解密二项式系数和及二项式展开项的系数和-2019版高人一筹之高三数学(理)二轮复习特色专题训练(原卷版)

二项式的系数和
一、二项式的系数和的定义
二项式的系数和是指二项式展开后各系数之和。

例如，二项式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2的系数和为1+2+1=4。

二、二项式的系数和的性质
1. 结合律：对于任意三个二项式A,B,C，有(A+B+C)=A+B+C
2. 交换律：对于任意两个二项式A,B，有(A+B)=(B+A)
3. 分配律：对于任意两个二项式A,B和任意数c，有c(A+B)=cA+cB
三、二项式的系数和的计算公式
1. 二项式展开公式：对于任意正整数n，有(a+b)^n=sum_{i=0}^nC_n^ia^{n-i}b^i其中C_n^i=frac{n!}{i!(n-i)!}称为二项式系数。

2. 二项式系数的递推公式：对于任意正整数n和0<i<n，有C_n^i=C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^i
3. 二项式系数的组合意义：对于任意正整数n和0le ile n，有C_n^i=C(n,i)其中C(n,i)表示从n个元素中选出i个元素的组合数。

四、二项式的系数和的应用
1. 组合学：二项式的系数和在组合学中有着广泛的应用。

例如，它可以用来计算排列和组合的数量。

2. 概率论：二项式的系数和在概率论中也有着重要的应用。

例如，它可以用来计算二项分布的概率。

3. 统计学：二项式的系数和在统计学中也有着一定的应用。

例如，它可以用来
计算t分布的自由度。

五、结束语
二项式的系数和是一个重要的数学概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。

通过了解二项式的系数和的定义、性质、计算公式和应用，我们可以更好地理解数学的本质并将其应用到实际生活中。

高中数学二项式中系数问题的求解策略二项式中的系数和二项式系数比较容易混淆，二项式系数有具体的规律，解决比较容易，而关于系数的求解是二项式中的重点和难点。

这类题型的解题方法比较灵活，对观察力的要求也很高。

现在就此类问题的解答技巧，谈几种常见的方法。

一应用通项和组合，直接求解。

例题1求展开式中的系数解法一：故展开式中含的项为故展开式中的系数为240解法二：要使指数为1，只有才有可能，即故的系数为解法三：由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为剖析：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用二巧妙赋值，灵活求解。

例题2若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a200922009的值为()A．2B．0C．－1 D．－2解析：.(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009，令x＝12，则(1－2×12)2009＝a0＋a12＋a222＋…＋a200922009＝0，其中a0＝1，所以a12＋a222＋…＋a200922009＝－1. 选C例题3已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值．(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．解析：(1)由已知Cm1＋2Cn1＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为Cm2＋22Cn2＝m(m－1)2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)(11－m2－1)＝(m－214)2＋35116.∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.剖析：在对二项式进行赋值时，主要考虑如何赋值能得到所需要的系数，通常赋值有0、1、-1、12等不同的数值。

一、单选题 1．若()7234567012345672x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则1234567a a a a a a a ++++++=（）A . -128B . 127C . 128D . 129 【答案】B点睛：本题主要考查了二项式定理的系数问题，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过二项式的x 赋值，可以简便运算求出答案，属于中档试题，着重考查了二项式系数问题中的赋值法的应用，本题的解答中，分类令0x =和1x =，即可求得 2．()1021x x +-展开式中3x 的系数为（ ）A . 10B . 30C . 45D . 210 【答案】B【解析】()1021x x +-=（-1-x +x 2）10=[（x 2-x ）-1]10 的展开式的通项公式为()()()()10220210101010111r kkrk rr k k r k r kr r C C xx C C x--+------=-，所以20237{{0103r k r k r k --==∴≤≤-=或8{1r k ==，故展开式中3x 的系数为()()1097381103102111209030C C C C -+-=-= 故选B3．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A . 92B . 576C . 192D . 384【答案】B【解析】()6232x x ++展开式中含x 的项为()15565326332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B .点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将()6232x x ++化成()()6612x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.4．在311nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（ ） A . 462B . 330C . 682D . 792 【答案】A5．设()42340113423x a a x a x a x a x +=++++则(a 0+a 2+a 4)2－(a 1+a 3)2的值为( )A . 1B . －1C . 0D . 2 【答案】A【解析】(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2()()((()4440140142323431a a a a a a =+++-++=+-+=-+=选A二、填空题6．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值__________． 【答案】3-【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.7．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．【答案】15168．若()()()()()()5234540123451222222x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-，则2a =________． 【答案】-38【解析】令2x t -=，则2x t =+．由条件可得()()542345012345122t t a a t a t a t a t a t +-+=+++++，故2t 的系数为322542238C C -⋅=-，即238a =-．答案：38-9．已知()()40,12a ax x >-+展开式中2x 的系数为1，则a 的值为__________．【答案】12【解析】根据式子()()40,12a ax x >-+展开式中2x 的系数为()()23222144121?1C a x C a x -⨯+-=解得12a =故答案为：12.10．()611(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为240，则24ax dx -=⎰__________．【答案】π【解析】由条件知()611(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为：246240C a =解得 2.a =222044ax dx x dx -=-⎰⎰=14.4ππ⨯⨯=故答案为：π11．已知()51nx -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n =__________．【答案】612．若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为____________. 【答案】1120【解析】因为二项展开式中的所有二项式系数之和等于2256n =，故8n =，所以8888218822r r r r r r r r T C x x C x -----+=⋅=，当820r -=时，即4r =时，常数项的值为44821120C =,故填1120.13．若13nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n =__________；该展开式中的常数项是__________． 【答案】3-27【解析】（1）因为系数的绝对值之和为64，则当1x =时，有()3164n+=，所以3n =； （2）()()333321331331kkkk kk kk T Cx C x x ---+-⎛⎫==⋅⋅- ⎪⎝⎭，所以1k =，常数项为()11233127C ⋅⋅-=-。

