于（或小于等于）它的子节点的值。

堆被广泛应用于优先队列、排序算法（如堆排序）以及图算法中。

数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。

⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。

定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。

（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。

值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。

具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。

⽆序树的⼦树⽆左右之分。

2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。

这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。

完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。

如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。

性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。

证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。

整理了10道美团笔试真题，来试试自己水平有多厉害吧。

1、小美是美团的一名鲜花快递员，鲜花是一种保质期非常短的商品，所以需要尽快送到客户手中，公司对于骑手的一个要求就是要规划送花的线路，使得骑手送完所有订单走的路程尽可能少。

(骑手开始派送时带走了所有需要派送的花，不必每单后返回花店，路程结算是从花店出发，到送完最后一名客户为止，不计算从最后一名客户家回到花店的时间)。

公司对于骑手的绩效评价是取决于两个指标，一是从花店到所有客户地址的距离之和，另一个是骑手实际走的路程。

设花店始终位于1号位置，客户共有n-1个，其编号为2~n。

为了简化问题，我们约束这n个位置构成的是一棵树，即只有n-1条边在其中互相连接，且保证n个点彼此连通。

输入描述：输出第一行包含一个正整数n，即花店和客户的总数。

(1<=n<=30000)。

接下来有n-1行，每行有三个整数u,v,w，表示在u和v之间存在一条距离为w的道路。

(1<=w<=1000)输出描述：输出包含两个整数，中间用空格隔开，分别表示花店到所有客户地址的距离之和和骑手实际走的路程。

答：import java.util.*;public class Main{public static void main(String[] args){Scanner s= new Scanner(System.in);int n=s.nextInt();int alldis=0;ArrayList<Edge>[] graph= new ArrayList[n+1];for (int i=1;i<n+1;i++){graph[i]=new ArrayList<Edge>();}for(int i=0;i<n-1;i++){int num = s.nextInt();int key = s.nextInt();int value = s.nextInt();alldis+=value;graph[num].add(new Edge(key,value));}boolean[] hasVis = new boolean[n+1];int[] allDis = new int[n + 1];allDis[1]=0;LinkedList<Node> queue = new LinkedList<>();queue.offer(new Node(1,0,true));while(!queue.isEmpty()){Node tempNode = queue.poll();int num=tempNode.num;for (Edge edge:graph[num]){int dis= tempNode.dis+edge.value;if (!hasVis[edge.pointTo]){queue.offer(new Node(edge.pointTo,dis,true));allDis[edge.pointTo]=dis;hasVis[edge.pointTo]=true;}}}int max=0;int sum=0;for (int i=0;i<allDis.length;i++){sum+=allDis[i];if (allDis[i]>max){max=allDis[i];}}System.out.print(sum+" "+(2*alldis-max));}static class Edge{int pointTo;int value;public Edge(int pointTo,int value){this.pointTo=pointTo;this.value=value;}}static class Node{int num;int dis;boolean hasVisited;public Node(int num,int dis,boolean hasVisited){this.num=num;this.hasVisited=hasVisited;this.dis=dis;}}}2、美团对于商家的评价体系是1-5星评价体系，用户在完成订单之后可以对商家打1/2/3/4/5星，而在客户端上，商家的评级却不一定是整数，而是会显示小数点后的一位。

公共基础专题探究——二叉树1．6 树与二叉树树是一种简单的非线性结构，所有元素之间具有明显的层次特性。

在树结构中，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。

每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。

没有后件的结点称为叶子结点。

在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。

为该结点的左子树与右子树。

二叉树的基本性质：必考的题目（1）在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；（2）深度为m的二叉树最多有2m-1个结点；（3）度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；（4）二叉树中 n = n0 +n1 +n2k层上有2k-1个结点深度为m的满二叉树有2m-1个结点。

若干结点。

二叉树的遍历：（一般画个图要你把顺序写出来）后序遍历（访问根结点在访问左子树和访问右子树之后）重点题型：二叉树的遍历例1：某二叉树的前序序列为ABCD，中序序列为DCBA，则后序序列为（DCBA ）。

