八年级期末复习资料

24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得an b=，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7an =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字1078分解为8和107，1078291-⨯=，因为91能被7整除，所以1078能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．24．（1）证明：设某三位数百位、十位、个位上的数字分别是x y z 、、∴原三位数为：10010x y z ++根据题意，存在整数n ，使得1027x y z n +-=…………………………………………（2分） 1027x y z n ∴+=+()()10010101010272170x y z x y z z n z z n ∴++=++=++=+10010217031077x y z z nz n +++∴==+………………………………………………………（4分）z n 、都为整数()310z n ∴+为整数∴原数能被7整除……………………………………………………………………………（5分）（2）解：设将一个多位数按题意分解后得到的个位数是B ，个位之前的数是A∴原数为()10A B +根据题意，存在整数m ，使得13A kB m +=………………………………………………（6分）13A m kB ∴=-()()()1010131301101301313A B m kB B m k B m kB k B ∴+=-+=+-=-++()1301313101310+131313m kB k B A B k m kB B -++++∴==-…………………………………（8分） k 为正整数，15k ≤≤ 1k ∴=或2或3或4或51314132713310134135161131313131313131313+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=====，，，， 又m B ，为整数∴当4k =时，1310+13km kB B +-为整数，此时原多位自然数能被13整除……………………………………………………………………………………………（10分）23．某工程队修建一条总长为1860米的公路，在使用旧设备施工17天后，为尽快完成任务，工程队引进了新设备，从而将工作效率提高了50%，结果比原计划提前15天 完成任务．（1）工程队在使用新设备后每天能修路多少米？（2）在使用旧设备和新设备工作效率不变的情况下，工程队计划使用旧设备m 天，使用新设备n （1626n ≤≤）天修建一条总长为1500米的公路，使用旧设备一天需花费16000元，使用新设备一天需花费25000元，当m 、n 分别为何值时，修建这条公路的总费用最少，并求出最少费用．23．解：（1）设工程队使用旧设备时每天能修路x 米，根据题意，得()1860171715150%1860x x x ⎛⎫+--⨯+= ⎪⎝⎭……………………………………………………（2分）解得30x =……………………………………………………………………………………（3分） 经检验，30x =是原方程的解………………………………………………………………（4分）()30150%45⨯+=（米）∴工程队在使用新设备后每天能修路45米………………………………………………（5分）（2）由题意得30451500m n +=……………………………………………………………（6分） 23100m n ∴+=设修建这条公路总费用为S 元，则 1600025000S m n =+2310021003m n m n +=∴=-()160008000280001003m m n ∴=⨯=-1000800000S n ∴=+…………………………………………………………………………（8分） 10000S >∴ 随n 的增大而增大 1626n ≤≤∴当=16n 最小时，=100016800000=816000S ⨯+最小…………………………………………（9分）此时1003262nm -== ∴当2616m n ==，时，修建这条公路总费用最少，最少费用为816000元…………（10分）FEDCBAA FEDCB25．如图1所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，点D 是线段CA 延长线上一点，且AD AB =．点F 是线段AB 上一点，连接DF ，以DF 为斜边作等腰Rt DFE ∆，连接EA ，EA 满足条件EA AB ⊥． （1）求证：AE AF BC =+；（2）如图2，点F 是线段BA 延长线上一点，探究AE 、AF 、BC 之间的数量关系，并证明．25．