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nn n n n nnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的特定项数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x y+展开式中，系数为有理数的项共有 项．【例2】 的展开式中共有_____项是有理项．1003(23)+典例分析【例3】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．61034(1)(1x x++【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．【例13】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）281(12)()x x x+-1()n x x+3(2)n x xn 2()n x x+60n【例14】的展开式中，常数项为15，则 ．【例15】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例16】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例18】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．021()n x x-n =231(1)()n x x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n【例19】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知的展开式的常数项是第项，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【例23】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）【例24】的展开式中，常数项为15，则 ． 61034(1)(1)x x51(2)2x x+281(12)()x x x+-312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7n 789102()n x x+60n 21()n x x-n =【例25】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例28】 展开式中的常数项为（ ） A ． B ． C ． D ．【例29】 求展开式中的常数项．123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n 123x x ⎛- ⎝1320-1320220-220612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【例30】 的展开式的常数项是 （用数字作答）【例31】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【例32】 的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是 ．【例33】 若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ） A ． B ． C ． D ．【例34】 在的展开式中常数项是 ，中间项是．6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2nx x ⎫⎪⎭60n 369121nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭5n nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n 10111214261(2)x x-________【例35】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例36】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．【例37】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．【例38】 若展开式中的二项式系数和为，则等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】 若的展开式中常数项为，则_____，其展开式中二项式系数之和为_________．231(1)()nx x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =3(2n x xn 2nx x ⎛- ⎝3141-145-4521nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭512n 921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭84a =【例40】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．B ．C ．D ．有理项 【例41】 求二项式的展开式中： ⑴常数项；⑴有几个有理项（只需求出个数即可）；⑴有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】的展开式中共有_______项是有理项．【例43】 二项式的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭102030120153x x 1003(23)+153(x x【例44】 已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列 ①求；②求展开式中的有理项．【例45】 二项展开式中，有理项的项数是（ ） A ． B ． C ． D ．【例46】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则 A ．1 B ． C ． D ．【例47】的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ） A ．项B ．项C ．项D ．项【例48】 若（，为有理数），则（ ） 42nx x n 153x x 3456(11332x x p 10p x dx =⎰67761113123()x x x 4321(5122a b +=+a b a b +=A ．B ．C ．D ．系数最大的项【例49】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】 展开式中系数最大的项是第几项？【例51】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．【例52】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____． A ． B ． C ． D ．【例53】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．45557080(2n x x n 20(23)x +(13)n x +121132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭7-728-28lg 8(2)x x x +1120x【例54】 求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】 已知展开式中的倒数第三项的系数为，求： ⑴含的项；⑵系数最大的项．【例56】 设，，的展开式中，的系数为．⑴求展开式中的系数的最大、最小值；⑴对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．【例57】 已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． ⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑴求展开式中系数最大的项．1032x x 3241nx x 453x m n +∈N ，1m n ，≥()(1)(1)m n f x x x =+++x 19()f x 2x ()f x 2x m n 7x 223(3)n x x +992【例58】 展开式中系数最大的项是第几项？【例59】 关于二项式有下列命题：⑴该二项展开式中非常数项的系数和是：⑴该二项展开式中第六项为；⑴该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；⑴当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例61】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 ．20(23)x +2005(1)x -1619992005C x 100310042006x =2005(1)x -2006200532nx x ⎛ ⎝5)()21*174n n +∈N n M n m ()n n n m M m +【例62】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．【例63】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．【例64】 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，则指数的最小值为 ．12()m n ax bx +a b ，200m n mn +=≠，a b(1sin )n x +752x (0,2π)232(3)n x x -n ()1nx +57∶()*n n ∈N。