【解析】前序序列为ABCD，可知A为根结点。

根据中序序列为DCBA可知DCB是A的左子树。

根据前序序列可知B是CD的根结点。

再根据中序序列可知DC是结点B的左子树。

根据前序序列可知，C是D的根结点，故后序序列为DCBA例2：对下列二叉树进行前序遍历的结果为 ABDYECFXZ例3：设二叉树如下，则后序序列为 DGEBHFCA【解析】本题中前序遍历为ABDEGCFH，中序遍历为DBGEAFHC，后序遍历为DGEBHFCA完全二叉树指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，在最后堆排序问题：例1：已知前序序列与中序序列均为ABCDEFGH，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知ABCDEFGH中：L-D-R 已知ABCDEFGH后：L-R-D 待求由此可知，L=0，D-R= ABCDEFGH故R-D=HGFEDCBA，即后序序列= HGFEDCBA变式训练1：已知后序序列与中序序列均为ABCDEFGH，求前序序列答案：HGFEDCBA，（这次R=0）结论：若前序序列与中序序列均为某序列，则后序序列为该序列的倒序，且为折线；同样地，若后序序列与中序序列均为某序列，则前序序列为该序列的倒序，且为折线例2：已知前序序列=ABCD，中序序列=DCBA，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知ABCD中：L-D-R 已知DCBA后：L-R-D 待求因为ABCD与DCBA正好相反，由此可知，R=0所以D-L=ABCD，即L-D=DCBA所以后序序列= DCBA变式训练2-1：中序序列=BDCA，后序序列=DCBA，求前序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 待求中：L-D-R 已知BDC,A后：L-R-D 已知DCB,A通过观察可知，R=0，L={B,D,C}，D=A中、后变换时，{B,D,C}发生了变化，说明左子树结构特殊，进一步令中’：L’-D’-R’已知B,DC后’：L’-R’-D’已知DC,B可知L’=0，即D’=B，R’= DC可以画出二叉树示意图为：Array所以前序序列= ABCD变式训练2-2：中序序列=ABC，后序序列=CBA，求前序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 待求中：L-D-R 已知ABC后：L-R-D 已知通过观察可知，L=0，D-R=ABC，R-D=CBA所以前序序列=D-L-R= D-R=ABC变式训练2-3：前序序列=ABC，中序序列=CBA，求后序序列【解析】设根节点为D≠0，左子树为L，右子树为R，有遍历顺序为：前：D-L-R 已知A,BC中：L-D-R 已知CB,A后：L-R-D 待求通过观察可知，D=A ，L={B,C}，R=0所以后序序列=CBA (一边偏)题型二：求二叉树的深度。

