二阶非齐次微分方程的通解

非齐次线性微分方程通解的证明

问题重述

如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程

（5.21）

的基本解组，那么，非齐次线性微分方程

(5.28)

的满足初值条件

的解由下面公式给出

（5.29）

这里是的朗斯基行列式，是在中的第k行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式

，（5.30）

这里是适当选取的常数。

公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。

我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为

证明

考虑n阶线性微分方程的初值问题 12(),(),...,(),()natatatftatb12x(),x(),...,x(),ntttatb()(n-11()+...+()x=0nnxatxat）()(n-11()+...+()x=()nnxatxatft）(1)0000()0()=0()=0,[,]nabtttt，，...,0n12k112[x(),x(),...,x()]()=x(){}()[x(),x(),...,x()]tknktnWsssttfsdsWsss12[x(),x(),...,x()]knWsss12x(),x(),...,x()nsss12[x(),x(),...,x()]knWsss12[x(),x(),...,x()]nWsss(0,0,...,0,1)T1122()()()...()()nnutcxtcxtcxtt12,,...,nccc1122()()...()()nnxcxtcxtcxtt （5.6）

其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：

（5.7）

２００７年ｌ２月　．　第２ｌ卷第４期总７０期　北京联合大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｕｎｉｏｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｄｅｃ．２０ｏ７　Ｖｏ１．２ｌ　Ｎｏ．４　Ｓｕｍ　Ｎｏ．７０　

二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式　

邢春峰，袁安锋　

（北京联合大学基础部，北京　１００１０１）　

［摘　要］　为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶变系数线性非齐次微分方程的　通解，这里使用常数变易法，在先求得二阶变系数线性齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶　

