梯形奥数

1、如图所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明（1）EB=DF；（2）EB不平行于DF．解答：证明：∵E，D是△ABC的边AB，AC的中点，∴ED∥BF．∵DF∥EC，∴ECFD是平行四边形，∴EC=DF．∵E是Rt△ABC斜边AB上的中点，∴EC=EB．∴EB=DF．假设EB∥DF，∵EC∥DF，∴EC∥EB，∴这与EC与EB交于E矛盾，∴EB不平行于DF．∴EBFD是等腰梯形．2、如图所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O．求∠BCD的度数．由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC（即BD）的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．解答：解：过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF，设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即2AF2=a2（AF=BF），∴AF2= ，∴DE2= ，又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，∴在Rt△BED中，= = = ，∴= ，从而∠EBD=30°（直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理）．在△CBD中，∴．3、如图所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．由MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．解答：解：证明：连接DN，∵N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，∴ND=NC．已知AD∥BC及∠ADC=135°，∴∠C=45°，∴∠NDC=45°（等腰三角形性质）．在△NDC中，∠DNC=90°（三角形内角和定理），∴ABND是矩形，∴AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．∴△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，∴BN=BF，已证得AD=BN，∴AD=BF．4、如图所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．取腰AB的中点F，连接EF，利用梯形的中位线性质可得EF= （AD+BC）=5，且EF∥AD，过A作AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，根据勾股定理可求出AG的长，这样S△ABE=（S△AEF+S△BEF）可求．解答：解：取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD，过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知：AG2=AB2-BG2=（AD+BC）2-（BC-AD）2=102-62=82，∴AG=8，从而AH=GH=4，∴S△ABE=S△AEF+S△BEF= EF•AH+ EF•GH= EF•（AH+GH）= EF•AG= ×5×8=20．5、如图所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．（1）求证：ADCF是等腰梯形；（2）若△ADC的周长为16厘米（cm），AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．（1）欲证ADCF是等腰梯形，归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．（2）计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．解答：解：（1）∵AB∥DF∴∠1=∠3∵∠1=∠2∴∠2=∠3∴EA=ED∵AC=DF∴EC=EF∴△EAD及△ECF均是等腰三角形∵∠AED=∠CEF∴∠3=∠4∴AD∥CF∵FC＜AD∵AC=DF，∠2=∠3，AD=AD∴△ACD≌△DFA（SAS）∴AF=DC∵AD∥CF，FC＜AD，AF=DC∴四边形ADCF是等腰梯形．（2）∵△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米），AF=3（厘米），FC=AC-3∴四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF=AD+DC+（AC-3）+AF=（AD+DC+AC）-3+3=16（厘米）∴四边形ADCF的周长为16厘米．6、如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CB，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．求证：△PQS是等边三角形．由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD与△OAB均为等边三角形．连接CS，BP根据等边三角形的性质可知△BCS与△BPC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知QS=BP= BC，由中位线定理可知，QS=BP=PS= BC，故△PQS是等边三角形．解答：证明：连CS，∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，∴AO=BO，CO=DO．∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形．∵S是OD的中点，∴CS⊥DO．在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ= BC．同理BP⊥AC．在Rt△BPC中，PQ= BC．又SP是△OAD的中位线，∴SP= AD= BC．∴SP=PQ=SQ．故△SPQ为等边三角形．7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数．根据等腰梯形在同一底上的两个角相等得到∠C=∠ABC．根据AD∥BC，AD=AB得到∠ABD=∠CBD，进一步得到∠C=2∠BCD，再根据直角三角形的两个锐角互余进行计算．解答：解：设∠CBD=x∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD∵AD=AB∴∠ABD=∠ADB∴∠ABC=2∠CBD=2x又∵AB=DC，∴∠C=∠ABC=2x∵BD⊥DC，∴∠CBD+∠C=90°即x+2x=90°解得x=30°∴∠C=60°8、如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周长=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周长．根据AD∥BC，AE∥DC可得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求解．解答：解：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD，AD=EC=4cm，又∵△ABE的周长=AB+BE+AE=13cm，梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=AB+BE+CD+AD=AB+BE+AE+AD=13+4+4=21cm．9、梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点．求EF．过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB于G，H，根据平行线的性质及三角形内角和定理可得△FGH是直角三角形，由平行四边形的判定定理可知四边形ADGF、FHBC都是平行四边形，利用勾股定理可求出GH的长，再根据直角三角形的性质可求出EF的长．解答：解：过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB 于G，H，（如图）∴∠A=∠FGH，∠B=∠FHG，∵∠B+∠A=90°，∴∠FGH+∠FHG=90°，∴△FGH是直角三角形，∵FG∥AD，FH∥BC，AB∥CD，∴四边形ADFG、FHBC都是平行四边形，又∵E、F分别是两底的中点，∴AE=EB，BH=AG，∴GE=EH，∴DF=AG= ，FC=HB= ，FG=AD，FH=BC，在Rt△EGH中，即EF是Rt△FGH斜边的中线，∴EF= GH= （AB-CD）= ．10、如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．延长AM交BC延长线上点G，过点G作GH⊥NM，交NM的延长线上于点H，然后将梯形ABCD的面积转化为梯形HGBN的面积，即可求解．解答：解：延长AM交BC延长线上点G，过点G作GH⊥NM，交NM的延长线上于点H，∵AD∥BC，M是DC中点，∴△ADM≌△GCM，∴AM=MG，即点M也是GA的中点，∵∠H=∠ANM=90°，∴AB∥HG，∵点M也是GA的中点，∴△ANM≌△BHG，∴MN=MH=b，AN=HG，∴GH+BN=BN+AN=AB=a，∴梯形ABCD与梯形HGBN的面积相等，∵S梯形HGBN= （GH+BN）•HN= ×a×2×b=ab，∴S梯形ABCD=ab．11、已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．求证：MN=1/2(AB-CD)．作DE∥CB，根据已知条件求出△ADE是直角三角形，再取AE中点F，连DF，求证DMNF是平行四边形，再根据DF是直角△ADE斜边的中线，即可求得结论．解答：证明：如图，作DE∥CB，∵∠A=36°，∠B=54°，∴△ADE是直角三角形，其中AE=AB-CD，∠ADE=90°，取AE中点F，连DF，则FN=AN-AF= AB/2- (AB/2-CD/2)= CD/2，∴FN∥DM且FN=DM，∴DMNF是平行四边形，∴DF=MN，∵DF是直角△ADE斜边的中线，∴2DF=AE=AB-CD，∴2MN=AB-CD。