二叉树结点计算公式二叉树是一种常见的数据结构，由结点和连接这些结点的边组成。

每个结点都有一个值，并且可以有最多两个子结点。

根据二叉树结点的计算公式，我们可以更好地理解和运用二叉树。

二叉树的结点计算公式可以帮助我们计算二叉树的深度。

二叉树的深度是指从根结点到最远叶子结点的路径长度。

通过遍历二叉树的每个结点，并计算结点所在的层数，我们可以得到二叉树的深度。

这可以通过递归算法实现，即从根结点开始，递归地计算左右子树的深度，并取较大值加1作为树的深度。

二叉树的结点计算公式还可以帮助我们计算二叉树的节点数。

节点数是指二叉树中所有结点的总数。

通过递归地遍历每个结点，并计数每个结点，我们可以得到二叉树的节点数。

递归算法的思路是，树的节点数等于左子树的节点数加右子树的节点数再加1。

二叉树的结点计算公式还可以用于计算二叉树的叶子结点数。

叶子结点是指没有子结点的结点。

通过遍历每个结点，并判断其是否为叶子结点，我们可以得到二叉树的叶子结点数。

递归算法的思路是，如果当前结点没有左子树和右子树，则它是叶子结点，否则递归地计算左右子树的叶子结点数并相加。

二叉树的结点计算公式还可以帮助我们判断二叉树是否为平衡二叉树。

平衡二叉树是指任意节点的左右子树的高度差不超过1的二叉树。

通过计算每个结点的左子树和右子树的深度差，并判断是否满足平衡二叉树的定义，我们可以确定二叉树是否为平衡二叉树。

递归算法的思路是，判断当前结点的左子树和右子树的深度差是否满足平衡二叉树的定义，并递归地判断左右子树是否为平衡二叉树。

除了上述常见的二叉树计算公式，还有一些其他的应用。

例如，我们可以通过二叉树的结点计算公式来计算二叉树的直径。

二叉树的直径是指二叉树中任意两个结点之间的最长路径长度。

通过遍历每个结点，并计算以该结点为根结点的子树的直径，我们可以得到二叉树的直径。

递归算法的思路是，二叉树的直径等于左子树的直径、右子树的直径和经过根结点的最长路径长度中的最大值。

n个节点能组成多少种二叉树思想：递归+组合当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1;当n=2时，1个根节点固定，还有n-1个节点，可以作为左子树，也可以作为右子树，即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。

这里h(0)表示空，所以只能算一种形态，即h(0)=1;当n=3时，1个根节点固定，还有n-1=2个节点，可以在左子树或右子树，即：h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。

以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种。

即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

递归式：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。

现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。

文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。

基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。

在中国古代，文案亦作" 文按"。

公文案卷。

《北堂书钞》卷六八引《汉杂事》:"先是公府掾多不视事，但以文案为务。

数据结构复习题库一、填空题（24分，每空1分）1.1绪论1、数据是指输入到计算机中并能被计算机程序处理的符号的总称。

2、数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，它是数据的子集。

3、数据结构：带结构的数据元素的集合；是指数据以及相互之间的联系，主要描述数据及其关系在计算机内如何表示、存取和处理。

4、数据的逻辑结构是指数据元素之间逻辑关系的整体，它与数据的存储结构无关，是独立于计算机的。

数据的存储结构是逻辑结构用计算机语言的实现（亦称为映象），它是依赖于计算机语言的。

5、数据结构在计算机意义下，包含三个方面的内容：（1）数据元素之间的逻辑关系；是指数据及其相互之间的关系,它是根据人们解决实际问题的需要和问题本身所含数据之间的内在联系而抽象出来的；（2）数据的存储方式；（3）施加在数据上的运算。

6、数据的逻辑结构可归结为以下四类: 线性结构、树形结构、图状结构、集合结构7、数据的存储方式可归结为以下四类: 1）顺序存储2）链接存储3）索引存储4）散列存储。

8、抽象数据类型(Abstract Data Type 简称ADT)：是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作。

抽象数据类型可以定义一个完整的数据结构。

9、数据结构是指数据及其相互之间的____联系____。

当结点之间存在M对N（M：N）的联系时，称这种结构为图（或图结构）。

10、算法的五个重要特性是指(1)有穷性、(2)确定性：(3)可行性、(4)输入、(5)输出；其中有穷性是指：执行有限步后能够在有限时间内(合理)结束；确定性是指：每一步都应确切地、无二义性地定义；(3)可行性：每条指令可以执行且有正确的结果。

11、评价一个算法的好坏主要依据：1正确性2、可读性3、健壮性4、高效率与低存储量需求。

12、算法效率的衡量方法有：事后统计法和事前分析估算法；事前估算法主要考虑：（1）算法选用的策略、（2）、问题的规模。

13、算法时间复杂度是算法中基本运算重复执行次数多少的量度。

【数据结构】⼆叉树【⼆叉树】 ⼆叉树是最为简单的⼀种树形结构。

所谓树形结构，其特征（部分名词的定义就不明确给出了，毕竟不是学术⽂章。

）在于： 1. 如果是⾮空的树形结构，那么拥有⼀个唯⼀的起始节点称之为root（根节点） 2. 除了根节点外，其他节点都有且仅有⼀个“⽗节点”；除此外这些节点还都可以有0到若⼲个“⼦节点” 3. 树中的所有节点都必须可以通过根节点经过若⼲次后继操作到达 4. 节点之间不会形成循环关系，即任意⼀个节点都不可能从⾃⾝出发，经过不重复的径路再回到⾃⾝。

