高考一轮课时训练(理)12.5二项式定理 (通用版)

第三节 二项式定理(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·江西卷)(x 2－2x 3)5展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－40解析 由二项式定理展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r(－2x3)r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2，故常数项为C 25(－2)2＝40.故选C.答案 C2．(2013·陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x －1x )6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 x >0时，f (x )＝－x <0，故f [f (x )]＝f (－x )＝(1x－x )6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3，令r －3＝0，得r ＝3时，常数项为T 4＝C 36(－1)3＝－20.故选A.答案 A3．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1解析 依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫12－115＝0.答案 C4．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析 T r ＋1＝C r 24(x )24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r24x 12－5r 6，故当r ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．答案 C5．若(2＋x )10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．20D ．5 120解析 (2＋x )10＝[1＋(1＋x )]10＝1＋C 110(1＋x )＋C 210(1＋x )2＋…＋C 1010(1＋x )10，∴a 9＝C 910＝C 110＝10.答案 B6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析a ＝C m 2m ＝2m (2m －1)…(m ＋1)m ！，b ＝C m 2m ＋1＝(2m ＋1)·2m …(m ＋2)m ！.又13a ＝7b ，∴13(m ＋1)＝7(2m ＋1)，∴m ＝6. 答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·安徽卷)若(x ＋a 3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a＝________.解析 设展开式第r ＋1项为x 4项，则展开式的通项可得T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ；令8－43r ＝4，得r ＝3，∴C 38a 3＝7，a ＝12. 答案 128．(2013·四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)解析T r ＋1＝C r 5x5－r y r，⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2，r ＝3，∴r ＝3.∴x 2y 3的系数为C 35＝10. 答案 109．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，那么⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中的常数项为________．解析 由题意知，2＋22＋23＋…＋2n ＝126，所以n ＝6. 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 636－rx 6－r 2·(－1)r x －r 2＝(－1)r C r 6·36－rx 6－2r 2. 令6－2r ＝0，得r ＝3.故常数项为－540. 答案 －540三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解 (1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0. ∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1241x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x 4－34r (r ＝0,1,2，…，8)，∴第三项的二项式系数为C 28＝28.第三项系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.(3)令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.11．已知(a 2＋1)n展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解 由⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得， T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝(165)5－r ·C r 5·令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0.∴r ＝4. ∴常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ， 由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54.∴a ＝±3.12．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解 (1)方法1：(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，(x －1)5展开式的通项公式为C r 5·(－1)r ·x 5－r(0≤r ≤5)． (x －2)5展开式的通项公式为C s 5·(－2)s ·x 5－s (0≤s ≤5)， 所以(x 2－3x ＋2)5展开式的通项公式为C r 5·C s 5·(－1)r ＋s ·2s ·x 10－r －s ， 令r ＋s ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，s ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，s ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，s ＝3.所以展开式中x 2的系数为C 35C 5525＋C 45C 4524＋C 55C 3523＝800，即a 2＝800.方法2：(x 2－3x ＋2)5的本质是5个x 2－3x ＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C15·24＝80；②5个x2－3x＋2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C25·(－3)2·23＝720.∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800.(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…a10＝f(1)＝0，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.。

