一阶非齐次微分方程的通解公式

２４　高等数学研究　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖ０１．１１。ＮＯ．３　Ｍａｙ，２００８　

一类二阶常系数非齐次线性微分　

方程通解的求解方法　

张　菁　（上海理工大学理学院　上海２０００９３）　

摘要根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程系数的特点，利用降阶法，给出了求其通解的一种简便方　法．当方程的系数满足新方法的要求时，非齐次项的选择范围较大，不局限于通常的两类型．　关键词　二阶常系数非齐次线性微分方程；降阶法；通勰　中图分类号Ｏ１７５、ｌ　

一般教科书中，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程的通解和　非齐次方程本身的一个特解．而对求特解，通常只介绍非齐次项如取下列两种常见类型时的待定系　

数方法：　

（１），（ｚ）＝ｅｘｘＰ　（ｚ）　

特解形式为Ｙ’－＇￣－Ｘ　Ｑ　（ｚ）ｅ　，其中Ｑｍ（ｚ）与Ｐ　（ｚ）同为　次式，而ｋ按　不是特征方程的根，　是特征方程的根或是特征方程的重根依次取０，１或２．　

（２），（ｚ）＝ｅｘｘ［Ｐｆ（ｚ）ｃｏ￣ｘ＋Ｐ　（ｚ）ｓｉｒｕｏｘ］　特解形式为Ｙ。一Ｘｋｅｘｘ［－Ｒ￣ｔ　（ｚ）ｃｏ　ｚ＋Ｒ　（ｚ）ｓｉｍｏｘ］其中Ｒ　（ｚ），Ｒ　（ｚ）是　—ｍａｘ｛１，　｝　

次多项式，而ｋ按　＋ｉｃｏ（或　一ｉｃｏ）不是特征方程的根，或是特征方程的根依次取０或１．　本文根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程系数的特点，利用降阶法，给出了这类方程通解　

的求解公式，我们有下列定理：　定理设二阶常系数非齐次线性方程　

－ｑ－－ｐｙ　＋ｑ　＝，（ｚ）　（１）　

的系数满足　

Ｐ一　ｌ＋　２，ｑ一　ｌ　２　（２）　则方程（１）的通解为：　

ｙ－－－￣ｅ　ｆ』ｅｎ　－Ｘ２）ｘ［』ｆ（ｘ）ｅ　ｄｘ＋Ｃ　ｊｄｘ－ｑ－Ｃ２　ｌ（３）　Ｉ　Ｊ　

证明　根据　

－ｑ－－ｐｙ　＋ｑ　＝　（　ｌ＋　２）　＋　ｌ　＝（　＋　ｌ　）　＋　（　＋　１　）一，（ｚ）　（４）　

令ｚ—　＋　。ｙ，则方程（１）变成：　

- 1 - 一阶非齐次微分方程的通解

一阶非齐次微分方程的通解是指，解决非齐次微分方程后得到的能够满足方程所有初始条件的解的集合。求解非齐次微分方程的方法可以使用常数变易法、待定系数法等，通过这些方法可以得到特解和通解。其中，特解是非齐次微分方程的一个具体解，而通解则是由特解和齐次微分方程的通解组成的。

在求解非齐次微分方程的过程中，需要先求得齐次微分方程的通解，然后再根据特解的形式，将特解和齐次微分方程的通解相加，得到非齐次微分方程的通解。不同的特解形式对应着不同的非齐次项形式，需要根据非齐次项的形式来选择相应的特解形式。

总之，求解一阶非齐次微分方程的通解是一个比较基础的数学问题，掌握常用的求解方法，可以为更复杂的微分方程解题奠定基础。

２００７年ｌ２月　．　第２ｌ卷第４期总７０期　北京联合大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｕｎｉｏｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｄｅｃ．２０ｏ７　Ｖｏ１．２ｌ　Ｎｏ．４　Ｓｕｍ　Ｎｏ．７０　

