2020中考数学专题汇编 一元二次方程 含解析

一元二次方程

一、选择题

1．（2020湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关

【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．

【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．

2．（2020·铜仁）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）

A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6

{答案}B {解析}有两种情况：①m、n中有一个的值为4，即4是方程的一个解，所以16－24＋k＋2=0，解得k=6；②m=n≠4，即方程有两个相等的实数根，所以36－4（k+2）=0，解得k=7。因此本题选B．

3．（2020·黔西南州）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1

{答案}D

{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b2－4ac≥0时，方程有实数根．因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综上所述，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．

4．（2020·新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）

A．2104xx B．2240xx C．220xx D．220xx

{答案}D{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项中方程的根的判别式b2－4ac的值，若b2－4ac＞0，则一元二次方程有两个不相等的实数根．在方程x2－2x＝0中，因为a＝1，b＝－2，c＝0，所以b2－4ac＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，所以有两个不相等的实数根，因此本题选D．

5．（2020·遵义）已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则x21＋x22的值为（ ）

A．5 B．10 C．11 D．13

{答案}D{解析}本题考查一元二次方程根与系数的关系．∵x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝－2，∴x21＋x22＝（x1＋x2）2－2 x1·x2＝9＋4＝13． 故选D.

6．（2020·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）

A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3

{答案}A{解析}根据一元二次方程根与系数的关系“12bxxa”求解．

设x1＝2，另一个根为x2，则2+ x2＝﹣5，解得X2＝﹣7．

7．（2020·安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）

A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x ＝3 D．x2﹣2x ＝0

{答案}A

{解析}逐项分析如下：

选项 逐项分析 方程实数根数

A 方程可转化为(x－1)2＝0，故x1＝x2＝1. 两个相等的实数根，符合题意

B 方程可转化为x2＝－1＜0. 无实数解

C 方程可转化为x2－2x－3＝0，△＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0. 两个不相等的实数根

D 方程可转化为x(x－2)＝0，故x1＝0，x2＝2. 两个不相等的实数根

8．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（ ）

A．(x－43)2＝1617 B．(x－43)2＝21C．(x－23)2＝413 D．(x－23)2＝411 {答案}A{解析}由2x2－3x－1＝0，得2x2－3x＝1，∴x2－23x＝21，x2－23x＋(43)2＝21＋(43)2，∴(x－43)2＝1617．本题中“23x”即完全平方式“a2－2ab＋b2”中的“2ab”，确定b值是完成配方的关键．

9．（2020·河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( )

A. 5000(12)7500x B. 5 000×2(1+x)=7 500

C. 25000(1)7500x D. 250005000(1)5000(1)7500xx

{答案}C{解析}2017年的快递业务收入为5000亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则2018年的快递业务收入为5000（1+x）亿元， 2019年的快递业务收入是在2018年的基础上增加的，∴2019年的快递业务收入为5000(1+x)＝5000(1+x) (1+x)，即用 5000(1+x)2表示，∴可列方程是25000(1)7500x．

10．（2020·黑龙江龙东）已知2+√3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（ ）

A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1

{答案} B{解析}本题考查了一元二次方程解的概念，将实数根代入原方程，解：根据题意，得（2+√3）2﹣4×（2+√3）+m＝0，解得m＝1；故选：B．

11．(2020自贡)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（ ）

A．12 B．−12 C．1 D．﹣1

{答案} A．

{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，同时要考虑二次项系数不为零，解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴{a≠0△=(−2)2−4×a×2=0，∴a=12．

因此本题选A．

12．（2020·南京）关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论正确的是( )

A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根

{答案}C

{解析}【解析】化简方程，得：x2＋x－2－p2＝0，根据的判别式△＝12－4×1×(－2－p2)＝1＋8＋4p2＝9＋4p2＞0，故该方程有两个不相等实数根.

13．（2020·菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为（ ）

A．3 B．4 C．3或4 D．7

{答案}C

{解析}结合一元二次方程的解及判别式，根据边长3是底边长还是腰长分类讨论求解，注意所得解需符合三角形的三边关系．①当3为等腰三角形的底边长时，两腰长为一元二次方程的两相等实根，则△＝(－4)2－4k＝0，解得k＝4，此时，两腰的和=x1+x2=4＞3，满足三角形三边的关系，∴k＝4；②当3为等腰三角形的腰长时，则x＝3为一元二次方程的一个解，把x＝3代入方程，得9－12＋k＝0，解得k＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x1=1，x2=3，因为1+3＞3，符合三角形的三边关系，所以k＝3．综上可知，k的值为3或4．

14．（2020·湖北荆州）定义新运算“ab”：对于任意实数a，b，都有1ababab，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4343431716.若xkx（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）

A. 有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D.没有实数根

{答案}C

{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方法．由定义新运算可得2210xxk，∴2221411540kk，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选C．

15．（2020·怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）

A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2

{答案}C

{解析}根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．

解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，

∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，

解得：k＝±4．

故选：C．

16.(2020·潍坊)关于x的一元二次方程2(3)10xkxk根的情况，下列说法正确的是（ ）

A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 无法确定

{答案}A{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式..一元二次方程20(0)axbxcabca、、是常数，中，若240bac，则方程有两个不相等的实数根；若240bac，则方程有两个相等的实数根；240bac，则方程没有实数根.显然△=2(3)4(1)kk=2225(1)40kkk.故选A.

17.(2020·潍坊)若221mm，则2483mm的值是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

{答案}D{解析}本题考查了整体数学思想.2483mm=24(2)34131mm.故选D.

18．（2020·营口）一元二次方程x2－5x+6＝0的解为（ ）

A．x1=2，x2=－3 B．x1=－2，x2=3 C．x1=－2，x2=－3 D．x1=2，x2=3

{答案}D{解析}对于x2－5x+6＝0，△=（－5）2－4×1×6=1，由求根公式可得x=(5)21=512，∴x1=2，x2=3是原方程的解．

19．（2020·滨州）对于任意实数k，关于x的方程221(5)22502xkxkk的根的情况为（ ）

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定

{答案}B

{解析}本题考查了根的判别式，221(5)22502xkxkk，△=[-（k+5）]2 -4×12×（k2+2k+25）=-k2+6k-25=-（k-3）2-16，不论k为何值，-（k-3）2≤0，即△=-（k-3）2-16＜0，所以方程没有实数根，因此本题选B．

20．（2020·临沂）一元二次方程2480xx的解是（ ）

A.1223x，2223x B.1223x，2223x

C.1222x，2222x D.123x，223x

{答案}B{解析}考虑到此一元二次方程是一般形式，直接套用公式比较简洁：22(4)(4)41(8)4223221bbacxa，所以1223x，2223x，选项B正确．

21. （2020·广州）直线yxa不经过第二象限，则关于x的方程2210axx实数解的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

{答案}D

{解析}本题考查了一次函数的性质、一元二次方程的根的判别式，由“yxa不经过第二象限”可得0a.当0a时，原方程即为210x，此时实数解只有1个；当0a时，此一元二次方程的根的判别式24440baca，此时方程有2个不相等的实数根．因此关于x的方程2210axx实数解的个数为1个或2个．因此本题选D．本题容易漏掉0a的情况．