可编辑修改精选全文完整版二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.跟踪训练1.在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.63x B.4xC.4x6x D.4x或4x6x(2)若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-12的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a1＋a2＋…＋a n的值为________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A.1 B.243 C.121 D.1222.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三 二项展开式的应用例、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

§12.5 数学归纳法1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设____________(k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当____________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有__________都成立． 2．数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．自查自纠1．(2)n ＝k n ＝k ＋1 正整数n 2．正整数用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3解：∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B .设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2解：f (n ＋1)－f (n )＝[1（n ＋1）＋1＋1（n ＋1）＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12（n ＋1）]－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12（n ＋1）－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.故选D . (2013·黑龙江模拟)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k ＋1成立时，总可推出f (k ＋1)≥k ＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立解：根据题意，若f (4)≥5成立，则f (n 0＋1)≥n 0＋2(n 0≥4)，即f (k )≥k ＋1(k ≥5)．综合f (4)≥5，可知当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立．故选D .已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n （n ＋1），通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝____________．解法一：通过变化规律猜测S n ＝nn ＋1.解法二：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝ 1－1n ＋1＝n n ＋1.故填n n ＋1. 用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是____________．解：当n ＝k 时，等式左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时， 等式左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋1＋k ＋1)＝（k ＋1）（k ＋2）（k ＋3）·…·（k ＋k ）（k ＋k ＋1）（k ＋k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )．观察、比较可知，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是2(2k ＋1)．故填2(2k ＋1)．类型一 证明等式证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么，当n ＝k ＋1时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．【点拨】用数学归纳法证明与正整数n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证明待证等式．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．证明：①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)．当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．类型二 证明不等式已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1，2，3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k2，那么，当n ＝k ＋1时， f (k＋1)＝f (k )＋1（k ＋1）3<32－12k 2＋1（k ＋1）3，因为12（k ＋1）2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1（k ＋1）3＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k 2<0，所以f (k ＋1)<32－12（k ＋1）2＝g (k ＋1)．由①、②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．【点拨】用数学归纳法证明不等式，同样要弄清增加的项，很多情况下，还要利用放缩法进行证明．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 解：∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n－1.∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.1．用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可．2．证第二步的关键是合理运用归纳假设，以“n ＝k 时命题成立”为条件，证明“当n ＝k ＋1时命题成立”．这里，易出现的错误是：不使用“n ＝k 时命题成立”这一条件，而直接将n ＝k ＋1代入命题，便断言此时命题成立．注意：没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．3．在n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中寻找由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p (k )与p (k ＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从p (k ＋1)中分离出p (k )．4．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用．1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N *)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解：当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.故选C .2．设凸k 边形的内角和为f (k )，则f (k ＋1)－f (k )＝( )A ．2πB ．π C.π2 D.π3解：将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 相连，则原多边形被分割为k 边形A 1A 2…A k 与三角形A 1A k A k ＋1，其内角和f (k ＋1)是k 边形的内角和f (k )与△A 1A k A k ＋1的内角和π的和，故选B .3．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2解：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，故选D .4．