二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式　

邢春峰，袁安锋　

（北京联合大学基础部，北京　１００１０１）　

［摘　要］　为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶变系数线性非齐次微分方程的　通解，这里使用常数变易法，在先求得二阶变系数线性齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶　

变系数线性非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，从而给出了一种运算量较小的二阶变系　

数线性非齐次微分方程通解的一般公式，并且将通解公式进行了推广，实例证明该方法是可行　

的。　［关键词］　二阶变系数线性非齐次微分方程；通解；特解　

［中图分类号］０　１７５　［文献标识码］　Ａ　［文章编号］　１００５—０３１０（２００７）０４　００７４—０３　

二阶变系数线性非齐次微分方程　

ｙ　＋Ｐ（　）Ｙ　＋ｑ（　）Ｙ＝ｆ（　）　（１）　在纯粹数学、应用数学、工程技术及力学、物理学等　领域有着及其重要的位置。关于它的通解结构，有　

着十分完美的结论，但求解变系数微分方程却无一　

般方法。只有在一些特殊情况下（如文献［１］的常　

系数化等）才能够求出用初等函数表示的解。本文　在方程（１）中的Ｐ（　），ｑ（　）满足（如文献［２］）　

ｒ。＋Ｐ（　）ｒ＋ｑ（　）一０　（２）　

的条件下（其中ｒ∈尺），给出了二阶变系数线性非　

齐次微分方程通解的公式，并在此基础上进行了推　广。　

设方程（１）的通解为　

，　＝　（　）　（　）垒　即寻找两个函数“＝“（　），　＝　（　），使得Ｙ＝“　

为方程（１）的通解。求导得　

ｙ　＝　＋　，　＝　＋２　＋ｕ　将Ｙ，Ｙ　，　代入（Ｉ）化简得　

Ｈ　＋（２Ｈ　＋Ｐ（　）Ｈ）　＋　

（Ｈ　＋Ｐ（　）Ｈ　＋ｑ（　）Ｈ）　＝ｆ（　）　（３）　首先寻找函数“＝“（　）。在（３）中不妨令　

微分方程的通解公式总结

首先，我们来看一阶微分方程的通解公式。一阶微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)为x和y的函数。对于这种形式的微分方程，我们可以通过分离变量、齐次方程、恰当方程等方法求解，并得到通解公式y=F(x,C)，其中F(x,C)为x和常数C的函数。这个通解公式中的C称为积分常数，它包含了微分方程的所有解。在具体求解微分方程时，我们可以根据初值条件确定积分常数的值，从而得到微分方程的特解。

其次，我们来看高阶微分方程的通解公式。高阶微分方程的一般形式为d^n

y/dx^n=F(x)，其中F(x)为x的函数。对于这种形式的微分方程，我们可以通过特征方程、常数变易法、待定系数法等方法求解，并得到通解公式y=y_0+y_h，其中y_0为特解，y_h为齐次方程的通解。特解可以通过对非齐次方程进行积分得到，而齐次方程的通解可以通过求解对应的齐次方程得到。

最后，我们来看一些常见微分方程的通解公式。常见的微分方程包括线性微分方程、非线性微分方程、常系数微分方程等。对于这些常见的微分方程，我们可以通过不同的方法求解，并得到它们的通解公式。例如，对于线性微分方程可以通过特征方程求解，对于非线性微分方程可以通过变量代换或者积分求解，对于常系数微分方程可以通过特征根的不同情况分类讨论。通过总结这些微分方程的通解公式，我们可以更好地理解它们的特点和性质，为实际问题的求解提供指导。

总之，微分方程的通解公式总结是微分方程研究的重要内容，它对于理解微分方程的性质和特点，以及解决实际问题都具有重要意义。通过对一阶微分方程、高阶微分方程以及常见微分方程的通解公式进行总结，我们可以更好地掌握微分方程的求解方法和技巧，为数学建模和实际问题的求解提供理论基础和数学工具。希望本文的总结能够帮助读者更好地理解微分方程的通解公式，提高微分方程的解题能力。