平方根(1)

第3章 实数

3.1 平方根

第1课时 平方根、算术平方根

1．能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根．

2．理解开方与乘方两者之间的联系与区别．

3．认识非负数的平方根特点．

自学指导：阅读课本P105-118，完成下列问题.

知识探究

1、算一算：

23=9， 25=25， 212=14， 245=1625

2.平方根：如果有一个数r，使得2r=a，那么我们把r 叫作a的一个平方根，

2ra，所以a的平方根有且只有两个： r与-r

算术平方根： 把a的 正平方根 叫作a的算术平方根。

3.正数a的平方根表示为

a

；算术平方根表示为

a

；

负平方根表示为 a 。

如“５”的平方根记作 5

；

算术平方根记作 5 ；负平方根记作 5 。

4、一个正数的两个平方根的关系是 互为相反数

5、由于200，所以零的平方根是 0 ，零的算术平方根是 0 ，记作 0

6、2？＝－８ 2?＝－２５ 因此 负数

没有平方根。

7、22= 4 ， 4= 2 ，所以开平方与平方互为

逆 运算。

自学反馈

(1)25的算术平方根是5，3是9的算术平方根，16的算术平方根是2

(2)切一块面积为16 cm2的正方形钢板，它的边长是多少？

解：4 cm.

(3)3表示3的算术平方根；如果-x2有平方根，那么x的值为0.

(4)一个数的算术平方根是a，则比这个数大8的数是(D)

A.a＋8 B.a-4 C.a2-8 D.a2＋8

(5)若81=9，那么0.0081=0.18，810000=900.

课堂教学设计

日期：2012 年 月 . 日

设计要素 设 计 内 容

教学内容分析 本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

学

目

标 知识与

技能 1.理解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根；

2．能用平方运算，求某些非负数的算术平方根；了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根

3．在解决实际问题中，能用计算器求一个非负数的算术平方根

过程与

方法 采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？

情感态度价值观 1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。

2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。

学情分析 2

教

学

分

析 教学重点 算术平方根的概念，夹值法及估计一个（无理）数的大小。平方根的概念和求数的平方根。

教学难点 难点 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根，夹值法及估计一个（无理）数的大小的思平方根和算术平方根的联系与区别

想，

解决办法 小组合作交流

教学策略 引导学生充分进行交流，讨论与探索，培养他们的合作与钻研精神

教学资源 教参和书

板书设计 平方根

1.归纳： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a.

例1 求下列各数的算术平方根：

（1）100；(2)1；(3)6449；(4)0.0001

1 平 方 根 表（一）

一、教学目标

1．使学生了解平方根表的构造。

2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。

3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。

4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。

二、教学重点和难点

1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。

2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。

三、教学过程

由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。我们看下面的计算：

由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以得以更为精确的的近似值。用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值，但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。

我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。表中间最头 2 部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。

这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。我们下面就来具体看看如何查一个数的平方根。

根号1和1的平方根

根号1和1的平方根，看似简单的数学概念，却蕴含着深刻的数学思想和哲学意义。

根号1。我们知道，1的平方等于1，因此1的平方根就是1。而根号1也等于1。这两个数学概念看似相同，但却有着不同的含义。根号1是一个数学符号，表示求1的平方根，而1的平方根则是一个具体的数值，即1本身。这告诉我们，在数学中，符号和具体数值是有区别的，符号是一种抽象的概念，可以代表不同的数值。

1的平方根。1的平方根是一个特殊的数，它既是正数又是负数。这是因为在数学中，平方根有两个解，一个是正数解，一个是负数解。因此，1的平方根既可以是1，也可以是-1。这告诉我们，在数学中，同一个问题可能有多个解，需要根据具体情况选择合适的解。

除此之外，根号1和1的平方根还有着深刻的哲学意义。根号1可以看作是对单一事物的探究，而1的平方根则是对事物的多元化认识。在现实生活中，我们也需要对事物进行多方面的认识和探究，才能更好地理解和应对复杂的问题。

根号1和1的平方根虽然看似简单，但却蕴含着深刻的数学思想和哲学意义。它们告诉我们，在数学和生活中，符号和具体数值、单一认识和多元化认识都是重要的概念，需要我们认真思考和探究。