下载文档原格式
Delaunay四面体软组织建模方法I. 研究背景与意义A. 四面体网格在生物医学工程中的广泛应用B. 软组织建模方法的发展趋势C. Delaunay四面体软组织建模方法的优越性II. Delaunay四面体算法原理及应用A. Delaunay三角剖分原理B. Delaunay四面体网格生成算法C. Delaunay四面体网格在软组织建模中的应用III. 软组织建模的相关技术和方法A. 传统软组织建模方法的弊端B. 三维模型重建技术C. 数学模型在软组织建模中的应用IV. Delaunay四面体软组织建模方法的研究进展A. 调整Delaunay四面体网格以适应软组织形变的方法B. 基于流体力学的Delaunay四面体网格优化方法C. 基于神经网络的Delaunay四面体网格生成方法V. 实验与评估A. 实验数据采集与处理B. 软组织建模方法的效果评估C. Delaunay四面体软组织建模方法的应用前景展望VI. 结论与展望A. 结论总结与回顾B. Delaunay四面体软组织建模方法的优势与限制C. 未来研究方向和可行性分析I. 研究背景与意义近年来，四面体网格在各种工程领域中的应用越来越广泛。
在生物医学工程中，四面体网格已经成为了常用的三维重建方法之一。
由于它能够准确地刻画软组织的形态特征，因此在医学图像处理、仿真模拟、外科手术规划以及人机交互等方面都具有很大的研究前景。
随着计算机硬件和算法的发展，三维重建和仿真模拟技术不断提高和完善，在模拟手术过程、分析固体物质特性、预测材料破坏等方面已经逐渐得到普及。
然而，在生物系统如人体软组织复杂变形问题上，传统的四面体网格方法存在一些不足。
例如，四面体网格在软组织的形变下会失去网格一致性，导致重建的结果不准确。
因此，开发能够解决这些问题的新型三维重建方法成为学术界和工程界的热点问题。
针对这一问题，一些学者提出了Delaunay四面体软组织建模方法。
Delaunay四面体算法在构建四面体网格时具有优异的性能，而且该方法能够调整网格，以适应生物系统中软组织的形变和变形。
上下扫描线的delaunay三角剖分算法Delaunay三角剖分是一种广泛应用于计算几何和数值分析的算法，它主要用于生成二维平面上的三角形网格。
Delaunay三角剖分具有很多优良的性质，例如空外接圆性质和最小角最大性质等。
上下扫描线的Delaunay三角剖分算法是一种高效的Delaunay三角剖分算法，其基本思想是利用扫描线从上到下或从下到上扫描整个区域，并在扫描过程中对点进行插入和删除操作，从而生成Delaunay三角剖分。
具体步骤如下：
1. 将所有点按照y坐标从大到小排序。
2. 从上到下扫描整个区域，对于每个扫描到的点，将其插入到Delaunay三角剖分中。
具体做法是：找到该点的最近点，然后删除该点，并将该点和最近点之间的线段加入到Delaunay三角剖分中。
3. 重复步骤2，直到扫描完所有点。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为点的数量。
这是因为需要将所有点排序，并且每次插入一个点都需要在已排序的点中进行二分查找。
需要注意的是，该算法只能处理凸多边形的边界，如果存在凹多边形或自相交的情况，需要使用其他算法进行处理。
三维空间 delaunay三角剖分的分治算法
三维空间的Delaunay三角剖分可以使用分治算法来实现。
分
治算法是一种将问题分解成更小的子问题来解决的算法思想。
以下是三维空间Delaunay三角剖分的分治算法的基本步骤：
1. 将输入的点集P按照x坐标进行排序，得到有序点集P_x。
2. 对P_x进行分割，将点集分成两部分，左边部分为P_l，右
边部分为P_r。
3. 递归调用Delaunay三角剖分算法，分别对P_l和P_r进行处理。
这两个子问题可以分别在不同的处理器或线程上进行处理，从而加快算法的执行速度。
4. 将子问题的结果合并，得到整体的Delaunay三角剖分结果。
在递归调用Delaunay三角剖分算法时，同样的分治策略可以
应用到三维空间中。
对于每一个子问题，可以按照y坐标对点集进行排序，然后再递归地将子问题分割成更小的子问题。
当子问题中的点个数达到一个阈值时，可以使用其他的三维空间Delaunay三角剖分算法进行解决，如增量法或基于四面体的
方法。
通过使用分治算法，可以将大问题划分成许多小问题，并行地解决这些小问题，从而提高算法的执行效率。
