概率论与数理统计习题第一章第三章

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***

1 1.1 写出以下随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运发动投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故,7,6,51；

(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;

解：12,11,4,3,22；

(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以,2,1,03；

(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;

解：属于不放回抽样，故两件产品不会一样，编号必是一大一小，故：

;51,4jiji

(5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，那么1,1,0,1,1,0,0,05；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);

解：用x表示最低气温, y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：

216,TyxTyx；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的间隔 ;

解：207xx；

(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.

解：lyxyxyx,0,0,8；

1.3 设样本空间20xx, 事件A=15.0xx,6.18.0xxB

详细写出以下各事件：(1)AB; (2) BA ; (3) BA; (4) BA

（1）AB18.0xx；

(2) BA=8.05.0xx；

(3) BA=28.05.00xxx;

(4) BA=26.15.00xxx

1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(BPAPABPBAPAP, 并说明理由.

解：由于),(,BAAAAB故)()()(BAPAPABP，而由加法公式，有：)()()(BPAPBAP

1.7 假设W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075,

P(WE) = 0.025, 求以下事件的概率：

(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛; ***

2 (2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(WEPEPWPEWP

(2) 由于事件W可以分解为互斥事件EWWE,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：1.0)()()(WEPWPEWP

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(EWPEWP.

1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：

(1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少?

(2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?

解：(1) 由于BABAAB,，故),()(),()(BPABPAPABP显然当BA时P(AB) 取到最大值。最大值是0.6.

(2) 由于)()()()(BAPBPAPABP。显然当1)(BAP时P(AB) 取到最小值?，最小值是0.4.

1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件

A,B,C 中至少有一个发生的概率.

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.CBA,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP

1.10 计算以下各题：

(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求P(AB);

(2) 设P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求P(AB);

(3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。

解

（1）通过作图，可以知道，3.0)()()(BPBAPBAP

（2）6.0))()((1)(1)(BAPAPABPABP

7.0)(1)()()()(1))()()((1)(1)()()3(APBPABPBPAPABPBPAPBAPBAPABP由于

1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？

解：用iA表示事件“杯中球的最大个数为i个〞i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有644*4*4种，每种放法等可能。

对事件1A：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故83)(1AP

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件3A：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故***

3 161)(3AP。169161831)(2AP

1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次根本领件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个根本领件〔1，2〕，〔2，1〕。故前后两次出现的点数之和为3的概率为181。

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是91,121。

1.13 在整数9,2,1,0中任取三个数, 求以下事件的概率：

(1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.

解：从10个数中任取三个数，共有120310C种取法，亦即根本领件总数为120。

(1) 假设要三个数中最小的一个是5，先要保证获得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有624C种，故所求概率为201。

(2) (2) 假设要三个数中最大的一个是5，先要保证获得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有1025C种，故所求概率为121。

1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两

只, 求以下事件的概率：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.

解：分别用321,,AAA表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.那么,111666)(,33146628)(212242212281CCAPCCAP3316)()(1)(213APAPAP。

1.15 4.0)(,7.0)(BPAP，5.0)(BAP, 求).)((BBAP

解：)())()(()())(())((BPBBABPBPBBAPBBAP

由于-0)(BBP，故5.0)()()()()())((BPBAPAPBPABPBBAP

1.16 4.0)(,6.0)(BPAP,5.0)(BAP。计算以下二式：

(1) );(BAP〔2〕);(BAP

解：〔1〕;8.05.04.01)()(1)()()()(BAPBPABPBPAPBAP

〔2〕;6.05.04.01)()(1)()()()(BAPBPBAPBPAPBAP ***

4 注意：因为5.0)(BAP，所以5.0)(1)(BAPBAP。

1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任意抽取三次, 每次只取一件, 求以下事件的概率：

(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;

(2) 第三次才取到次品;

(3) 第三次取到次品.

解：用iA表示事件“第i次取到的是正品〞〔3,2,1i〕，那么iA表示事件“第i次取到的是次品〞〔3,2,1i〕。

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品〞的概率为：

185)()()(21321213AAPAAAPAAAP。注：也可以按条件概率的含义直接计算，省略中间一步。

(2) 事件“第三次才取到次品〞的概率为：

22835)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP

（3）事件“第三次取到次品〞的概率为：41

此题要注意区分事件〔1〕、(2〕的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用iA表示事件“第i次取到的是正品〞〔2,1i〕，

那么事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品〞的概率为：1)(12AAP；而事件“第二次才取到次品〞的概率为：21)()()(12121AAPAPAAP。区别是显然的。

1.18 有两批一样的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：用)2,1,0(iAi表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i〞。用B表示事件“从第二箱中取到的是次品〞。那么根据全概率公式，有：

283)()()()()()()(221100ABPAPABPAPABPAPBP

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率一样,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.