（1）过点D 作DM AE ⊥于点D ……………………………………………………………（5分） 在Rt DEM ∆中，2590∠+∠=2190∠+∠=15∴∠=∠在等腰Rt DEF ∆中，DE FE = 在DEM ∆和EFA ∆中51DME EAF DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DEM EFA AAS ∴∆≅∆………………………………………………………………………（6分）AF EM ∴=在Rt ABC ∆中，490B ∠+∠= 又34180EAB ∠+∠+∠=3490∴∠+∠= 3B ∴∠=∠在DAM ABC ∆∆和中3B DMA C AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DAM ABC AAS ∴∆≅∆………（7分）BC AM ∴=AE EM AM AF BC ∴=+=+ 即AE AF BC ∴=+…………………………………………………………………………（8分） (2)过点D 作DM ⊥直线AE 于点M ……………………………………………………（9分） 在90Rt ABC C ∆∠=中,190B ∴∠+∠=21180,90MAB MAB ∠+∠+∠=∠=2190∴∠+∠=2=B ∴∠∠在ADM BAC ∆∆和中2M C B AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADM BAC AAS ∴∆≅∆……………………………………………………………………（10分）BC AM ∴=在等腰,,90Rt DEF DE FE DEF ∆=∠= 中34180DEF ∠+∠+∠=3490∴∠+∠=在,3590Rt MED ∆∠+∠= 中 4=5∴∠∠在MED AFE ∆∆和中54M EAF DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MED AFE AAS ∴∆≅∆……………………………………………………………………（11分）ME AF ∴=AE AF AE M E AM BC ∴+=+==即AE AF BC += ………………………………………………………………………（12分）25. 我们用[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]1.51=，[]2.53-=-.请解决下列问题： （1）[]π= ，[]π-= .（其中π为圆周率）；（2）已知x 、y 满足方程组[][][][]1234x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，求x 、y 的取值范围；（3）当12x -≤≤时，求函数[][]223y x x =-+的最大值与最小值. 25．（12分）（1）[]π= 3 ，[]π-= -4 .（其中π为圆周率）；（4分）（2）解方程组得：[][]12x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ………………..6分∴10x -≤<，23y ≤<…………………..8分（3）当10x -≤<时，[]1x =-，此时()()212136y =--⋅-+=； 当01x ≤<时，[]0x =，此时3y =；当12x ≤<时，[]1x =，此时212132y =-⨯+=；当2x =时，[]2x =，此时222233y =-⨯+=…………..10分综上所述：max 6y =，min 2y =……………..12分 注： []()212y x =-+（其中[]1,0,1,2x =-）则当[]1x =时，min 2y =；当[]1x =-时，max 6y =18. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，△ACE 为等腰直角三角形， ∠AEC=90°，连接BE 交AD 、AC 分别于F 、N ，CM 平分∠ACB 交 BN 于M ，则:MN NF =答案: 5:924．先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.如“2+2”分法：))(()()()()(b a y x y x b y x a by bx ay ax bybx ay ax ++=+++=+++=+++如“3+1”分法：)1)(1(1)(121222222-+++=-+=-++=+-+y x y x y x y xy x x y xy请你仿照以上方法,探索并解决下列问题： （1）分解因式：y x y x ---22；（2）分解因式：2225202045ay axy ax am -+-； （3）分解因式：1444422+---+ab b b a a a . 24. 解：（1）y x y x ---22)1)(()())(()()(22--+=+--+=+--=y x y x y x y x y x y x y x（2）2225202045ay axy ax am -+-)23)(23(5])2(9[(5)2(545)44(545)52020(452222222222y x m y x m a y x m a y x a am y xy x a am ay axy ax am -++-=--=--=+--=+--= （3）1444422+---+ab b b a a a)1()12()12()12()144()12()44()144(2222222b a a b a a a b a ab b b a a a -+=+-+=++-+=++-++=………………………………………………1分 ………………………………………………2分 ………………………………………………3分……………………………………4分 ………………………………………5分………………………………………6分 ………………………………………7分 ………………………………………8分 ………………………………………9分 ………………………………………10分23．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．求证：(1)AD=AG；(2)AD⊥AG．18. 甲乙两人骑自行车在一个环形公路内进行拉力测试.两人从同一地点同时出发，乙迅速超过甲，在第6分钟时甲提速，在第8分钟时，甲追上乙并且开始超过乙，在第15分钟时，甲再次追上乙.已知两人都是匀速，那么如果甲不提速，乙首次超过甲会在第分钟.答案：21 ？。