同时，在三维空间中使用分治算法可以减少问题的复杂性，使得算法更易于实现和理解。
delaunay角变量
Delaunay 角变量是指在计算机图形学和计算机辅助设计中使用
的一种技术。
它通常用于三角形网格的生成和分析。
Delaunay 角变
量是指在 Delaunay 三角化中每个三角形的最小内角。
Delaunay 三
角化是一种将给定的点集连接成三角形网格的方法，使得任何一个
点都是其相邻三角形的顶点，且没有任何点在任何三角形的外接圆
内部的三角形网格。
而 Delaunay 角变量则是用来衡量这个三角形
网格的质量的指标之一。
Delaunay 角变量的大小可以用来评估三角形网格的质量。
一般
来说，较小的角表示更均匀的三角形分布，而较大的角可能意味着
三角形形状不规则或者出现了潜在的数值稳定性问题。
因此，Delaunay 角变量可以帮助工程师和设计师评估三角形网格的质量，
从而影响到后续的数值计算和仿真结果的准确性和稳定性。
在实际的应用中，工程师和设计师经常会利用计算机软件来自
动进行Delaunay 三角化，并对生成的三角形网格进行Delaunay 角
变量的分析。
他们会根据分析结果对三角形网格进行优化或者调整，以确保最终的网格质量满足设计和计算的要求。
总之，Delaunay 角变量在计算机图形学和计算机辅助设计中扮演着重要的角色，它是评估三角形网格质量的重要指标，对于保证后续数值计算和仿真的准确性和稳定性具有重要意义。
Delaunay 三角网是Voronoi(或称thiessen多边形,V 图)图的伴生图形◆Delaunay 三角网的定义:由一系列相连的但不重叠的三角形的集合, 而且这些三角形的外接圆不包含这个面域的其他任何点。
◆Voronoi图的定义：Voronoi图把平面分成N 个区，每一个区包括一个点，该点所在的区域是距离该点最近的点的集合。
◆Delaunay三角网的特性：◆不存在四点共圆；◆每个三角形对应于一个Voronoi图顶点；◆每个三角形边对应于一个Voronoi图边；◆每个结点对应于一个Voronoi图区域；◆Delaunay图的边界是一个凸壳；◆三角网中三角形的最小角最大。
空外接圆准则最大最小角准则最短距离和准则在TIN中，过每个三角形的外接圆均不包含点集的其余任何点在TIN中的两相邻三角形形成的凸四边形中，这两三角形中的最小内角一定大于交换凸四边形对角线后所形成的两三角形的最小内角一点到基边的两端的距离和为最小Delaunay三角剖分的重要的准则张角最大准则面积比准则对角线准则一点到基边的张角为最大三角形内切圆面积与三角形面积或三角形面积与周长平方之比最小两三角形组成的凸四边形的两条对角线之比。
这一准则的比值限定值，须给定，即当计算值超过限定值才进行优化Delaunay三角剖分的重要的准则不规则三角网(TIN)的建立●三角网生长算法就是从一个“源”开始，逐步形成覆盖整个数据区域的三角网。
●从生长过程角度，三角网生长算法分为收缩生长算法和扩张生长算法两类。
方法说明方法实例收缩生长算法先形成整个数据域的数据边界（凸壳），并以此作为源头，逐步缩小以形成整个三角网分割合并算法逐点插入算法扩张生长算法从一个三角形开始向外层层扩展，形成覆盖整个区域的三角网递归生长算法逐点插入算法分割合并算法12121212递归生长算法333TIN 建立过程中的几个问题:◆邵春丽.DELAUNAY 三角网的算法详述及其应用发展前景◆鲍蕊娜，等:基于凸壳技术的Delaunay 三角网生成算法研究◆于杰等：Delaunay 三角网构建方法比较研究周围点的提取 点在三角形中的查找 空外接圆判断准则 线段求交问题。
delaunay方法
Delaunay方法，又称为Delaunay三角剖分，是前苏联数学家Delaunay在1934年提出的一种三角剖分方法。
该方法满足所谓的“最大-最小角”优化准则，即所有最小内角之和最大，从而使得划分的三角形不会出现某个内角过小的情况。
这种方法在二维情况下可以描述为：对于给定的平面点集，只存在着唯一的一种三角剖分方法，满足Delaunay三角剖分的条件，即任意一个三角形的外接圆内不包括其他结点。
Delaunay三角剖分方法在各种二维三角剖分中具有全局和局部最优性。
它可以应用于数值模拟的网格生成，尤其在复杂外形的非结构网格生成中有广泛应用。
此外，Delaunay 三角剖分方法还可以推广至多维问题，例如在三维情况下，四面体的外接球内不包含其他节点。