解：设)3,2,1(iAi表示事件“所用小麦种子为i等种子〞，B表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒〞。那么根据全概率公式，有：

4705.0)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP

1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。

解：用B表示色盲，A表示男性，那么A表示女性，由条件，显然有：

概率论与数理统计及其应用_习题答案_(浙大_盛骤谢式千版本)

《概率论与数理统计》

习题解答

教材：《概率论与数理统计及其应用》，浙江大学盛骤、谢式千编，高等教育出版社，2004年7月第一版

第一章随机事件及其概率1

第二章随机变量及其分布9

第三章随机变量的数字特征25

第四章正态分布33

第五章样本及抽样分布39

第六章参数估计42

第七章假设检验53

第一章随机事件及其概率

1、解：（1）67,5,4,3,2S

（2）,4,3,2S

（3）,,,TTHTHHS

（4）6,5,4,3,2,1,,TTTTTTHTHHS

2、设A, B是两个事件，已知81)(,21)(,41)(ABPBPAP，求)(BAP，)(BAP，)(ABP，)])([(ABBAP

解：81)(,21)(,41)(ABPBPAP

)()()()(ABPBPAPBAP85812141

)()()(ABPBPBAP838121

87811)(1)(ABPABP

)])([(ABBAP)]()[(ABBAP

)()(ABPBAP)(BAAB

218185

3、解：用A表示事件“取到的三位数不包含数字1”

2518900998900)(191918CCCAP

4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：用A表示事件“取到的三位数是奇数”，用B表示事件“取到的三位数大于330”

(1) 455443)(2515141413ACCCCAP=0.48

2） 455421452)(251514122512ACCCACBP=0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；

概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

概率论与数理统计习题答案完全版

浙大第四版（高等教育出版社）

第一章概率论的基本概念

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

nnnnoS1001,，n表小班人数

（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，„„„，n，„„„}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}

2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生。

表示为： CBA或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都发生，而C不发生。

表示为： CAB或AB－ABC或AB－C

（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C

（4）A，B，C都发生，表示为：ABC

（5）A，B，C都不发生，表示为：CBA或S－ (A+B+C)或CBA

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生

相当于CACBBA,,中至少有一个发生。故表示为：CACBBA。

（7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：CBA,,中至少有一个发生。故表示为：ABCCBA或

（8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

王松桂第三版概率论与数理统计第三章答案

一、第三章习题详解：

3.1设二维随机向量(,)XY

的分布函数为:1222,0,0,

(,)

0,xyxy

Fxy









其他

求

12,35PXY

解：因为 257

(2,5)1222F



，651

2221)5,1(

F

532

2221)3,2(

F

，431

2221)3,1(

F

所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP

7654

733

2222

2128



3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数,

用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.

解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)

且 0)1,2(YXP

，6.0

)2,2(



CCC

YXP

4.0

)1,3(



CCC

YXP

，0)2,3(YXP

故(X,Y)的概率分布为

X\Y12

200.6

30.40

3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.

解：因为|32||)3(|XXXY

，又X的可能取值为0,1,2,3

所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)

且

)

()3,0(3

YXP

，

)

()21()1,1(211

3CYXP

)

()

()1,2(122

3CYXP

，

)

()3,3(3

YXP故(X,Y)的概率分布为

X\Y13

001/8

13/80

23/80

301/8

3.4设二维随机向量(,)XY

的概率密度函数为:

(6),01,02,

(,)

0,axyxy

fxy







其他

(1) 确定常数a

概率论与数理统计第三章习题及答案

1 概率论与数理统计习题

第三章多维随机变量及其分布

习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律.

解：

Y 0 1 2 3

0 0 0 353 352

1 0 356 3512 352

2 351 356 353 0

（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=351472222CCC P {X=1, Y=1 }=35647221213CCCC

P {X=1, Y=2 }=35647122213CCCC P {X=2, Y=0 }=353472223CCC

P {X=2, Y=1 }=351247121223CCCC P {X=2, Y=2 }=353472223CCC

P {X=3, Y=0 }=352471233CCC P {X=3, Y=1 }=352471233CCC

P {X=3, Y=2 }=0

习题3-2 设随机变量),(YX的概率密度为

其它,0,42,20),6(),(yxyxkyxf

（1）确定常数k；

（2）求3,1YXP

（3）求5.1XP；

（4）求4YXP.

分析：利用P {(X, Y)∈G}=oDGGdydxyxfdydxyxf),(),(再化为累次积分，其中 2 42,20),(yxyxDo

解：（1）∵2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf，∴81k

（2）83)6(81)3,1(3210dyyxdxYXP

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