说明了树形结构内部蕴含着⼀种“序”，但是不是线性表那样的“全序” 5. 从树中的任意两个节点出发获取到的两个任意⼦树，要不两者⽆交集，要不其中⼀者是另⼀者的⼦集 限定到⼆叉树，⼆叉树就是任意⼀个节点⾄多只能有两个⼦节点的树形结构。

也就是说，某个节点的⼦节点数可以是0,1或2。

由于可以有两个⼦节点，所以区别两个⼦节点可以将其分别定义为左⼦节点和右⼦节点。

但是需要注意的是，若⼀个节点只有⼀个⼦节点，那么也必须明确这个⼦节点是左⼦节点还是右⼦节点。

不存在“中⼦节点”或者“单⼦节点”这种表述。

由于上述规则对所有节点都⽣效，所以⼆叉树也是⼀个递归的结构。

事实上，递归就是⼆叉树⼀个⾮常重要的特点，后⾯还会提到很多通过递归的思想来建⽴的例⼦。

对于左⼦节点作为根节点的那颗⼆叉树被称为相对本节点的左⼦树，右⼦树是同理。

■ 基本概念 空树 不包含任何节点的⼆叉树，连根节点也没有 单点树 只包含⼀个根节点的⼆叉树是单点树 ⾄于兄弟关系，⽗⼦关系，长辈后辈关系是⼀⾔既明的就不说了。

树中没有⼦节点的节点被称为树叶（节点），其余的则是分⽀节点。

⼀个节点的⼦节点个数被称为“度数”。

正如上所说，⼆叉树任意节点的度数取值可能是0，1或2。

节点与节点之间存在关联关系，这种关联关系的基本长度是1。

通过⼀个节点经过若⼲个关联关系到达另⼀个节点，经过的这些关联关系合起来被称为⼀个路径。

Ch6树一、选择题：1．下列关于哈夫曼树的叙述，错误的是( C )。

A．哈夫曼树根结点的权值等于所有叶结点权值之和。

B．具有n个叶结点的哈夫曼树共有2n-1个结点。

C．哈夫曼树是一棵二叉树，因此它的结点的度可以为0，1，2。

D．哈夫曼树是带权路径长度最短的二叉树。

2．由3个结点可以构成多少棵不同形态的二叉树( C )。

A．3 B．4 C．5 D．6（3．如果一棵二叉树结点的前序序列是A，B，C，后序序列是C，B，A，则该二叉树结点的中序序列是( D )。

A．A，B，C B．A，C，B C．B，C，A D．不能确定4．如图所示的4棵二叉树中，( B )不是完全二叉树。

A．B．C．D．5．二叉树按某种顺序线索化后，任一结点均有指向其前趋和后继的线索，这种说法( B )A．正确B．错误若结点有左子树，则令其lchild指针指示其左孩子；若结点没有左子树，则令其lchild指针指示其前驱；若结点有右子树，则令其rchild指针指示其右孩子；若结点没有右子树，则令其rchild指针指示其后继。

)6．二叉树的前序遍历序列中，任意一个结点均处在其子女结点的前面，这种说法( A)。

A．正确B．错误7．对一棵70个结点的完全二叉树，它有( A )个叶子结点。

A．35 B．40 C．30 D．448．设一棵二叉树中，度为1的结点数为9，则该二叉树的叶子结点的数目为( D )。

A．10 B．11 C．12 D．不确定n0=n2+19．假定根结点的层次为0，含有15个结点的二叉树最小高度为( A )。

A．3 B．4 C．5 D．6）假定根结点的层次为1，含有15个结点的二叉树最小高度为410．若一棵二叉树中，度为2的结点数为9，该二叉树的叶子结点的数目为( A )。