在具体实施过程中，三维情况下的Delaunay三角化可以包括以下步骤：在三维空间内定义一个大的凸壳区域以覆盖所有将要插入的点；根据网格步长分布要求在凸壳区域内引入一个新点；标记将被删除的四面体（其外接球包含新点的所有四面体）；建立空洞边界（由被标记的四面体组成的凸壳的外边界）；在剩余四面体中查找被标记四面体的邻居以
建立有效的空间连续性；利用空洞边界上每个三角形的三个顶点与新点组成新的四面体；建立空洞外原四面体和新生成的四面体的邻居关系。
多边形分解成三角形算法多边形分解成三角形是计算机图形学中的一个重要问题，它在计算机图形的渲染、物体建模和碰撞检测等领域中有着广泛的应用。
多边形是由边和顶点构成的一个几何图形，而三角形是最简单的多边形，因此将多边形分解成三角形可以简化问题的处理。
本文将介绍多边形分解成三角形的算法原理和实现方法。
一、算法原理将多边形分解成三角形的算法原理是基于三角剖分的思想。
三角剖分是将一个多边形分解成若干个不重叠的三角形的过程，使得这些三角形的顶点正好是多边形的顶点。
三角剖分有很多种算法，其中比较常用的有三角剖分法、Ear Clipping算法和Delaunay三角剖分算法等。
二、算法实现1. 三角剖分法三角剖分法是一种比较简单的多边形分解算法，它的基本思想是从多边形的一个顶点出发，依次连接相邻的顶点，将多边形分解成若干个三角形。
具体步骤如下：（1）选择一个顶点作为起始点，设为P0；（2）从起始点P0开始，依次连接相邻的顶点P1、P2、P3...，直到连接回起始点P0，形成一个三角形；（3）将连接的边删除，并将剩余的多边形再次进行上述步骤，直到所有的边都被删除。
2. Ear Clipping算法Ear Clipping算法是一种基于耳朵切割的多边形分解算法，它的基本思想是找到多边形中一个“耳朵”，将这个“耳朵”切割下来，形成一个三角形，并将切割后的多边形再次进行上述步骤，直到所有的边都被删除。
具体步骤如下：（1）找到多边形中一个不相邻的顶点V，使得以V为顶点的两条边构成的夹角小于180度；（2）判断顶点V是否是多边形的“耳朵”，即判断顶点V是否在多边形内部没有其他顶点；（3）如果顶点V是多边形的“耳朵”，则将顶点V与相邻的两个顶点连接起来，形成一个三角形，并将顶点V从多边形中删除；（4）将切割后的多边形再次进行上述步骤，直到所有的边都被删除。
3. Delaunay三角剖分算法Delaunay三角剖分算法是一种基于最大化最小角度的多边形分解算法，它的基本思想是将多边形中的顶点按照一定的规则进行排序，然后依次连接相邻的顶点，形成一个三角形，并确保生成的三角形的最小角度最大化。
Delaunay三角剖分是计算机图形学和几何学领域的重要算法之一，它可以将给定的点集进行三角网格化，从而为空间区域增长计算提供了重要的帮助。
在这篇文章中，我们将讨论Delaunay三角剖分的空间区域增长计算公式，希望可以为相关领域的研究者和开发者提供一些帮助和启发。
1. 什么是Delaunay三角剖分Delaunay三角剖分是指对给定的点集进行三角网格化的一种算法，它的特点是任意三角形的外接圆不包含任何其他点，这个性质被称为Delaunay性质，这个性质很好地保持了三角形的形状，同时也有利于计算点集内部的空间区域增长。
2. 空间区域增长的定义空间区域增长是指根据给定的点集，在计算过程中不断地增加新的点，使得空间区域逐渐扩大，这个过程是非常重要的，它对于计算机视觉、地理信息系统等领域都有着广泛的应用。
3. Delaunay三角剖分的空间区域增长计算公式要计算Delaunay三角剖分的空间区域增长，可以使用以下公式进行计算：空间区域增长 = 新增点数 / 总点数在以上公式中，新增点数指的是在计算过程中新加入的点的个数，总点数指的是整个点集的总个数。
利用这个公式，可以很好地描述空间区域的增长情况，从而为相关研究和开发提供重要的参考。
4. 空间区域增长计算公式的应用空间区域增长计算公式的应用非常广泛，它可以用于计算机视觉中的物体分割，地理信息系统中的地图生成等领域。
通过对空间区域增长的计算，可以更好地理解点集的分布特点，为相关领域的研究和应用提供重要的参考数据。
5. 结语通过本文的讨论，我们对Delaunay三角剖分的空间区域增长计算公式有了一定的了解。
这个公式的应用领域非常广泛，对于相关领域的研究和开发都具有重要的意义。