用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”中，第二步归纳假设应写成( ) A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)成立，再推出n ＝2k ＋3成立 B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)成立，再推出n ＝2k ＋1成立 C ．假设n ＝k (k ∈N *)成立，再推出n ＝k ＋1成立 D ．假设n ＝k (k ≥1)成立，再推出n ＝k ＋2成立解：第二步归纳假设n ＝2k －1(k ∈N *)成立，再推出n ＝2k －1＋2＝2k ＋1成立．故选B . 5．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，故当n ＝k ＋1时，不等式成立．根据(1)和(2)，可知不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)成立．上述证法中( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k (k ∈N *)到n ＝k ＋1的推理不正确解：证明过程没有用到归纳假设的结论，所以证明方法不正确．故选D .6．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则m 的最大值为( ) A ．30B ．26C ．36D ．6解：∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测m 的最大值为36.可以利用数学归纳法作如下简要证明：f (n ＋1)＝[2(n ＋1)＋7]·3n ＋1＋9，∴f (n ＋1)－f (n )＝2·3n ＋1＋2·(2n ＋7)·3n＝(4n ＋20)·3n，当n ＝1时，该式的值为72可被36整除，当n ≥2时，4n ＋20可被4整除，3n可被9整除，则(4n ＋20)·3n可被36整除，即证．故选C .7．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n ＝________时命题成立．解：凸多边形至少有3条边．故填3.8．(2014·广东东莞模拟)观察下列不等式： ①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；…，则第5个不等式为____________．解：∵2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，∴第n 个不等式的左边有n 项，分子都是1，分母依次为1×2，2×3，…，n （n ＋1），右边为n ，即12＋16＋…＋1n （n ＋1）<n .∴第5个不等式为12＋16＋112＋120＋130< 5.故填12＋16＋112＋120＋130<5.9．试证：n 为正整数时， f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．证明：(1)当n ＝1时， f (1)＝34－8－9＝64能被64整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时， f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除，则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝32(k ＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9·32k ＋2－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋64k ＋64.由归纳假设知f (k ＋1)也能被64整除． 综合(1)(2)知，当n 为正整数时， f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．10．(2015·大庆模拟)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立，②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2k－12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k， ∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n－12n －1成立．11．(2015·湖北八市三月联考)已知数列{x n }满足x 1＝12，且x n ＋1＝x n 2－x n (n ∈N *)．(1)用数学归纳法证明：0<x n <1；(2)设a n ＝1x n，求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：①当n ＝1时，x 1＝12∈(0，1)，②假设当n ＝k 时，结论成立，即x k ∈(0，1)， 则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝x k2－x k，∵x k ∈(0，1)，∴2－x k >0，即x k ＋1>0.又∵x k ＋1－1＝2（x k －1）2－x k <0，∴0<x k ＋1<1.综合①②可知0<x n <1. (2)由x n ＋1＝x n2－x n可得1x n ＋1＝2－x n x n ＝2x n－1，即a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)．令b n ＝a n －1，则b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1－1＝1x 1－1＝1，∴{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，即b n ＝2n －1.∴a n ＝2n －1＋1.设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0. 求证：若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，n ∈N ＋，则{a n }为等差数列．证明：当n ＝2时，已知1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列．假设当n ＝k 时，a 1，a 2，…，a k ＋1成等差数列，记公差为d . 那么当n ＝k ＋1时，因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1＋1a k ＋1a k ＋2＝k a 1a k ＋1＋1a k ＋1a k ＋2＝k ＋1a 1a k ＋2，分子同乘a 1a k ＋1a k ＋2，得ka k ＋2＋a 1＝(k ＋1)a k ＋1，又a k ＋1＝a 1＋kd ，代入可得ka k ＋2＋a 1＝(k ＋1)(a 1＋kd )，即a k ＋2＝a 1＋(k ＋1)d .所以{a n }是公差为d 的等差数列．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2015·开封市月考)算法有三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在下列说法中正确的是( )A．一个算法中只能含有一种逻辑结构B．一个算法中可以含有以上三种逻辑结构C．一个算法中必须含有以上三种逻辑结构D．一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构解：算法中的逻辑结构可以是一种或多种，故选B.2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bA．1，3 B．4，1C．0，0 D．6，0解：把1赋给变量a，把3赋给变量b，由语句“a＝a＋b”得a＝4，即把4赋给变量a，由语句“b＝a－b”得b＝1，即把1赋给变量b，输出a，b，即输出4，1.故选B.3．(2015·武汉华师一附中期中考试)用反证法证明命题“若sinθ1－cos2θ＋cosθ1－sin2θ＝1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是( )A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ<0且cosθ<0C．sinθ<0或cosθ<0 D．sinθ>0且cosθ>0解：用反证法证明，只需要否定命题的结论，即sinθ<0或cosθ<0.故选C.4．