目录2004年福建省高中数学预赛试题 (2)2005年福建省高中数学预赛试题 (4)2006年福建省高中数学预赛试题 (6)2007年福建省高中数学预赛试题 (8)2008年福建省高中数学预赛试题 (10)2009年福建省高中数学预赛试题 (12)2010年福建省高中数学预赛试题 (14)2011年福建省高中数学预赛试题 (15)2012年福建省高中数学预赛试题 (17)2004年福建省高中数学预赛试题2004.9.12.8:00 —10:30一、选择题（本题满分24分,每小题4分）1．已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,点(x,y)与原点的距离是( ) A .3√54 B .4516C．3√24 D．982．设双曲线x2a−y2b=1的离心率e∈�2√33,2�,则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是( ) A. �π6,π3�B．�π6,π2� C．�π3,π2� D．�π3,2π3�3．正四面体的4个面分别写着1,2,3,4，将4个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是( )A．18 B．964 C．116 D. 13164．甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打12局,乙共打21局,而丙共当裁判8局.那么整个比赛的第10局的输方（）A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．不能确定5．曲线x2+y2−ay=0与ax2+bxy+x=0有且只有3个不同的公共点,那么必有（）A．(a4+4ab+4)(ab+1)=0B．(a4−4ab−4)(ab+1)=0C．(a4+4ab+4)(ab−1)=0D．(a4−4ab−4)(ab−1)=06．两个周期函数y1,y2的最小正周期分别为a,b,且b=na(n≥2,n为整数).如果函数y3=y1+y2的最小正周期为t . 那么五种情形："t<a","t=a","a<t<b","t=b","t>b"中,不可能出现的情形的个数是（）A. 1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题满分36分,每小题6分）7．已知log a x=24,log b x=40,log aba x=12.那么log a x=________________. 8．设f(x)=(x2−8x+c1)(x2−8x+c2)(x2−8x+c3)(x2−8x+c4).M={x|f(x)=0}.已知M={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}⊆N.那么max{x1,x2,x3,x4}−min{x1,x2,x3,x4}=__________.9．如果实数x,y满足3x+2y−1≥0,那么u=x2+y2+6x−2y的最小值是_______. 10．不等式组sin x>cos x>tan x>cot x在(0,2π)中的解集(用区间表示)是___________. 11．四面体ABCC中,AB=CC=a,BC=AC=b,CA=BC=c.如果异面直线AB与CD所成的角为θ, 那么cosθ=___________.12．设a,b,x∈N∗,a≤b.X为关于x的不等式lg b−lg a<lg x<lg b+lg a的解集.已知card (X)= 50 . 当ab取最大可能值时,√a+b=_________.三、解答题（本题90分.共4个小题.第13,14,15题各20分，第16题30分）13.求函数f(x)=|sin x+cos x+tan x+cot x+sec x+csc x|的最小值.其中sec x=1cosx,csc x=1sinx.14.椭圆x2+4y2=8中,AB是长为52的动弦.O为坐标原点.求△AOB面积的取值范围.15.无穷数列{x n}中(n≥1)，对每个奇数n，x n,x n+1,x n+2成等比数列，而对每个偶数n,x n,x n+1,x n+2成等差数列.已知x1=a,x2=b.(1)求数列的通项公式.实数a,b满足怎样的充要条件时,存在这样的无穷数列?(2)求x2,x4,⋯,x2n,的调和平均值,即n∑12k n k=1的值.16．(1)给定正整数n≥5,集合A n={1,2,⋯,n}.是否存在一一映射ϕ:A n→A n满足条件：对一切k(1≤k≤n−1),都有k|ϕ(1)+ϕ(2)+⋯+ϕ(k)?(2)N∗为全体正整数的集合,是否存在一一映射ϕ:N∗→N∗满足条件：对一切k∈N∗,都有k|ϕ(1)+ϕ(2)+⋯+ϕ(k)?证明你的结论.注:映射ϕ:A→B称为一一映射,如果对任意b∈B,有且只有一个a∈A使得ϕ(a)=b.