大学物理(祝之光) 第九章 振动学基础

b. 和t 求解
如 :
旋转矢量法
解析法 由 x00.0 40.0c8os
π
3
旋矢法
v 由0 旋 矢A 图si n 0 判s 断 i n 0 π3
A π
x/m
知 π
.
3
o
3
0.04 0.0158
15.
[例2] 一简谐运动的 x – t 曲线，如图所示，求：
(1) 初相 ；(2) 求运动方程,并用旋矢表示之；
讨论: a. 所含各种情况
= 0 , 直线(谐振动)
y A1 x A2
= /2 , 3/2 正椭圆 如 A1=A2 圆
— 其他情况 斜椭圆
b. 右旋与左旋
如 = 2 - 1>0
y 超前x 顺时针旋转(右旋)
如 = 2 - 1<0
x超前y 逆时针旋转(左旋).
28
28.
*三 .多个同方向同频率简谐运动的合成
两边对 t 求导
d(1mv21kx2)0 dt 2 2
.
d2x k x 0 dt2 m
21
21.
[例] 求图示系统的振动频率 .设轻绳与定滑轮
间无相对滑动.
分析:
k
J,r
a. 寻找平衡位置 , 建立图示坐标系 mgkx0
b. Ⅰ法 动力学法
m
o
x0
偏离x 平动与转动隔离
对m : mgFT ma
对J : F Trk(x0x)J
Fr 2mr2
at
5 (Rr)
d2
dt2
at r
d2
dt 2
2
(sin)
R FT c r
F
mg
T 2π 7(Rr)l

2 2 质点法向加速度在 x 轴上的投影为： a = ω A cos(ω t + ϕ + π ) = −ω Acos(ω t + ϕ )
2、相量图法：以物体运动的平衡位置为圆心 O ，振幅 A 为半径，角速度 ω 为旋转速度，的步调； 两同频率的简谐运动方程分别为： 则它们的相差为：
∆ϕ > 0 ，则 x2 的振动超前 x1 的振动 ∆ϕ ，或说 x1 的振动落后 x2 的振动 ∆ϕ ； ∆ϕ < 0 ，则 x1 的振动超前 x2 的振动 ∆ϕ ，或说 x2 的振动落后 x1 的振动 ∆ϕ ；
由于相差的周期为 2π ，所以我们把
∆ϕ 限制在 π 以内，当 ∆ϕ = 3π / 2 时，一般不说
此二阶齐次常微分方程的解为： x = A cos(ωt + ϕ) ，对比有 ω =
期为 T = 2π / ω = 2π m / k 即角频率由振动系统本身的性质决定。 2、振动的初始条件：
t =0 时 ，
x0 = A cos ϕ ， υ0 = −ω A sin ϕ ， 则
2 A = x0 + (υ0 / ω ) 2
物体在一定位置附近所做的往复运动叫机械振动，简称振动。它是物体的一种运动形式， 从广义上说，任何一个物理量随时间的周期性变化都可以叫做振动。 振动的形式： 机械振动：位移 x 随时间 t 的往复运动； 电磁振动：电场 E 、磁场 B 等物理量随时间 t 往复运动； 微观振动：晶格点阵上原子的振动； 振动的分类：
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) 、 x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ2 ) − ( ωt + ϕ1 ) = ϕ2 − ϕ1 ，与时间无关；

0) 描述质点初始时刻的运动状态。（ 取 [ ]或[ 0 2 ]）
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
四、常数A和
的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0, x x0 , v v0
2 A x0

0.0707 m
9-2 旋转矢量
例2： 一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期 为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向Ox轴负方向运动（如 图）。试求（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力； （2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间。
解： （1） 由简谐运动方程

2
s 1 ) 2 (0.069 m ) 1.70 10 3 N
9-2 旋转矢量
（2）设由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间 为t，把x=-0.04m 代入运动方程得。
0.04 m (0.08m ) cos[( s )t ] 2 3 1 arccos( ) 2 2 3 t s 0.667 s 3 2
9-2 旋转矢量
A （2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度： 2
x A cos(t ) A cos(t ) x 1 cos(t ) A 2 5 t 或 t 3 3 由旋转矢量图可知 t 3 v A sin t 0.26 m s 1
x
成正比，
而方向相反。人们把具有这种特征的振动叫做简谐运动。
d 2x 2 x 简谐运动的微分方程 2 dt 其解为 x A cos(t ) 简谐运动的运动方程

代数法;
o
x/m
0.04
0.08
21
旋转矢量法;
2 π π 1 解 A 0.08 m s T 2 t 0，x 0.04 m
代入 x A cos(t )
v0 0 v0 A sin( ) 0 Biblioteka π 33
简谐运动方程：
x 0.08 cos( t ) 2 3


22
t 1.0 s, x, F 可求（1） t 1 .0 s 代入上式得 x 0.069 m
1.70 10 N
3
法二：求运动方程
v
A
o
x v
x
23
代数法;
旋转矢量法;
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
合成
简谐运动 谐振子 分解 复杂振动
作简谐运动的物体
8
弹簧振子的振动模型
弹簧和一谐振子组成的振动系统。
l0 k
m
x
C
o
B
x xB F FB
x 0 F 0 平衡位置
x xc v 0
9
振动的成因
a 回复力
b 惯性
10
弹簧振子的动力学分析
F
o
F kx ma
2
m
x
18
（2）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 A cos(t1 )
x2 A cos(t2 )
(t2 ) (t1 )
t t 2 t1