变系数线性非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，从而给出了一种运算量较小的二阶变系　

数线性非齐次微分方程通解的一般公式，并且将通解公式进行了推广，实例证明该方法是可行　

的。　［关键词］　二阶变系数线性非齐次微分方程；通解；特解　

［中图分类号］０　１７５　［文献标识码］　Ａ　［文章编号］　１００５—０３１０（２００７）０４　００７４—０３　

二阶变系数线性非齐次微分方程　

ｙ　＋Ｐ（　）Ｙ　＋ｑ（　）Ｙ＝ｆ（　）　（１）　在纯粹数学、应用数学、工程技术及力学、物理学等　领域有着及其重要的位置。关于它的通解结构，有　

着十分完美的结论，但求解变系数微分方程却无一　

般方法。只有在一些特殊情况下（如文献［１］的常　

系数化等）才能够求出用初等函数表示的解。本文　在方程（１）中的Ｐ（　），ｑ（　）满足（如文献［２］）　

ｒ。＋Ｐ（　）ｒ＋ｑ（　）一０　（２）　

的条件下（其中ｒ∈尺），给出了二阶变系数线性非　

齐次微分方程通解的公式，并在此基础上进行了推　广。　

设方程（１）的通解为　

，　＝　（　）　（　）垒　即寻找两个函数“＝“（　），　＝　（　），使得Ｙ＝“　

为方程（１）的通解。求导得　

ｙ　＝　＋　，　＝　＋２　＋ｕ　将Ｙ，Ｙ　，　代入（Ｉ）化简得　

Ｈ　＋（２Ｈ　＋Ｐ（　）Ｈ）　＋　

（Ｈ　＋Ｐ（　）Ｈ　＋ｑ（　）Ｈ）　＝ｆ（　）　（３）　首先寻找函数“＝“（　）。在（３）中不妨令　

第２７卷第２期　２　０　１　３年３月　长沙大学学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＡＮＧＳＨＡ　ＵＮＩＶＥＲＳｌＴＹ　ＶＯＩ．２７　ＮＯ．２　Ｍａｒ．２　０　１　３　二阶变系数线性齐次微分方程的通解　张玉兰　（南京铁道职业技术学院社会科学部，江苏南京２１００１５）　摘要：主要讨论了二阶变系数线性齐次微分方程的求解问题，利用变量代换的方法将二阶变系数线性齐次微分方程　＋Ｐ（ｘ）ｙ　＋Ｑ（ｘ）ｙ＝０化为Ｒｉｃｃａｔｉ方程，再利用已有的结果得出二阶线性变系数齐次微分方程的通解．　关键词：二阶变系数微分方程；Ｒｉｃｃａｔｉ方程；通解　中图分类号：０１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—４６８１（２０１３）０２—０００１—０３　二阶线性齐次微分万程尢论是在微分方程理论上还是　应用上都占有重要位置．对于常系数的线性微分方程的通解　结构，在一般的著作文中有十分完美的结论，但求解二阶线　性变系数微分方程却无通用的求解方法．其在实际中总存在　着困难，而且也一直是人们感兴趣的研究课题，如刘琼在文　献［１］中讨论了方程Ｙ”＋Ｐ（ｘ）ｙ　＋Ｑ（ｘ）ｙ＝，（　）（１）当系数　满足Ｑ（　）＝　１［Ｐ２（　）＋２Ｐ　（　）］时，其通解为ｙ（　）＝（Ｇ　＋Ｃｚｘ）ｅ一　舳＋Ｉ　』ｅ扣㈤　）　一　ｅ扣㈤　）　１．　ｅ一　（　．（Ｃ。，Ｃ２为常数）　１　引理　法国数学家刘维尔（Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ）在１８４１年证明了著名的　黎卡提（Ｒｉｃｃａｔｉ）方程老＝尸（　）ｙ　＋Ｑ（　）），＋Ｒ（　）（２）一般　是不可积的，即不能用初等积分法求解．文献［２—４］均给出　了待定系数满足定理条件时Ｒｉｃｃａｔｉ方程的通积分．如：　引理１瞳　对方程（２），若系数满足（　等）　＝一　（　），　则方程（２）可积，且其通积分为ｙ：——　一　Ｃ—ＩＰ（　）ｅ－ＪＱ（ｘ）ｄｘｄｘ　爱筹．（其中ｃ为常数）　引理２　对方程（２），若系数满足Ｐ（　）＝Ｉ爱等ｌ　，　则方程（２）　可积，　且其通积分为Ｙ　＝　一　１　中ｃ为　２足±里及兵证明　定理１对于方程（２），若系数满足Ｑ（ｘ）　０，Ｒ（ｘ）＝　Ｐ　（　）一Ｐ３（　），则方程（２）可积，且其通积分为Ｙ＝　——　型竺　＋Ｐ（　）（Ｃ为常数）．　——　—＿—一＋（　）（为常数）．　Ｃ—ｆＰ（　）ｅ２Ｊ雎（舳ｄｘ　证明：当Ｑ（ｘ）一０，　（　）＝Ｐ　（　）一ｔ，３（　）时，方程（２）　即为Ｙ　＝Ｐ（ｘ）ｆ＋Ｐ　（　）一ＪＰ３（　）（３）．显然Ｙ＝Ｐ（　）为方　程（３）的特解．现令Ｙ＝Ｐ（ｘ）ｚ（ｘ），则Ｙ　＝　ｘ）Ｐ（　）＋　ｚ（ｘ）Ｐ　（　），将其代入方程（３）中并整理得：：　（　）＝［　（　）一　１］｛ＪＤ２（　）［ｚ（　）＋１］一　｝；再令　（　）＝　（　）一１，则有　（　）＝［２　（　）一　］埘（　）＋Ｐ２（　）　（　）（４）；再设　（　）＝　１　，所以　（　）＝一　等，则方程（４）即为　ｍ　（　）＋｛２　（　）一　｝ｍ（　）＋Ｐ２（　）＝０，根据一阶线　性非齐次微分的解法（常数变易法）可解得其通解为：ｍ（ｘ）　Ｐ（　）（Ｃ一　（　）ｅ２　（州　）　＝—————　＿＿＿———一（Ｃ为常数）；所以ｗ（ｘ）＝　ｅ　Ｊ　（棚　………～一。　——　一，则　（　）：　（　）＋１：　Ｐ（　）（Ｃ—ｆＰ（　）ｅ２７２（　’出　）　—————　竺　二＿＿　＋１，从而得方程（３）的通解　Ｐ（　）（Ｃ—ｆＰ（　）ｅ　『Ｐ２（　）　）～一………～……　为：ｙ　ｅ２７　２（　ｘ）ｄ　ｘ　＋Ｐ（　）（ｃ为常数）・　本文利用变量代换的方法将二阶变系数微分方程　收稿日期：２０１２—１２—１４　作者简介：张玉兰（１９８２一），女，江苏盐城人，南京铁道职业技术学院社会科学部讲师，硕士．研究方向：运筹学、控制　论．