题中“|”为整除符号.2005年福建省高中数学预赛试题考试时间：2005年9月11日上午8：00～10：30一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x∈�−π2,π2�,f(tan x)=sin2x，则f(2sin x)的最大值为（）A 0B 12C √22D 12、实数列{a n}定义为a n=a n2−a n−1+2a na n−1+1,n=2,3,⋯,a1=1,a9=7,则a5的值为（）A 3B −4C 3或−4D 83、正四面体ABCC的棱长为1，E是△ABC内一点，点E到边AB,BC,CA的距离之和为x，点E到平面CAB,CBC,CCA的距离之和为y，则x2+y2等于（）A 1B √62C 53D 7124、数列x1,x2,⋯,x100满足如下条件：对于k=1,2,⋯,100,x k比其余99个数的和小k，已知x50=m n，m,n是互质的正整数，则m+n等于（）A 50B 100C 165D 1735、若sin x+sin y=√22,cos x+cos y=√62，则sin (x+y)等于（）A √22B √32C √62D 16、P为椭圆x216+y29=1在第一象限上的动点，过点P引圆x2+y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N，则S△MMM的最小值为（）A 92B 92√3C 274D 274√3二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数x,y,z满足x2+2y=7,y2+4z=−7,z2+6x=−14,则x2+y2+ z2=______________.8、设S是集合{1,2,⋯,15}的一个非空子集，若正整数n满足：n∈S,n+|S|∈S，则称n是子集S的模范数，这里|S|表示集合S中元素的个数。
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ）A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，，2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）A． B ．2 CD3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3 D ．134．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，，，，（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]13，B ．(13)，C ．(3)+∞，D ．[)3+∞，5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。
则在该四面体表面上与点A距离为 ）A． B． C．2 D．26．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ）A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。
8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225(3)(1)4x y -+-=的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8： 30- 11: 00）、选择题（每小题6分，共36 分） 1 .若集合Ax x 2x 12 0,Bx x 10 x 1,Cx xA 且xB ，则集合C （）A . 3, 1 1 ,4B . 3, 1 1,4C .3, 11,4D .3, 11 ,4【答案】 D【解答】 依题意, Ax x 2 x 12 03,4 , Bx x 1 0 (1,1)。
x 1由x A , 知 3x4 ; x B ,知x 1或 x 1。
所以，3x1或1 x 4,即C 3, 1 1,4 。
2.已知直线h :(m 2)x3my 1 0与直线 J : (m 2)x (m 2)y4 0 ( m 0) 相互垂直，垂足为 P , O 为坐标原点，则线段OP 的长为（)A . 75B.2C .D .近【答案】 D【解答】如图，取AC 中点O , PC 中点D ,连结OP , OB , OD ,DB 。
不妨设AB 2，则由条件知，PA PC 2 , AC ^ 2 。
角A PC B 的余弦值为()A .2B .C.'D.-3333【答案】 B【解军答1由1 12 知,(m 2) (m2) (m 2) 3m 0 ,结合m 0，得m 23m c 10 , m — o211方程 为 5—x 3 -y1 0 ,即5x3y 32 0 ; I 2方程为：—x5 -y 4 0，即2 22 23x 5y80。
由 5x 3y 2 0 得x 1 。
因此，P( 1 ,1），线段OP 长为、2。
3x 5y 8 0y 1△ PAB , △ PBC 均为等边三角形，且 ABBC 。
则二面3.如图，在三棱锥P ABC 中, P1PA PC , OP -AC 2 OC 。
2••• OD PC 。
又 BD PC ，故 BDO 是二面角 A PC B 的平面角。
在厶 BOD 中，由 OB 2 , OD 1, BD . 3 ,得 BOD 90 , cos BDO °D3。
