第六讲幂级数

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第十一章 无穷级数

教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅,.

里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

教学难点：

1、 比较判别法的极限形式；

2、 莱布尼茨判别法；

3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、 函数项级数的收敛域及和函数；

5、 泰勒级数；

6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念 ,.

常数项级数 给定一个数列

高等数学教案 §11 无穷级数

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十一章 无穷级数

教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式；

6、傅里叶级数。

教学难点：

1、 比较判别法的极限形式；

2、 莱布尼茨判别法；

3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

(完整版)第六章无穷级数

1 第六章 无穷级数

学习目的和要求

学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件,几何级数、 p级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法;掌握幂级数的概念和运算，熟悉常用函数 的幂级数展开式，并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛区域．

第一节 常数项级数

1．常数项级数的定义

设已给数列 则式子

或其简写 叫做无穷级数,记前 无限增大时，若数列 具有有限的极限S。

则称无穷级数收敛,其极限值S称为级数的和,并记为

若 没有极限，就称无穷级数发散。

例如：几何级数 则

当

(完整版)第六章无穷级数

2

无极限。

从而可得如下结论：若几何级数的公式比 时,则级数

收敛．若 ，则此级数发散.

2．无穷级数的基本性质

(1） 若级数 ，则每一项乘以一个不为零的常数

（2) 设有两个收敛级数：

则级数

收敛于和

(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化．

（4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S．

要求读者了解上述基本性质的证明,并熟练运用上述诸性质．

（5）常数项级数收敛的必要条件：若级数 趋于无穷大时，它的一般项

必趋近于零． (完整版)第六章无穷级数

3 因而若级数的一般项不趋于零,则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛．

例如：调和级数

其一般项 但它是发散的.

（6）级数

称为 级数收敛。

1 第六章 无穷级数

学习目的和要求

学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数、 p级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法；掌握幂级数的概念和运算，熟悉常用函数 的幂级数展开式，并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛区域．

第一节 常数项级数

1．常数项级数的定义

设已给数列 则式子

或其简写 叫做无穷级数,记前 无限增大时，若数列 具有有限的极限S.

则称无穷级数收敛，其极限值S称为级数的和，并记为

若 没有极限，就称无穷级数发散.

例如：几何级数 则

当 2

无极限.

从而可得如下结论：若几何级数的公式比 时，则级数

收敛．若 ，则此级数发散.

2．无穷级数的基本性质

(1) 若级数 ，则每一项乘以一个不为零的常数

(2) 设有两个收敛级数：

则级数

收敛于和

(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化．

(4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S．

要求读者了解上述基本性质的证明，并熟练运用上述诸性质． 3 (5)常数项级数收敛的必要条件：若级数 趋于无穷大时，它的一般项 必趋近于零．

因而若级数的一般项不趋于零，则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛．

例如：调和级数

其一般项 但它是发散的.

(6)级数

称为 级数收敛。

3．正项级数收敛的判别法(要求读者能熟练使用下列判别法)

若级数的每一项均为正数(即 )则称为正项级数，有如下收敛判别法：

(1)比较判别法 设有两个正项级数 若级数

也发散．

(2)比值判别法 设正项级数的后项与前项之比值的极限等于 ，

4 则当 <1时级数收敛， >1时级数发散， =1时待定．