科技论坛　・１３３・　

阶非齐次常微分方程的几种求法　杨磊英赵临龙（指导教师）　（安康学院数学与统计学院，陕西安康７２５０００）　

摘要：对一道二阶非齐次常微分方程进行讨论，给出３种解法，并且对解法进行分析。　关键词：常微分方程；二阶非齐次；解法　

《常微分方程》　教材第二苹有微分方程　题．　解方程：ｔｘ　一　＝ｆ　（ｔ≠０）　解法１（降阶方法）：令　＝），，　”＝Ｙ　，则　ｔＹ　ｙ＝ｔ　，ｊ，　＝÷　¨　

＝口ｆ孚（－　Ｔ西ｄｔ＋ｃ］＝ｃｔ＋ｒ２　

＝ｆ（ｔ￣－＋ｑｔ）ｄｔ：　１　ｆ　＋　＋ｃ：　解法２（欧拉方法）：构造欧拉方程：　ｔ２　，，一ｔｘ，一ｔ３　设Ｙ＝　，得到确定ｋ的方程：　ｋ（ｋ—１）一ｋ＝０．ｋｌ＝０或　＝２　齐次方程的通解为：Ｘ￣Ｃｌｔ　＋ｃ２　设一ｘ—Ａｔ　为原方程的解，则　＝３Ａｔ　，　”＝６Ａｔ，于是　６Ａｔ　－３Ａｔ　＝ｔ　Ａ＝　，非齐次方程的特解　＝　１　ｆ　所以方程的通解为：　＝　ｔ２－＇￣－Ｃ２＿］ｌ　３．　解法３（不变量解法）：对于方程：　，，一一１　，：ｆ　ｐ：一一１，ｇ：０　，：２ｐ，＋ｐ　一４ｑ：２　，　＿２　。　

设　＝　．　ｆ—ａｔ—ｂ　一６　———　—一＝　ｆ。ｔ　．　３　—２ｂ＋口。ｆ　＋ｂ２＋２ａｂｔ　—　＝————————　—————一　ｔ　ｔ。　则　

盘：０　—２ｂ＋６２：３　ｂ：３，ｂ＝一１　￣ｔＴ．ｂ＝３时，　：手叩＝　Ｉ（Ａ—ｐ）＝　（　＋　）＝詈　．　，，　‘　ｌ＿，其中ｚＩ－　ｆ　＝Ｐｆ一÷　（ｆ　ｅ一卜÷衍　＋ｃ］　

＝ｒ一　（ｆ　＋ｃ］：　＋ｃ　一３　

ｚ＝ｆ（３－ｑ－ｑｔ－３　＝　Ｈ　ｃ１ｔ－２－ｋ－ｃ２　

则　：　‘　：ｃ　ｔ＋ｑｔ－２＋ｃ２）Ｏ　ａ￣ｆ＿ｚ＝（　＋ｃｔ　＋　２　

１　１　’　＝一ｔ。＋Ｃｌ＋ｃ１ｆ　所以方程的通解为：ｘ＝ｑｔ　－Ｊｉ－Ｃ２＋去ｆ　ｔ　对于非零的常数日，ｂ的方程ａｔｘ＇’　Ｉ＿／（　，可直接降　阶为一阶线性方程，或转化为欧拉方程的形式，即有了解法１解法　２的特殊解法。但解法３，对于一般可解的二阶方程都有效。当然，需　要从以下Ｒｉａｃ。ｔｉ方程：１＝２ｐ　十　一４ｇ＝２　＋　，求出函　数Ａ（ｘ）．由于此题ｑ＝０，则取　（　）　—ａｔ—，即可。　参考文献　［１】李必文，赵临龙，张明波．常微分方程［Ｍ】．武汉：华中师范大学出版