A．10 B．11 C．12 D．不确定n0=n2+111．设根结点的层次为0，则高度为k的二叉树的最大结点数为(C )。

A．2k-1 B．2k C．2k+1-1 D．2k+1若设根结点的层次为1，则这棵树的高度为k+1，高度为k+1的二叉树的最大结点数为2k+1-1 12．以知某二叉树的后序遍历序列为abdec，先序遍历序列为cedba，它的中序遍历序列为( D )。

noip初赛中的组合数学排列和组合：怎么排，怎么组合？研究的意义在于统计排列和组合的个数。

四个基本的计数原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理。

排列：全排列P(n,n)=n!部分排列P(n,r)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-r+1)= n！/ (n-r)!圆排列: Q(n,n)= P(n,n)/n= (n-1)!组合: C(n,r)= n!/ ( (n-r)! * r! )学习提示：每条公式都要给出它的物理意义。

第一章加法原理与乘法原理1.加法原理:完成一个工程可以有n类办法，a[i](1<=i<=n) 代表第i类方法的数目。

那么完成这件事共有S = a[[1]+a[2]+...+a[n] 种不同的方法。

2.乘法原理:完成一个工程需要分n个步骤，a[i](1<=i<=n) 代表第i个步骤的不同方法数目。

那么完成这件事共有S = a[[1]*a[2]*...*a[n] 种不同的方法。

3.两个原理的区别:一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。

练习1. 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（分别讨论各位上的数字允许重复和不允许重复的情况）？题解：乘法原理，重复：125，不重复：602. 由数字0、1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（讨论各个位上数字允许重复和不重复的情况）？题解：先区分首位是否为0（加法原理），再分别用乘法原理。

重复：180，不重复？3. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？154. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？1000 首位数字不为0的密码数是多少种？900首位数字是0的密码数又是多少种？1005. 如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？66. 某班有22名女生，23名男生. 选一位学生代表班级去领奖，有几种不同选法？45 选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛，有几种不同的选法？5067. 105有多少个约数？8 并将这些约数写出来.约数的计算公式 s= (p1+1)*(p2+1)…*(pk+1) （pi 为第i 个质约数的幂）8. 从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间有几种选法？ 题解：59， 这题是加法原理和乘法原理的结合。

什么是Catalan数说到Catalan数，就不得不提及Catalan序列，Catalan序列是一个整数序列，其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个Catalan数，前几个Catalan数是：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …咋看之下没什么特别的，但是Catalan数却是许多计数问题的最终形式。

Catalan数的一些性质Catalan数的基本公式就是上个部分所列出的那样，但是却有一些变形和具体的性质：1、这是根据原来的式子推导出来的，大概过程是这样的：2、这个递推式很容易可以从原来的式子中获得3、4、5、这个是Catalan数的增长趋势。

Catalan数在组合计算中的应用在《组合数学》（机械工业出版社）一书中，介绍Catalan数是由其一个应用推导出的公式，其具体的描述如下：n个+1和n个-1构成2n项，其部分和满足的序列个数等于第n个Catalan数。

其证明也不难，我们假设不满足条件的序列个数为，那么就有。

剩下的工作就是求了，我们假设有一个最小的k令。

由于这里k是最小的，所以必有，并且k是一个奇数。

此时我们将前k项中的+1变为-1，将-1变为+1,那么就得到一个有(n+1)个+1和(n-1)个-1的序列了，这样的序列个数就是我们要求的，数值大小为。

那么我们就得到了，就是我们前面的公式。

在具体的组合数问题中，很多都可以转换为Catalan数进行最后的计算，如下：1、如上文所说，对于任意的k，前k个元素中-1的个数小等于+1的个数的序列计数，我们可以不停地变换形式，比如将-1看成右括号，+1看成左括号，就变成了合法括号表达式的个数。

比如2个左括号和2个右括号组成的合法表达式有种，是()()和(())。

2、既然如上一点都把括号加上去了，那么顺便就再次转换，n+1个数连乘，乘法顺序有种，比如我们三个数连乘a*b*c，那么等于在式子上加括号，有2种乘法顺序，分别是(ab)c 和a(bc)。

