概率论与数理统计 习题三(1)

习题三

3.1 函数21(),1fxxx，可否是连续型随机变量X的分布函数？

解：21()|1101fxdxdxarctgxx

()fx不是连续型随机变量X的分布函数。

3.2 设随机变量X的概率密度为

2,||1()10,||1Axfxxx 求（1）系数A;(2)随机变量X落在区间11,22内的概率；（3）随机变量X的分布函数。

解：（1）1=111211()arcsin|1fxdxAdxAxAx

1A 所以21,||1();10,||1.xfxxx

（2）1122112221111()arcsin|221Pxxx=111()6633.

（3）()()()xFxFxfxdt

当x<-1时，有()0Fx 当11x时，1211()arcsin|1xxdtFxtt=

11arcsin2x 当x>1时 11211()arcsin|11xdtFxtt

0,1;11()arcsin,11;21,1.xFxxxx

1111111()()()(arcsin)222222PxFF1111(arcsin())223.

3.3 设连续型随机变量X的分布函数为

20,0;(),01;1,1,xFxAxxx 求（1）系数（A）；（2）X的概率密度；（3）X落在区间（0.1，0.7）内的概率。

解：（1）由分布函数的连续性 F(1)=1， 211lim()limxxFxxA 1A

(2)由于()Fx除0x和1处处可导，且在x=0,1处连续。

(3)0.70.720.70.10.10.1(0.10.7)22|0.490.010.48pxxdxxdxx

3.4 设34,01,()0,xxfx其他,

（1）求数a，使()()pXapXa；

（2）求数b，是使()0.05pXb。

解：（1）()()pXapXa ()0pXa

1()()2pXapXa 3401()42apXaxdxa

412a

（2）340()1()4bpXbpXbxdexb 410.050.95b

40.95b

3.5 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客候车时间的分布密度。

解：设候车时间为X 1,05();50,xfx其它.

3.6 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

(6),02,24;(,)0,kxyxxfxy其他.

求（1）常数k; (2)1,3;(3)(1.5);pXYpX (4)(4).pXY

解：（1）按公式（3.20）得

420020(6)(6)kxydxdydykxydx=42(102)81kydyk

1.8k

（2）31201(1,3)(6)8pXydyxydy=321113().828ydy （3）(,)|02,241.5xyxyX=01.5,24xy

1.54021271.5(6).832pXdxxydy

（4）2242020112(4)(6)(64.8823xxpXYdxxydyxdx

3.7 某种晶体管的使用寿命X（单位：h）概率密度为

2100,100;()0,100,xfxxx 求在150h内：

（1）3只晶体管中没有1只损坏的概率；（2）3只晶体管中只有1只损坏的概率；

（3）3只晶体管全损坏的概率。

解：15021001001(150).3pXdxx （1）3311(150)().327ppx

(2)将观察3只晶体管看作三次独立重复试验，由二项公式123112(1)()3327C

（3）318(1).327p

3.8 设随机变量X与Y独立，X～U(0,2),Y～e(2),求：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度；（2）概率).(YXp

解：（1）其他,0;20,21)(xxfX

其她,00.21)(2yeyfyY

所以其他。0;0,20,41),(2yxeyxfy

（2）dxedyedxdxdyeYXpxyxyyx2022202214141)(

=112021121eedxex。

3.9 设随机变量X概率密度为 其他。,0;10,2)(xxxf

求下列随机变量函数的概率密度；（1）;21XY (2);12XY (3)23XY.

解：（1）随机变量X在区间（0，1）内取值，所以随机变量XY21 将在区间（0，2）内取值。先求1Y的分布函数。

1221()()(22.2yYFypYypXyxdxy

两边对y求导11(),2YfyyYX的概率密度为1,02;()0,Yyyfy其他。

（2）因为随机变量X在区间（0，1）内取值，所以21YX将在区间（0，1）内取值。

22()(1)(1)YFpYypXypXy11(1)12ypXyxdx

21221|1(1)2yxyyy。两边求导,0

所以22,01;()0,Yyyfy其他。

（3）因为X在（0，1），所以23Yx在（0，1） 3Y的分布函数为32()()YFypXy。

当0

所以331,01;()0,Yyyfy其他

3.10 对球直径作近似测量，设其值均匀分布于,ab，求球体积的密度函数。

解：设球的直径为X，体积为Y.由题意X的密度函数为

1,;()0,Xaxbfxba其他。

334(),326XYX 3(0)6yxx可导，120,2yx36().yxgy

所以1213312()()||()|(),9YXfyfgygyyba 33.66aby

所以Y的密度函数为12333312(),();9660,Yabyyfyba其他

3.11 设X与Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

1,01;()0,Xxfx其他。 ,0;()0,0.yYeyfyy 求随机变量Z=X+Y的概率密度。

解：使用卷积公式Z=X+Y的概率密度。()()().XXYfzfzyfydy

考虑使()()0XYfzyfy的变化范围。

01,0.zyy 即1,0.zyzy 得max1,0zyz,于是，当z<0时，不存在满足上式中的y,所以()0zfz，当01z时。0yz，所以

0()1zyzzfzedye。当z>1时，1zyz，11(1)zyzzzfedyee。

所以,0,0;()1,01;(1)1.zzzzfzezeez

3.12 某种电子元件的寿命X（单位：h）的概率密度为

2,0;()0,0.axaxexfxx其中a>0为常数，求这种电子元件的平均寿命。

提示：（1）0000()|xxxxxedxxdexeedx0|xxxee

（2）22000|2xxxxedxxexedx

解：2222000011()|2taxaxtttEXaxedxtedttetedtaa2.a

3.13 设随机变量X的概率密度为：,01;()0,akxxfx其他

已知()0.75,EX求k及a的值。

解：10()1,1akfxdxkxdxa又因为10()()0.75aEXxfxdxxkxdx

解方程组1,10.75.2kaka 所以k=3, a=2.

3.14 设随机变量X在10,2上服从均匀分布，22YX，求E(Y)与D(Y)。

解：222211(),()24312baabxaabbEXEXdxba， 所以211()2()2.126EYEX

或12,0;()20,xfx其他。

11244522008811()(4)8|553220EYEXxdxx

22()()()DYEYEY111203645

3.15 在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量X（单位：t）,它在

2000,4000上服从均匀分布。若每售出1t，可得外汇3万元。如果销售不出而积压，则需浪费保费1万元/t。问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？

解：设商品量最大值点为0x,收益为随机变量Y,Y=g(X)

有1,20004000;()20000,xfx其他。 00003,;().3(),xXxYgXXxXXx

则00400000200011()(4)320002000xxEYxxdxxdx6001(7000410)1000xx

因为由010()(27000)xEYx/1000=0，得03500,x

又1102(),1000EYx所以03500x为最大值点，从而知道组织货源3500t时，收益最大。

3.16 已知随机变量X与Y相互独立，且E(X)=2,D(Y)=1,E(Y)=1,D(Y)=4,U=X-2Y，V=2X-Y，

求D(U),E(U),E(V),D(V).

解：()()2()2210,EUEXEY

()(2)()4()14417,DUDXYDXDY

()(2)2()()2213,EVEXYEXEY

()(2)4()()4148.DVDXYDXDY

3.17 计算泊松分布()p的三阶原点矩及三阶中心矩。

解：()(0,1,2,)!xPxexx，212(),()(1).vEXvEX 11223220041()(2)4|36EYEXxdxx