(2015·广东清远一中期中)观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为( )A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解：结合前4个式子的共同特点可知第n个式子为9(n－1)＋n＝10n－9，故选B.5．(2015·云南玉溪高三统考)执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是( )A ．870B ．30C ．6D ．3解：A ＝3，N ＝1，输出3，N ＝2，N ≤4成立；A ＝6，输出6，N ＝3，N ≤4成立；A ＝30，输出30，N ＝4，N ≤4成立；A ＝870，输出870，N ＝5，N ≤4不成立，终止循环．所以这个数列的第3项是30，故选B .6．(2014·陕西五校联考)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：若四面体P ­ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体P ­ABC 的体积为V ，内切球的半径为R ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 解：设四面体P ­ABC 的内切球球心为O ，那么V ＝V O ­ABC ＋V O ­PAB ＋V O ­PAC ＋V O ­PBC ，即V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4，故选C .7．阅读下列程序，输出结果为2的是( )n ＝0 DO n ＝n ＋1 LOOP UNTIL n>＝2 PRINT n END n ＝0 DO n ＝n ＋1 LOOP UNTIL n<＝2 PRINT n END A ． B. n ＝0WHILE n<＝2 n ＝n ＋1 WEND PRINT n END n ＝0WHILE n>＝2 n ＝n ＋1 WEND PRINT n END C ．D.解：运行各选项程序，易知A 选项的输出结果为2.故选A .8．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解：易判断A，B，C均不正确．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.9．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72016的末两位数字为( )A．01 B．43 C．07 D．49解：75＝16807，76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末两位数字呈周期出现，且周期为4，∵2016＝504×4，∴72016与74末两位数字相同，故选A.10．(2015·深圳五校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的y＝( )A.12B．1 C．－1 D．2解：由初始条件y＝2，i＝1得：运行第1次：y＝1－12＝12，i＝2；运行第2次：y＝1－112＝－1，i＝3；运行第3次：y＝1－1－1＝2，i＝4；运行第4次：y＝1－12＝12，i＝5.其结果呈周期性的出现，且周期是3，由于2016÷3＝672，故运行第2016次：y＝2，i＝2016＋1＝2017≥2017，所以输出的结果是2，故选D.11．(2014·江西赣州四所重点中学联考)已知函数f(x)＝ax3＋12x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝1f′（x）.程序框图如图所示，若输出的结果S＝20162017，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是( )A ．n ≤2016B ．n ≤2017C ．n >2016D ．n >2017解：f ′(x )＝3ax 2＋x ，因为f (x )在x ＝－1处取得极大值，所以f ′(－1)＝0，即3a －1＝0，解得a ＝13，检验知合要求，故f ′(x )＝x 2＋x .则g (x )＝1f ′（x ）＝1x 2＋x ，g (n )＝1n 2＋n ＝1 n －1n ＋1，输出的结果为S ＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋…＋g (n )＝1－1n ＋1＝n n ＋1，由S ＝20162017，得n ＝2016，故判断框内可以填入的条件是n ≤2016.故选A .12．(2015·吉林市期中考试)如图，第n 个图形由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则在第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n解：第1个图形由三角形“扩展”而来，共3×4＝12个顶点；第2个图形由正方形“扩展”而来，共4×5＝20个顶点；第3个图形由正五边形“扩展”而来，共5×6＝30个顶点；第4个图形由正六边形“扩展”而来，共6×7＝42个顶点；…；第n 个图形由正n ＋2边形“扩展”而来，共(n ＋2)(n ＋3)个顶点．故选B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·山东)执行下边的程序框图，输出的T 的值为____________．解：初始条件n ＝1，T ＝1，运行第一次：T ＝1＋⎠⎛01x d x ＝1＋12＝32，n ＝2；运行第二次：T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋13＝116，n ＝3，n <3不成立，输出T 的值为116.故填116.14．(2015·哈尔滨市高三模拟)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面方程为____________．解：类比可得：－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.故填x ＋2y －z －2＝0. 15．有以下程序：INPUT xIF x<＝－1 THEN f(x)＝x ＋2 ELSEIF x>－1 AND x<＝1 THENf(x)＝x*x ELSE f(x)＝－x ＋2 END IF END IF PRINT f(x) END根据如上程序，若函数g (x )＝f (x )－m 在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是__________． 解：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x ≤1，－x ＋2，x >1，画出f (x )的图象如图所示．∵函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点，即直线y ＝m 与函数y ＝f (x )有两个交点，∴m <0或m ＝1. 故填(－∞，0)∪{1}．16．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有1个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________．解：若①a ≠2正确，②③错误，则b ≠2，c ＝0，此时a ＝b ＝1，与集合的互异性矛盾；若②b ＝2正确，①③错误，则a ＝2，c ＝0，与集合的互异性矛盾；若③c ≠0正确，①②错误，则a ＝2，b ≠2，此时c ＝1，b ＝0，符合题意．综上知，a ＝2，b ＝0，c ＝1，100a ＋10b ＋c ＝201.故填201.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)观察：①sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34；②sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34.由上面两个式子的结构规律，请提出一个一般性的猜想，并证明你的猜想．解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明：左边＝1－cos2α2＋1＋cos （60°＋2α）2＋sin α(32cos α－12sin α)＝1－14cos2α－34sin2α＋34sin2α－14＋14cos2α＝1－14＝34＝右边，得证．18．(12分)某函数f (x )给出x 的值时，求相应函数值y 的程序框图如图所示．