数据结构部分课后习题答案第一章1.1数据的逻辑结构是从具体问题中抽象出来的数学模型，体现了事物的组成和事物之间的逻辑关系。

数据的存储结构主要用来解决各种逻辑结构在计算机中物理存储表示的问题。

1.2事前分析和事后统计事前分析：优点，程序不必运行，所得结果只依赖于算法本身缺点，不够精确事后统计：优点，精确缺点，必须运行程序，所得结果依赖于硬件、环境等因素考虑赋值、运算操作执行的次数第3行赋值2次第6行赋值执行n次，加法执行n次所以，总共2n+2次操作，算法复杂度为O(n)1.4y= y + i * j 执行次数：1.5第二章2.9内存中一片连续空间（不妨假设地址从1到m）提供给两个栈S1和S2使用，怎样分配这部分存储空间，使得对任一个栈，仅当这部分空间全满时才发生上溢。

答：S1和S2共享内存中一片连续空间（地址1到m），可以将S1和S2的栈底设在两端，两栈顶向共享空间的中心延伸，仅当两栈顶指针相邻（两栈顶指针值之差的绝对值等于1）时，判断为栈满，当一个栈顶指针为0，另一个栈顶指针m+1时为两栈均空。

2.10线性表是数据项组成的一种有限且有序的序列，各元素之间呈线性关系。

从逻辑结构来说，栈和队列与线性表相同，都是典型的线性结构。

与线性表不同的是，栈和队列的操作特殊，受到一定的限制，仅允许在线性表的一端或两端进行。

栈是限定仅在一端进行插入删除的线性表，无论插入、删除还是读取都在一端进行，按后进先出的原则。

队列的元素只能从一端插入，从另一端删除，按先进先出的原则进行数据的存取。

2.11共有132种合法序列。

235641序列可以。

154623序列不可以。

对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。

我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。

n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。

由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

一、判断1.带表头节点的双向循环链表为空时，表头的前驱和后继指针指向HEAD。

2.带表头结点的双向链表为空时，表头的前趋和后继指针分别指向NULL。

3.带表头结点的双向循环链表为空时，表头的前驱和后继指针分别指向NULL4.环形链表是线性结构，首尾相连，使用连续地址储存。

5.环形队列是线性结构，但它不是环形，利用特殊的循环算法解决“假溢出”。

6.环形队列是线性结构，象循环链表一样头尾相连接，它能解决“假溢出”。

7.环形队列是线性结构，能利用特殊的循环算法解决“假溢出”。

8.广义表E（a ，E）的表长是2，表深度是无穷大。

9.广义表E（a ，E）的表深度是2，表长是2。

10.广义表G（a ，G）的表深度是2，表长是2。

11.广义表G（a ，G）的深度是2，表长是2。

12.满BT是特殊的BT树，它的定义是递归的。

13.BT是特殊的树，它的定义是递归的。

14.平衡树是特殊的BT树，它的定义是递归的。

15..若已知BT的先根序和中根序、后根序和中根序，可唯一确定一个BT。

16.若已知BT的先根序遍历和后根序遍历，可唯一确定一个BT。

17.平衡BT是特殊的BT，它的定义是递归的。

18.BST是特殊的BT，它的中序遍历是有序的。

19.何时使用PRIM法，何时使用KRUSKAL法取决于图是稀疏还是稠密20.PRIM和KRUSKAL均可以对图求MST，但是PRIM法方便。

21.希尔排序是插入排序的变型，插入排序是稳定的，但希尔排序是不稳定的。

22.希尔排序是插入排序的变型。

插入排序是稳定的，所以希尔排序是稳定的。

23.快速排序的稳定性取决于枢轴的选择。

24.快速排序的枢轴有多种选择方法，取首尾节点是较简单的做法。

25.冒泡排序不但稳定，而且速度很快。

二、名词解释与问答26.线性结构:唯一的首节点，唯一的尾节点，除首尾外其它节点既有前驱也有后继，首无前驱，尾无后继。

27.线性结构中端操作受限的含义是什么？操作仅在指定的位置。

一、单选题1．树结构最适合用来表示( )。

A．有序数据B．无序数据C．元素间具有分支层次关系的数据D．元素间无关联的数据2．除根结点外，树上每个结点( )。