2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.若函数f(x)=3cos(wx +π6)−sin(wx −π3)(ω>0) 的最小正周期为π，则f (x )在区间[0，π2]上的最大值为________.2.已知集合A={x|x 2−3x +2≤0}，B ={x|1x−3<a}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.3.函数f (x ) =x 2ln x +x 2-2零点的个数为________.4.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角B -A 1C -D 的大小为________.5.在空间四边形 ABCD 中，AB =2，BC =3，CD =4，DA =5.则AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =________.6.已知直线l 过椭圆C ：x 22+y 2=1 的左焦点F 且与椭圆C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点.若OA ⊥OB ，则点O 到直线AB 的距离为________.7.已知z ∈C .若关于x 的方程x 2−2zx +34+i =0(i 为虚数单位)有实数根，则|z| 的最小值为________.8.把16本相同的书全部分给4名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为__________.（用数字作答）9.设f (x )为定义在R 上的函数，若f (0)=1008，且对任意的x ∈R ，满足f (x +4)-f (x )≤2(x +1)，f (x +12)-f (x )≥6(x +5).则f(2016)2016= _________.10.当x、y、z为正数时，4xz+yz222的最大值为________.二、解答题nn项和S n=2a n-2(n∈Z+).（1）求通项公式a n；（2）设b n=1an −1n(n+1)，T n为数列｛b n｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有T4≥T n；（3）设c n=a n+1(1+a n)(1+a n+1)，R n为数列{c n}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有R n<λ，求λ的最小值.12.已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).（1）若曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=x，求a、b的值；（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.13.如图，⊙O为△ABC的外接圆，DA为⊙O的切线，且∠DBA=∠ABC，E为DB与⊙O的另一交点，点F在⊙O上，且BF∥EC，G为CF的延长线与DA的交点.证明：AG=AD.14.如图，F1、F2为双曲线C：x 24−y2=1的左、右焦点，动点P(x0，y0)(y0≥1)在双曲线C 的右支上.设∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m，0)、N.（1）求m的取值范围；（2）设过点F1、N的直线l与双曲线C交于D、E两点，求△F2DE面积的最大值.15.若将集合A={1，2，…，n}任意划分为63个两两不相交的子集(它们非空且并集为A)A1，A2，…，A63，则总存在两个正整数x、y属于同一个子集A1(1≤i≤63)，且x>y，31x≤32y.求满足条件的最小正整数n.参考答案1.2√3【解析】1. 注意到，f(x)=3cos(wx +π6)−sin(wx −π3) =3cos(wx +π6)−sin(wx +π6−π2)=3cos(wx +π6)+cos(wx +π6) =4cos(wx +π6)，且f (x )的最小正周期为π. 则ω=2，f(x)=4cos(2x +π6).又x∈[0，π2]时，π6π≤2x +π6≤7π6. 故当2x +π6=，即x =0时，f (x )在区间[0，π2]上取最大值2√3.2.(−12，+∞)【解析】2. 易知，A ={x |1≤x ≤2}.当x ∈A 时，1x−3∈[−1，−12]. 故a >−12.从而，a 的取值范围是(−12，+∞).3.1【解析】3.由条件知f ′(x)=2xlnx +x +2x =x(2lnx +3). 当0<x <e −32时，f ′(x)<0；当x>e−32时，f ′(x)>0.于是，f (x )在区间(0，−32)上为减函数，在区间(−32，+∞)上为增函数. 又0<x <e−32时，lnx +1<−32+1=−12<0 f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，f(e−32)=e −3(−32+1)−2<0，f(e)=2e 2−2>0故函数f (x )零点的个数为1. 4.120°【解析】4. 设正方体棱长为1.如图4，作BE ⊥A 1C 于点E ，联结DE .由正方体的性质知△A 1DC ≌△A 1BC .则DE ⊥A 1C ，∠BED 为二面角B -A 1C -D 的平面角，且BE =DE =√23BD =√2.