希望本文的介绍可以为相关领域的研究者和开发者提供一些帮助和启发，促进相关领域的发展和进步。
在计算机图形学和几何学领域，Delaunay三角剖分算法是一种非常重要的算法。
它能够帮助我们对给定的点集进行三角网格化，进而为空间区域增长计算提供有力的支持。
三角剖分原理：
很多时候我们获取的信息信号都是很离散的信号，比如大地高程测量时的成果测网，纸质各种参数曲线的数字化数据等等，靠大量增加采样点的方法不现实而且会超乎想象的增加处理的计算量，通过趋势分析插值的方法可以使得数字化的模型更逼近原始模型，但是终归于这些离散数据是要通过一种方式在电脑中成为一种整体数据，不管是2d还是3d。
三角剖分最终是要将离散的数据通过连接成很多三角形来达到面化或体化的目的（四面体其实就是四个三角形）。
那么我们是不是可以随便来连三角形呢？当然不行了，咱们连成的面或体要与离散化前的原始模型越接近越好。
怎么样才能使咱们连成的面或体要与离散化前的原始模型越接近越好呢？一般来说每个离散点都有一定的作用范围，那么我们在连三角形是不是就要想到，尽量让每个三角形内的三个点相对来说隔得近一点。
首先有两个原则：
1 产生的三角形不相重叠。
（如果重叠，那么其中的一个三角形岂不是多余了）
2 不产生新的顶点。
（如果产生新的顶点了，那么这个顶点的值我们可以确认它符合于原始模型吗？），不过这条原则很难完全保证不产生。
然后有两个问题要解决：
1 面化或体化时是否要考虑到边界的问题？也就是是否考虑边界离散点的凹凸判断，如果要考虑的话，所有边界点依次相连就行，如果不用考虑的话，所有凸点边界点依次相连就行。
一般来说是要考虑的。
2 面化或体化时是否要考虑到面内或体内空洞的问题？也就是是否考虑内部空白区的判断，如果要考虑的话，内部空白区的边界点要跟问题1同等考虑。
再次我们看一下经典的三角剖分方法：
谈到三角剖分，这个名字你不得不熟悉，这就是经典---Delaunay 三角剖分。
Delaunay三角剖分具有四个特有的性质：
（1）保证最邻近的点构成三角形，即三角形的边长之和尽量最小，且每个Delaunay三角形的外接圆不包含面内的其他任何点，称之为Delaunay三角网的空外圆性质。
这个特征已经作为创建Delaunay三角网的一项判别标准；
（2）它的另一个性质最大最小角性质：在由点集中所能形成的三角网中，Delaunay三角网中三角形的最小内角尽量最大，即三角形尽量接近等边三角形，从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的”的三角网。
（3）Delaunay三角网是唯一的。
（4）三角网的外边界构成了点集的凸多边形“外壳”；
大概的道理我们是懂了，但是给你任意一些点，你采用什么思路
将之三角剖分呢？
先易后难，我们可以先从四个点逆时针排列ABCD（任意三个点不在一条直线上）来判断，显而易见只有两种剖分方式（ABC & CDA）或者（DAB & BCD），如果我们按照三角网的空外圆性质来判断的话，问题化为：
第一种剖分方式的要求：点D在三角形ABC的外接圆的外部& 点B在三角形CDA的外接圆的外部
第二种剖分方式的要求：点C在三角形ABC的外接圆的外部& 点A在三角形CDA的外接圆的外部
上面的条件哪种方式成立，那么哪种方式就是我们要求的三角剖分方式。
如果按照上一篇的思路，如果点数稍微一多，那么我们在三角剖分的时候就会遇到大量的判断和计算，看来我们的思路有一定问题，虽然是按照Delaunay三角网的判别标准（空外圆性质）来进行判断，但是没有从中发现一些规律来。
换一种思维方式：我们这样想，先随机在点云中取一个点，然后在这个点附近取两个点形成一个三角形，然后依次判断除开这三个点所有其他点是否在这三个点确定的外接圆的外面，如果碰到在外接圆里面的，那么就在这个点的附近另外取两个点形成一个新的三角形，接着判断。
如果所有点都在这外接圆外面的话，那么分别以这个三角形的三条边为基础延伸，一直循环到所有点。
这样想的话就比上一篇的可实现性好一些了，但是还是不好，没有一点智能判断在里面，每次循环时都要把所有点数据都判断一遍，
当数据量特别大时，这种算法简直是要人命，咱们还是不要自己琢磨了，看看专家们是怎么解决这个问题的吧，看看他们的算法！
Delaunay三角形网的通用算法－逐点插入算法：
具体算法过程如下：
1、遍历所有散点，求出点集的包容盒，得到作为点集凸壳的初始三角形并放入三角形链表。