A．可有任意多个孩子、一个双亲B．可有任意多个孩子、任意多个双亲C．可有一个孩子、任意多个双亲D．只有一个孩子、一个双亲3．3个结点可构成( )个不同形态的二叉树。

A．2 B．3 C．4 D．54．某完全二叉树有7个叶子，则其结点总数为( )。

A．14 B．13 C．13或14 D．以上都不是5．高度为n、结点数也为n的二叉树，共有( )棵。

A．n B．2n−1 C．n−1D．2n−16．下面的二叉树中，( )不是完全二叉树。

7．二叉树的结构如下图所示，其中序遍历的序列为( )。

A．a,b,d,g,c,e,f,h B．d,g,b,a,e,c,h,fD．a,b,c,d,e,f,g,hC．任一结点无右孩子D．空或只有一个结点9．二叉树的叶子结点在前序、中序和后序遍历序列中的相对次序( )。

A．可能改变B．一定会改变C．一定不改变D．可能变也可能不变10．假设某完全二叉树顺序存储在数组BT[m]中，其中根结点存放在BT[0]，若BT[i]中的结点有左孩子，则左孩子存放在( )。

A．BT[i/2] B．BT[2*i-1] C．BT[2*i] D．BT[2*i+1] 11．对n个结点的二叉树，按( )遍历顺序对结点编号（号码为1~n）时，任一结点的编号等于其左子树中结点的最大编号加1，又等于其右子树中结点的最小编号减1。

A．前根B．中根C．后根D．层次12．在二叉链表上交换所有分支结点左右子树的位置，则利用( )遍历方法最合适。

A．前序B．中序C．后序D．按层次13．已知森林F={T1，T2，T3}，各棵树T i(i=1，2，3)中所含结点的个数分别为7，3，5，则与F对应的二叉树的右子树中的结点个数为( )。

A．10 B．12 C．8 D．1514．下图所示二叉树对应的森林中有( )棵树。

第5章 树和二叉树1．选择题（1）把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（ ）。

A ．唯一的 Ｂ．有多种C ．有多种，但根结点都没有左孩子 Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子 答案：A解释：因为二叉树有左孩子、右孩子之分，故一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是唯一的。

（2）由3个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：D解释：五种情况如下：A CBACBA CBACBACB（3）一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（ ）。

A ．250 B ． 500 C ．254 D ．501 答案：D解释：设度为0结点（叶子结点）个数为A ，度为1的结点个数为B ，度为2的结点个数为C ，有A=C+1，A+B+C=1001，可得2C+B=1000，由完全二叉树的性质可得B=0或1，又因为C 为整数，所以B=0，C=500，A=501，即有501个叶子结点。

（4）一个具有1025个结点的二叉树的高h 为（ ）。

A ．11B ．10C ．11至1025之间D ．10至1024之间 答案：C解释：若每层仅有一个结点，则树高h 为1025；且其最小树高为 log 21025 + 1=11，即h 在11至1025之间。

（5）深度为h 的满m 叉树的第k 层有（ ）个结点。

(1=<k=<h) A ．mk-1B ．m k -1C ．m h-1D ．m h-1答案：A解释：深度为h 的满m 叉树共有m h-1个结点，第k 层有m k-1个结点。

（6）利用二叉链表存储树，则根结点的右指针是（ ）。

A ．指向最左孩子B ．指向最右孩子C ．空D ．非空 答案：C解释：利用二叉链表存储树时，右指针指向兄弟结点，因为根节点没有兄弟结点，故根节点的右指针指向空。

（7）对二叉树的结点从1开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左、右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，可采用（ ）遍历实现编号。