故cos∠BED =23+23−22×√2√3×√2√3=−12⇒二面角B -A 1C -D 的大小为120°.5.7【解析】5.以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底向量. 则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⇒25=4+9+16+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2.故AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+9=7.6.√63.【解析】6.易知，F (-1，0).设l AB ：x =ty -1. {x =ty −1，x 22+y 2=1⇒(t 2+2)y 2-2ty -1=0. ①注意到，式①的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则y 1+y 2=2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2. 由OA ⊥OB ，得x 1x 2+y 1y 2=(ty 1−1)(ty 2−1)+y 1y 2=（t 2+1）y 1y 2−t （y 1+y 2）+1=−(t 2+1)−t ·2t +1=0⇒ -(t 2+1)-2t 2+t 2+2=0⇒t 2=12.故点O 到直线AB 的距离为√1+t =√637.1.【解析】7.设z =a +bi >i (a 、b ∈R )，x =x 0为原方程的一个实根. 则x 02+2(a +bi)x 0+34+i =0⇒{x 02−2ax 0+34=0，−2bx 0+1=0 ⇒x 0=12b，a =3b 2+14b⇒|z|2=a 2+b 2=(3b 2+14b)2+b 2=2516b 2+116b2+38≥58+38=1，当且仅当b =±√55时，上式等号成立.从而，|z |的最小值为1. 8.216.【解析】8.将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式： 16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7， 16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7， 16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9A 44=216. 9.504.【解析】9. 由条件知f (x +12)-f (x ) =(f (x +12)-f (x +8))+(f (x +8)-f (x +4))+(f (x +4)-f (x )) ≤2((x +8)+1)+2((x +4)+1)+2(x +1) =6x +30-6(x +5). 又f (x +12)-f (x )≥6(x +5)，于是，f (x +12)-f (x )=6(x +5). 则f (2016)=∑(f(12k +12)−f(12k))+f(0)167k=0 =6∑(12k +5)+167k=01008=6×(2009+5)×1682+1008=1008×1008.故f(2016)2016=10082=504.10.√172.【解析】10. 注意到， （1）x 2+1617z 2≥2√1617xz ，当且仅当x =√17时，等号成立； （2）y 2+117z 2≥2√117yz ，当且仅当x =√17时，等号成立.则x 2+y 2+z 2=(x 2+1617z 2)+(y 2+116z 2)≥2√1617xz +2√117yz=√17−yz) ⇒4xz+yz x 2+y 2+z2≤√172.当且仅当x ：y ：z =4：1：√17时，上式等号成立. 从而，4xz+yzx 2+y 2+z2的最大值为√172. 11.(1) a n =2n .(2) k =4.(3) 23【解析】11.（1）由S n =2a n -2，得5n +1=2n +1-2. 两式相减得a n +1=2a n +1-2a n ⇒a n +1=2a n . 于是，{a n }为等比数列，公比q =2. 由S 1=2a 1-2⇒ a 1=2a l -2⇒a 1=2. 从而，a n =2n . （2）由（1）知b n =12n −1n(n+1)=1n(n+1)(n(n+1)2n−1). 计算知b 1=0，b 2>0，b 3>0，b 4>0. 当n ≥5时，由n(n+1)2n −(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n−2)2n+1>0， 知当n ≥5时，{n(n+1)2}为递减数列. 于是，n ≥5时，n(n+1)2n≤5(5+1)25<1. 则n ≥5时，b n=1n(n+1)(n(n+1)2n−1)<0.故T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>….从而，对任意的n ∈Z +，均有T 4≥T n .