《初等数学》A卷

- 1 - 1、 因式分解：3235113xxx

2、 已知21xaxx，则2421xxx

3、 已知1abc，求111abcaabbbccca的值；

4、 已知111abcaabbbccca=1，求证1abc；

- 2 - 5、 化简：415

6、 解不等式： 2233132xxxx

7、 求一个方程，使其各根分别等于方程4367620xxxx的各根减去2。

- 3 - 8、 解方程22223223132231xxxxxxxx。

9、 求不定方程7517xy的整数解。

10、 定义在R上的函数()fx满足()()()2(fxyfxfyxyxyR、，(1)2f，则(3)f等于

11、 若函数()yfx的定义域是0,2，则函数(2)()1fxgxx的定义域是

12、 解方程：22256284720xxxxxx

13、 将多项式3222xxx表示成(1)x的方幂形式是

14、 将分式22233(1)(25)xxxxx分解成部分分式之和 - 4 -

15、 求函数2254xyx的值域

16、 已知5,4x求函数14245yxx的最大值。

17、 解方程：4322316320xxxx

- 5 - 18、 已知xyz、、是互不相等的正数，且1,xyz求证：111(1)(1)(1)8xyz

19、 利用多项式对称性因式分解：

（1）555()()()()fxyzxyyzzx、、

［ｆＩ学教学参考　复习指津　

导数与初等数学的融汇　

浙江东阳市技术学校（３２２１００）　吴贵亮　

近年来，高考对导数与初等数学的融汇应用的考查　

在逐渐加强，尤其在讨论函数的单调性和求最值等方面　

更是加大了导数应用的力度，所以很有必要对导数在初　

等数学中的应用作一些探讨．　

一、导数知识在函数中的应用　

１．利用导数知识求函数的单调区间　

【例１】设ａ＞０，求函数＿厂（ｚ）＝，／Ｙ—ｌｎ（ｘ＋ｎ）（ｘＥ　

（Ｏ，＋。。））的单调区间．　

解：厂（ｚ）一　一　１（　＞Ｏ）．　

当Ⅱ＞０，ｘ＞Ｏ时，　

／（　）＞０学ｚ　＋（２口～４）　＋ｎ　＞０；　

（ｚ）＜０甘ｚ。＋（２口～４）ｘ＋ａ　＜０．　

（Ｉ）当ａ＞ｌ时，对所有ｘ＞０，有ｚ　＋（２ａ－－４）ｘ＋ｎ　

＞０恒成立，即厂（ｚ）＞０恒成立，此时厂（　）在（ｏ，＋。。）　

内单调递增．　

（Ｉｊ）当口一ｌ时，对于　≠１，有　＋（２ａ－－４）ｘ十ａ。＞　

０，即厂（　）＞０，此时／’（ｚ）在（ｏ，１）内单调递增，在（１，　＋ｏ。）内也单调递增．又知函数在－ｚ一１处连续，因此，函　

数．厂（　ｚ）在（０，＋ｏｏ）内单调递增．　

（ｉｉｉ）当Ｏ＜ａ＜１时，令　（ｚ）＞０，即　十（２口一４）ｘ　

＋口　＞Ｏ。　

解得ｚ＜２一ｎ～２￣／１－－ａ，或　＞２一Ⅱ十２￣／ｌ—ｎ．　

因此，函数厂（ｚ）在区间（０，２一ｎ～２、／／１一“）内单调　

递增，在区间（２一ｎ＋２￣／１－－ａ，＋Ｃ×３）内也单调递增．　

令　（ｚ）＜Ｏ，即５１２　＋（２ｎ一４）ｘ十口　＜０，　

解得２一口一２￣／１一＆＜　＜２一口＋２￣／ｌ一日．　

因此，函数＿厂（ｚ）在区间（２一ｎ一２￣／１－－ａ，２一ａ＋　

２￣／１－－ａ）内内单调递减．　

小结：求函数单调区间的步骤：（１）确定定义域Ｄ；　

（２）求／（ｚ）；（３）求不等式组｛　篁　’的解集来确定　

递增区间；求不等式组ｊＩ定ｆ＇

义（ｘ　’的解集来确定递减区　

间．　

２．利用导数知识求函数的极值、最值　【例２】已知，（　）ａｏＴ。一６ａｘ。＋６在［一１，２］上的　

- 1 - 数学,字面上看就是数的学问,但这个概念早已经过时了,只是数学起源于数罢了.

数学:纯运动,这个世界的秘密所在.

抽象:从运动体中抽出一些运动.

(抽象出的运动不会独立存在,但它是存在的,抽象不是幻象)

逻辑:1.抽象出的有规律的运动

2.特指对脑运动抽象出的运动(概念、判断、推理)

现代数学三大基础科目:代数、几何、分析数学

也分初等数学(小学、中学)高等数学(大学)

高等数学包括：微积分，高等代数，概率论与数理统计

代数分为：初等代数：以方程为基础的有限元次的代数

高等代数包括：线性代数、多项式代数

第一章 数

1．数的分类及概念

N 自然数 Z 整数 Q有理数 R 实数

C复数

自然数：表示物体的个数

无理数：无限不循小数

数轴上所有的数为实数

数学上并没有给出负数的表示符号,只是用正数的相反数作为标记. “－”只表示相反,而不是表示负数,负数就没有标记.

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）

3．倒数 两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数

4．相反数 任意的一个实数a，它的相反数是-a

5．数轴：①定义（“三要素”） 原点、正方向、单位长度

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：不能被除数整除的自然数 2n+1

偶数：能被除数整除的自然数 2n（n为自然数）

整除是数学中两个自然数(不包括0）之间的一种关系

a/b为整数，a 能被b 整除

约数：a、b为自然数 a能被b整除，则b为a 的约数

倍数：a、b为自然数 a能被b整除，则a为b 的倍数

质数：约数只有1和其本身的自然数

合数：约数不只1和其本身的自然数

1既不是质数也不是合数

1 九点圆

三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。

作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，

AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点N,

垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）

证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD

∴PMDL共圆。

（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR

∴PMRDL五点共圆。

PE为Rt△AHE斜边中线

∴角PEA等于PAE

同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC

∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径

∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心

下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点

O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PH

OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

欧拉线 2

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。