(1)写出函数f (x )的解析式；(2)若输入的x 取x 1和x 2(|x 1|<|x 2|)时，输出的y 值相同，试简要分析x 1与x 2的取值范围．解：(1)由程序框图知，该程序框图执行的功能是求函数f (x )＝|x 2－1|的值，故f (x )的解析式为f (x )＝|x 2－1|.(2)画出f (x )＝|x 2－1|的草图如图．由图象的对称性知：要使f (x 1)＝f (x 2)且|x 1|<|x 2|， 需－1<x 1<1，同时2≥x 2>1或－2≤x 2<－1， ∴x 1的取值范围是{x |－1<x <1}，x 2的取值范围是{x |1<x ≤2或－2≤x <－1}．19．(12分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证法一：采用分析法．要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是ca ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2，得证． 证法二：采用综合法．∵△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列， ∴B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos60°， 得c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 等式两边同时加上ab ＋bc 得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，等式两边同除以(a ＋b )(b ＋c )得，c a ＋b ＋ab ＋c＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3＝a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 20．(12分)是否存在常数a ，b ，c 使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．解：分别将n ＝1，2，3代入得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可知等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k 4－14k 2，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋1·(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－14k 2＋k （k ＋1）2·(2k ＋1)＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2. ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②得等式对一切n ∈N *均成立．21．(12分)(2013·四川)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．运行 次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数输出y 的值 为3的频数30 14 6 10 … … … … 2 1001 027376697运行 次数n 输出y 的值 为1的频数输出y 的值 为2的频数输出y 的值 为3的频数30 12 11 7 … … … … 2 1001 051696353 当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解：(1)变量x 是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值i (i ＝1，2，3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127.故ξ的分布列为所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1，即ξ的数学期望为1.22．(12分)把正整数按从小到大、左小右大的原则依次排成如图所示的数表： 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 ……设a ij (i ，j ∈N *)是数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数，数表中第i 行共有2i －1个正整数，(1)若a ij ＝2013，求i ，j 的值；(2)设A n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a nn (n ∈N *)，试比较A n 与n 2＋n 的大小，并说明理由．解：(1)由于前10行共有1＋21＋22＋…＋29＝210－1＝1023个数，而2013－1023＝990，所以i ＝11，j ＝990. (2)∵a 11＝20，a 22＝21＋1，a 33＝22＋2，a 44＝23＋3，…，a nn ＝2n －1＋(n －1)，∴A n ＝20＋(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋[2n －1＋(n －1)]＝(20＋21＋22＋23＋…＋2n －1)＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝2n ＋1＋n 2－n －22.∴A n －(n 2＋n )＝2n ＋1－（n 2＋3n ＋2）2.验证知，当n ＝1，2，3时，A n <n 2＋n ；当n ≥4时，可猜测A n >n 2＋n . 以下用数学归纳法证明：当n ≥4时，2n ＋1>n 2＋3n ＋2.①当n＝4时，25＝32>42＋3×4＋2＝30，不等式成立；②假设n＝k时，2k＋1>k2＋3k＋2成立，则当n＝k＋1时，2k＋2＝2·2k＋1>2(k2＋3k＋2)＝k2＋2k＋1＋3k＋3＋k2＋k>(k＋1)2＋3(k＋1)＋2.即n＝k＋1时，不等式也成立．综上①②知，当n≥4时，2n＋1>n2＋3n＋2.亦即当n≥4时，A n>n2＋n.第十三章选考内容1.几何证明选讲(1)理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．(2)会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理．2．坐标系与参数方程(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(4)了解参数方程，了解参数的意义．(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．。

14．64 [由题意，C3 > C ，且C3 > C ，所以 n＝6，所以令 x＝1，(1＋x)6 的系
数和为 26＝64．]
15．8 －2 [x2 系数之和为C3
3 혘 ·C (－1)2＝8，即 a2＝8；
令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0；令 x＝0，得 a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4 ＋a5＝－2．] 16．120x2y3z3 [因为(x＋1)4 的通项为C x4-k，(y＋z)6 的通项为C6y6-rzr， 所以(x＋1)4 展开式系数最大的项为C x2＝6x2， (y＋z)6 展开式系数最大的项为C63y3z3＝20y3z3，
8．C [(1＋x)9 展开式的通项为 Tk＋1＝C ·19-k·xk＝C ·xk，k＝0，1，2，…，9，
当 x2－x＋1 选取 x2 时，由已知可得，应选取(1＋x)9 展开式中含 x3 的项， 由 k＝3，可得 T4＝C3·x3＝84x3；
当 x2－x＋1 选取－x 时，由已知可得，应选取(1＋x)9 展开式中含 x4 的项，
则 n＝7.
又因为(x－2y)7 的展开式的通项公式为 Tk＋1＝ C x7-k(－2y)k，
令 k＝2，所以展开式中的 x5y2 项的系数为C (－2)2＝84.
故选 B.]
4．A [在(x2＋x＋y)6 的展开式中，含 y2 的项为 C6 ·(x2＋x)4·y2， 故含 x5y2 的系数为C6·C3＝60. 故选 A.]
C．a1＋a2＋…＋a12＝－2
D． 혘 ＋…＋ 혘 ＝－1
10．已知二项式(1＋2x)13 的展开式中第 k 项系数最大，则(2＋x)k 展开式的二项式
系数和是( )
A．210