2016年贵州省高中数学联赛预赛答 案一. 选择题（每小题5分，共30分）： 1～6：,,,,,C D B A B D二. 填空题（每小题8分，共64分） 7. 27 ； 8.22564 ； 9. 15(,)()88k k k Z ++∈ ； 10.；11. 16π ； 12. 2π- ； 13. 267 ； 14. 2019 .三. 解答题（共56分）：15.（16分）在正项数列{}n a 中，14,a =其前n 项和n S 满足+12+ n n S S n =.令121(32)n n n b n a -+=-.证明：对于任意*n N ∈,均有215.12ni i b =<∑的值.16. （20分）已知实数,x y 满足112244x y x y +++=+.求88x y M =+的取值范围. (]8,1617. （20分）已知椭圆22:12x C y +=，M 是圆223x y +=上任一点，,MA MB 分别与曲线C 切于点,A B .求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）. 23⎡⎢⎣⎦参 考 答 案一、选择题 1. 选C222222592AC AB BCAC AB BC AB BC BC BC =+∴=++⋅⇒=+-⇒=2. 选D42,1()2,13,24,3x x x x e x f x e x x e x ⎧-+<⎪=+≤≤⎨⎪-+>⎩所以1x ≥时，()f x 为增函数，又1x <时，()2x f x e '=-，由()0ln 2f x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0f x '<，ln 21x <<时，()0f x '>。
所以()f x 在(],ln 2-∞上为减函数，在[)ln 2,+∞上为增函数. 因此，min ()(ln 2)42ln 226ln 4f x f ==-+=-.3. 选BMN 的最小值即异面直线AB 与CD 的距离.在四面体ABCD 中，设E 为CD 中点，连接,AE BE ,则,AE CD BE CD CD ABE ⊥⊥⇒⊥面，又在ABE ∆中，作EF AB ⊥于F ，则EF 即为异面直线AB 与CD 的距离.易求EF =4. 选A分别作点(34)A -，关于y 轴对称的点1(3,4)A 和直线0x y +=对称的点2(4,3)A -，连接12A A 分别交y 轴和直线0x y +=于点,B C ，则ABC ∆周长的最小值即为12A A的长5. 选B设正三角形ABC 三个顶点到平面α的距离分别为,,a b c ，由题意得222222()2()()3c a b a c b -+=-+=-+，令2222412,,3,,49,1,,, 2.x y x c a x y b a x z y z c b y z x z ⎧+=+=-=⎧⎧⎪⎪⎪=-⇒+=+⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪=-+==⎩⎩⎩所以正三角形ABC6. 选D由222222220161009100710092016110071007C B A B C A A +=⇒-=, 令0,0C Bx y A A=>=>则2211007100720161009x y -=，显然双曲线2211007100720161009x y -=与直线1x y +=在第一象限的图像有交点，即1,1,1x y x y x y +>+=+<都有解，所以,,B C A B C A B C A +>+=+<都有可能，又A B C π++=，所以角A 取锐角、直角、钝角均有可能. 二、填空题7. 27.119119191043636363636369a b a b a b a b b a +⎛⎫+=+=+++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当93636a bb a=时，上式取“=”，又由936a b +=，得3,927a b ab ==⇒=. 8.225.6433933331823212(1),(2),(3)886488648864p p p ξξξ⨯⨯+⨯⨯⨯=========⨯⨯⨯， 33923212224(4),(6),(9)886488648864p p p ξξξ⨯⨯⨯⨯=========⨯⨯⨯. 91812912422512346964646464646464E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. . [][][][][][][]22221()0102x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+=-⇒+-=⇒+-=⇒== ⎪⎝⎭]x x ∴=，当[]1x =时，x =，满足题意，当[]2,3,4x =⋅⋅⋅时，[]1x x -≥，不合题意. 故12x +=10. 15(,)()88k k k Z ++∈()f x x x =在(,)-∞+∞上是增函数，由sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ>得515sin 2cos 2222()4488x x k x k k x k k Z πππππππ>⇒+<<+⇒+<<+∈. 11. 16.π设ABC ∆外接圆半径为r ，则r =由题意知，四面体ABCD，而4ABC S ∆=,所以点D 到面ABC 的距离的最大值为3，易知，点D 即为与面ABC 垂直的球的直径的端点，由有关球的知识，得22222(3)3962=16r R R R R R R S π+-=⇒+-+=⇒=⇒球 12. 2.π-由2222221,1,(+y 1)(1)01, 1.x y x y x x y x y x y ⎧⎧+≥+≤⎪⎪-+-≤⇒⎨⎨+≤+≥⎪⎪⎩⎩或故点集对应的区域的面积为单位圆面积减去内接正方形的面积2π-.13.26.7{}{},n n a b 为等差数列，且前n 项和539n n A n B n -=+.所以设(53),(9)n n A kn n B kn n =-=+. 故665633236(563)5(553)52,263(39)2(29)14.7a A A k k k ab B B k k k b =-=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-==-=⋅⋅+-⋅⋅+=⇒=14. 2019.由()2017(2017)(12016)(1)2016f x f x f x f x +≤+=++≤++ 所以(1)() 1.............................(1)f x f x +≥+ 又()2016(2016)(20151)(2015)1(20141)1(2014)2(1)2015f x f x f x f x f x f x f x +≥+=++≥++=+++≥++≥⋅⋅⋅≥++所以(1)() 1........................(2)f x f x +≤+由（1）、（2）得120181(1)()11(20181)12019n n f x f x a a a a ++=+⇒-=⇒=+-⋅=. 三、解答题15. 解：112,21(2)n n n n S S n S S n n +-=+∴=+-≥，两式相减得：121(2)n n a a n +=+≥ 所以2111212(1)1(1)2221(2)n n n n n n n a a a a a n ---+-=-⇒-=-⋅=⇒=+≥.所以1,1,21, 2.32n n b n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩当1n =时，215412n b =<；当2n ≥时，221222111*********(34)(31)433431111111151154331432311233112nn n n i i i i i b i i i i i n n n ====⎛⎫⎛⎫=+<+=+- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+=+-=-⋅< ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑因此，对任意*n N ∈，均有21512ni i b =<∑. 16.解：由112244x y x y +++=+，得22(21)(21)2x y -+-=，令2,2x y a b ==，则22(1)(1)2a b -+-=，又令t a b =+，则(]2,4t ∈，且222t tab -=，33222321()()()()332M a b a b a ab b a b a b ab t t ⎡⎤=+=+-+=++-=-+⎣⎦ 所以2336(4)022M t t t t '=-+=--≥，即3212M t t =+（(]2,4t ∈）为增函数，所以(]8,16M ∈.17. 解：设001122(,),(,),(,)M x y A x y B x y ，则1212:1,:122x x x xMA y y MB y y +=+=， 且22003x y +=.由001122(,),(,),(,)M x y A x y B x y ，得10100020201,2:121,2x x y y x x AB y y x x y y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩. 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，得222000(3)4440y x x x y +--+=所以2200012122220004441),333x y y x x x x AB y y y -++==⇒=+++ 又原点O 到AB的距离d ==，所以0122OABS AB d ∆=⋅=，令[]2121,222223OAB t t S t t t∆⎡=⇒=⋅=⋅∈⎢+⎣⎦+。