2、将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在Delaunay三角形链表中的插入。
3、根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化（如互换对角线等）。
将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。
4、循环执行上述第2步，直到所有散点插入完毕。
上述基于散点的构网算法理论严密、唯一性好，网格满足空圆特性，较为理想。
由其逐点插入的构网过程可知，在完成构网后，增加新点时，无需对所有的点进行重新构网，只需对新点的影响三角形范围进行局部联网，且局部联网的方法简单易行。
同样，点的删除、移动也可快速动态地进行。
但在实际应用当中，这种构网算法不易引入地面的地性线和特征线，当点集较大时构网速度也较慢，如果点集范围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法三角形。
为了克服基于散点构网算法的上述缺点，特别是为了提高算法效
率，可以对网格中三角形的空圆特性稍加放松，亦即采用基于边的构网方法，其算法简述如下：
1、根据已有的地性线和特征线，形成控制边链表。
2、以控制边链表中一线段为基边，从点集中找出同该基边两端点距离和最小的点，以该点为顶点，以该基边为边，向外扩展一个三角形（仅满足空椭圆特性）并放入三角形链表。
3、按照上述第2步，对控制边链表所有的线段进行循环，分别向外扩展。
4、依次将新形成的三角形的边作为基边，形成新的控制边链表，按照上述第2步，对控制边链表所有的线段进行循环，再次向外扩展，直到所有三角形不能再向外扩展为止。
其它Delaunay优化算法：
1、Watson的算法
Watson的算法一开始就要形成一个包含所有给定点区域的超级三角形。
起初，超级三角形是不完全的(图2, 3, 4 and 5). 然后，通过算法继续递增地在已经存在的三角化格网内插入新的点。
查找所有其外接圆包含新的点并且被删除掉给出已知的插入多边形。
这样就产生了新的三角网。
这个过一直将持续到用完所有的插入点以及所有拥有超级三角形顶点的三角形被删除掉。
这是Delaunay三角化最简单和最广泛应用的算法
2、Lawson的算法或对角线交换算法
如果将一个点加入到一个已经存在的三角网中，那么就形成了所
有新的三角形的外接圆。
如果任何相邻的区域位于任何三角形的外接圆内，那么用三角形和它的相邻的区域便可形成一个四边形。
四边形的对角线被转换为一个新的三角网。
这个过程一直持续到不再有的错误三角形和不在需要变换。
3、限制性的Delaunay三角化（Constrained Delaunay Triangulation）(CDT)
如果指定了平面的点集以及一系列不交错的边缘，那么CDT 将产生如下的网格：
a、在三角网中包含了所有给定的边缘
b、尽可能使其与Delaunay三角网相近
这种算法已经在N个给定点的区域在O(NlogN) 的时间复杂性下经过了测试。
如果指定点集和不交叉边缘，那么给定点集的CDT 具有所有新的边缘所具有的特性，即存在一个这样的圆，
a、边缘的终点都落在圆内
b、如果有任一个节点在圆内，那么至少边缘的一个节点是不可见的，例如，如果线是从点到边缘的两个节点来画的，那么至少有一条直线会与网格的边缘相交。
因此，如果没有指定边缘，那么CDT与Delaunay是一样的。
CDT 是一种分而取之的方法，因为给定的数据是依据任意的尺寸来筛选的，并且将区域划分成若干带。
这个过程将一直重复，直到得到整个区域的CDT为止。
4、扫描线算法（Sweepline algorithm）
在V oronoi多边形中，扫描线被定义为一条移动的水平线与V oronoi 边界的交点。
外接圆是通过找出连接节点的直线的三条平分线的交点来定位的。
但是这样得到V oronoi 多边形不是太有力。
一对一的几何变换在双曲线中绘制出一条平分线或者一条垂直的半条。
任一两节点的平分线，命名为p 和q, 描述如下：
转换将x描述为这样，y为初始值，点与节点的距离为p。
描述的V oronoi区域Rp*和Rq*是被画出的二分线限制的，为Cpq,，它是一个双曲线或是一个直的半条线。
只有在扫描线到达所有的两个形成的节点，才能形生二分线。
预期的顶点是两个邻近的二分线的交点。
