平方根(1)

初二数学 2007暑假 M08P01

1 数的开方（一）平方根

【知识要点】

1．平方根的概念

如果一个数x的平方等于a，即2xa，那么这个数x叫做a的平方根，也叫二次方根。即若20xaa，则x就称为a的平方根。

2．平方根的性质

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

②零有一个平方根，它是零本身；

③负数没有平方根。

3．平方根的表示方法：

一个正数a的正的平方根，用符号“2a”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数；正数a的负平方根用符号“2a”表示，根指数是2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作a。

4．算术平方根：正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根，记作a（0a），0的平方根叫做0的算术平方根。因此，0的算术平方根为0，即00。

5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。

6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。

7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

【典型例题】

例1 ∵20.30.09 ∴（ ）

A．0.090.3是的平方根； B．0.090.3是的3倍；

C．0.30.09是的一个平方根； D．0.09的平方根是0.3。

例2 求下列各数的平方根：196169，25，24125，0.0256。

例3 （1）81的平方根是 ，算术平方根是 ；

（2）2)4(的平方根是 ，算术平方根是 ；

（3）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 。

1 8上平方根（1）

教学目标：了解数的平方根的概念．会用根号表示一个数的平方根。

了解开平方与乘方是互逆的运算，会求非负数的平方根。

重 难 点：一个数的平方根的概念理解及表示方法

教学过程：

一、情境创设

根据课本提供的情境提出问题。由勾股定理可知AB²=12²+5²=169，

AB=13

A′B′=1²+2²=5，那么A′B′=？

教学中可以根据实际情况另行设计一些具体情境，

如果一个数的平方等于9，这个数是几？

一个数的平方等于2呢？

想知道这个数的结果吗?

我们来学习——平方根

二、 新授：

例如：2²=4，（-2）²=4，±2叫做4的平方根。

10²=100，（-10）²=100，±10叫做100的平方根

13²=169，（--13）²=169，±13叫做169的平方根。

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。

也就是说，如果x²=a，那么x叫做a的平方根。

交流：

1．9的平方根是什么？25的平方根是什么？

2、0的平方根是什么？0的平方根有几个？

3、-4、-8、-36有平方根吗？为什么？

结论：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

0只有一个平方根，它是0本身；

负数没有平方根。

2 求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.

表示方法：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。一个正数a的正的平方根，记作“ ” 一个正数a的负的平方根记作“- ”，这两个平方根合起来记作“± ”，读作“正负根号a”。

例如，2的平方根记作“± ”，读作“正负根号2”。81的平方根记作“± ”，读作“正负根号81”

例1 求下列各数的平方根：

（1）25； （2）0.81;

（3）15； （4）（-2）²

课堂教学设计

日期：2012 年 月 . 日

设计要素 设 计 内 容

教学内容分析 本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

学

目

标 知识与

技能 1.理解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根；

2．能用平方运算，求某些非负数的算术平方根；了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根

3．在解决实际问题中，能用计算器求一个非负数的算术平方根

过程与

方法 采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？

情感态度价值观 1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。

2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。

学情分析 2

教

学

分

析 教学重点 算术平方根的概念，夹值法及估计一个（无理）数的大小。平方根的概念和求数的平方根。

教学难点 难点 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根，夹值法及估计一个（无理）数的大小的思平方根和算术平方根的联系与区别

想，

解决办法 小组合作交流

教学策略 引导学生充分进行交流，讨论与探索，培养他们的合作与钻研精神

教学资源 教参和书

板书设计 平方根

1.归纳： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a.

例1 求下列各数的算术平方根：

（1）100；(2)1；(3)6449；(4)0.0001

1 平 方 根 表（一）

一、教学目标

1．使学生了解平方根表的构造。

2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。

3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。

4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。

二、教学重点和难点

1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。

2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。

三、教学过程

由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。我们看下面的计算：

由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以得以更为精确的的近似值。用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值，但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。

我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。表中间最头 2 部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。

这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。我们下面就来具体看看如何查一个数的平方根。