因此，k =4. （3）由（1）知c n =a n+1(1+a n )(1+a n+1) =2n+1(1+2)(1+2)=2(12+1−12+1)⇒R n =2∑(12k +1−12k+1+1)nk=1=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1又对任意的n ∈Z +，均有R n <λ，知A ≥23.从而，λ的最小值为23.12.(1) a =-1，b =2. (2) e2【解析】12.（1）由已知得f ′(x)=aax+b +2x .依题意有{f ′(1)=aa+b +2=1，f(1)=ln(a +b)+1=1⇒a =-1，b =2.（2）设g (x )=f (x )-(x 2+x ).则g (x )=ln (ax +b )-x ≤0. 当a <0时，g (x )的定义域为(-∞，−ba )取x 0使得ln (a x 0+b )=−ba+1，则x 0=e −ba +1−ba<−b a故g (x 0)=ln (a x 0+b )-x 0>ln (ax 0+b )-(−b a) =(−b a+1)+b a=1>0.于是，当a <0时，g (x )≤0不恒成立，即a <0不符合要求. 当a >0时，g ′(x)=aax+b−1=−a(x−a−b a)ax+b注意到，ax +b >0，若−ba<x <a−ba，则g ′(x)>0；若x >a−ba，则g ′(x)<0.于是，g (x )在区间(−b a，a−b a )上为增函数，在区间(a−b a，+∞)上为减函数.从而，g (x )在其定义域(−b a，+∞)上有最值g (a−ba).由g (x )≤0⇒g(a−b a)=lna −a−b a≤0⇒b ≤a −alna ⇒ab ≤a 2−a 2lna设h (a )=a 2-a 2lna .则ℎ′(a)=2a -(2alna +a ) =a (1-2lna ). 当0<a <√e 时，寸，ℎ′(a)>0； 当a >√e 时，ℎ′(a)<0.于是，h (a )在区间(0，√e )上为增函数，在区间(√e ，+∞)上为减函数. 从而h (a )的最大值为ℎ(√e)=e −e 2=e2.故当a =√e ，b =√e2时，ab 取最大值e2.综上，ab 的最大值为e2. 13.见解析【解析】13.在△ABC 、△ABD 中，由DA 为⊙O 的切线，知∠BAD =∠BAC . 又∠DBA ∠ABC ，于是∠ADB =∠CAB .因为A 、B 、E 、C 四点共圆，所以，∠CAB +∠CEB =180°⇒∠ADE +∠DEC =180°⇒EC ∥DA .又BF ∥EC ⇒EC ∥BF ∥DG .由EC 、BF 为⊙O 的两条平行弦知CF =EB . 于是，GC =DE ，GF =DB . 又GA 2=GF ·GC ，DA 2=DB ·DE ⇒GA 2=DA 2，AG =AD .14.(1) (0，√2]. (2) 4√30【解析】14.（1）依题意有F 1(-√5，0)，F 2(√5，0). 则l PF 1：y =0x 0+5+√5)⇒y 0x −(x 0+√5)y +√5y 0=0， l PF 2：y =0x 0−5−√5)⇒y 0x −(x 0−√5)y −√5y 0=0.由点M 在∠F 1PF 2的平分线上知0√5y 0√y 02+(x 0+√5)2=0√5y 0√y 02+(x 0−√5)2.由−√5<m <√5，y 0≥1及y 02=14x 02−1 ⇒x 0≥2√2.则y 02+(x 0+√5)2=54x 02+2√5x 0+4=(√52x 0+2)2， =y 02+(x 0−√5)2=(√52x 0−2)2.故√552x 0=√5−m 52x 0⇒m =4x 0.结合x 0≥2√2⇒0<4x≤√2.从而，m 的取值范围是(0，√2]. （2）由（1）知l PM:y =y 0−0x 0−4x(x 0−4x). 令x =0 ⇒y =−4y 0x 02−4=−1y 0.故点N(0，−1y 0).由k 1=0−(−1y 0)−5−0=5y 0⇒l:y =−√5y (x +√5).与双曲线方程联立消去x 得(5y 02−4)y 2+10y 0y +1=0 ①⇒Δ=100y 02−4(5y 02−4)=80y 02+16>0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2). 1 则y 1+y 2=−10y5y 02−4，y 1y 2=15y 02−4⇒|y 1−y 2|=√1212=√(−10y 05y 02−4)2−4×15y 02−4=4√5y 02+1|5y 02−4|.由y 0≥1，知S △F 2DE=12|F 1F 2||y 1−y 2|=12×2√5×4√5y 02+15y 02−4. 设5y 02−4=t .于是，t ≥1.故S △F 2DE =4√5×√t+5t =4√5×√5(1t +110)2−120.当t =1，即点P (2√2，1)时，△F 2DE 面积取最大值4√30 . 从而，△F 2DE 面积的最大值为4√30. 15.2016【解析】15.考虑模63的剩余类，即将集合A 划分为如下63个两两不相交的子集： A i ={a |a =63k +i ，k ∈N }(i =1，2，…，63).于是，对每个A i (1≤i ≤63)及任意的x 、y ∈A i (x >y )，均有x -y ≥63. 则y ≤x -63，x ≤n ⇒ 32y -31≤32(x -63)-31x =x -32×63≤n -20。
