统计学第六章参数估计

《统计学》 第六章 抽样与参数估计

1、某市劳动和社会保障局想调查下岗职工中女性所占的比重，随机抽取300个下岗职工，发现其中195个为女性职工。试以95.45%的概率保证程度，估计该市下岗职工中女性比重的区间范围。

解：

已知n=300,概率保证程度95.45%，Z0.0455/2 =2

P=300195=65%

区间范围Pn)1(2pp=0.65300)65.01(65.02=0.650.055

该市下岗职工中女性比重的区间范围为59.5%～70.5之间

2、某灯管厂生产10万只日光灯管，现采用简单随机重复抽样方式抽取1‰灯管进行质量检验，测试结果如下表所示：

耐用时间（小时） 灯管数（只）

800以下 10

800-900 15

900-1000 35

1000-1100 25

1100以上 15

合计 100

根据上述资料：

(1)试计算抽样总体灯管的平均耐用时间

(2)在99.73%的概率保证程度下，估计10万只灯管平均耐用时间的区间范围。

(3)按质量规定，凡耐用时间不及800小时的灯管为不合格品，试计算抽样总体灯管的合格率，并按95%的概率保证程度下，估计10万只灯管的合格率区间范围。

(4)若上述条件不变，只是抽样极限误差可放宽到40小时，在99.73%的概率保证程度下，作下一次抽样调查，需抽多少只灯管检验？

解：

耐用时间（小时） 灯管数（只）f 组中值x xf fxx2)(

800以下 10 750 7500 484000

800-900 15 850 12750 216000

900-1000 35 950 33250 14000

1000-1100 25 1050 26250 160000

1100以上 15 1150 17250 486000 合计 100 -

97000 1360000

（1）平均耐热时间x=fxf=10097000=970（小时）

第 8 讲 参数估计

本讲的主要内容

8.1 参数估计的一般问题

8.2 一个总体参数的区间估计

8.3 两个总体参数的区间估计

8.4 样本量的确定

学习目标

1. 估计量与估计值的概念

2. 点估计与区间估计的区别

3. 评价估计量优良性的标准

4. 一个总体参数的区间估计方法

5. 两个总体参数的区间估计方法

6. 样本量的确定方法

8.1

参数估计的一般问题

8.1.1 估计量与估计值

估计量与估计值(estimator & estimated value)

1.估计量：用于估计总体参数的随机变量

如样本均值，样本比例, 样本方差等

例如: 样本均值就是总体均值m 的一个估计量

2.参数用 表示，估计量用 表示

3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值

如果样本均值 x =80，则80就是m的估计值

8.1.2 点估计与区间估计

点估计 (point estimate)

1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值

例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为 总体均值之差的估计

2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息

⑴虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值

⑵一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量

区间估计 (interval estimate)

1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到

2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量

比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

区间估计的图示 置信水平 (confidence level)

1 第六章 参数估计

1、 证明在样本的一切线性组合中，X是总体期望值a的无偏估计

证：设nXXX,,,21是来自总体X的样本，0i，ni,,1

11nii，niiiXX1~为nXXX,,,21的线性组合．

设总体的期望值为a，方差为2，则

niiniiiniiiaaEXXEXE111)(~

所以niiiXX1~是a的无偏估计．

2、 设总体服从参数为的普阿松分布，求的矩估计量．

解：ekPk!)(~，则 DE

设nXXX,,,21为取自总体的简单随机样本，样本均值为X，方差为2S，由

XE 有 X，即Xˆ

或 2SD 有 2S，即2ˆS

所以的矩估计量为Xˆ或2ˆS．

3、 设总体的密度函数为：

||21),(xexf x

试求的极大似然估计．

解：设nxx,,1是样本nXXX,,,21的观测值，nXXX,,,21取自总体，则参数的似然函数为：

niixnnniiexfL1||1121);()(

对数似然函数为

niiniinnxnnxL111||1ln2ln||1)2ln()(ln

似然方程为

2 0||1)(ln12niixnL

解得

niixn1||1ˆ．

4、 设),(~2aN,),(21XX为的样本，试验证：

2115.05.0XXa，2123.07.0XXa，2132.08.0XXa都是a的无偏估计量，并指出其中哪个是较好的估计量．

解：),(~2aN，则aE

aaaEXEXXXEEa5.05.05.05.0)5.05.0(21211

aaaEXEXXXEEa3.07.03.07.0)3.07.0(21212

1 《统计学》教案

第七章 假设检验

教学目的：介绍统计推断的基本原理，抽样及抽样分布的基本概念、参数估计的基本方法以及参数估计量的评价标准、几种重要的区间估计等。

基本要求：通过本章的学习，要求同学们理解抽样与抽样分布的基本概念，掌握抽样原理和抽样估计的基本方法，同时能熟练运用这些原理和方法去解决各种抽样组织方法的误差计算及其估计问题。

重点和难点： 抽样分布、抽样推断的原理和参数估计的方法。

教学内容：§1抽样推断的基本概念与原理 §2 参数估计中的点估计与区间估计 §3抽样组织方式及其参数估计 §4必要样本容量的确定

学时分配：６学时

主要参考书目：

1、 陈珍珍等，统计学，厦门：厦门大学出版社，2003年版

2、 于磊等，统计学，上海：同济大学出版社，2003年

3、 徐国强等，统计学，上海：上海财经大学出版社，2001年版

4、 管于华等，统计学，北京，高等教育出版社，2005年版

思考题：

1、理解抽样调查中常用的术语。

2、样本估计量的优良标准是什么？

3、抽样估计的误差范围与可靠程度是什么关系？

4、抽样估计的基本步骤是什么？

5、简述各种抽样组织方法的区别和计算方法。

6、影响样本容量的因素有哪些？

7、不同条件下样本容量的确定方法。

§1抽样推断的基本概念与原理

教学内容

一、抽样推断的特点和作用

１．概念

■抽样推断是按照随机性原则，从研究对象中抽取一部分进行观察，并根据所得到的观察数值，对研究对象的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和推断，以达 2 到认识总体的一种统计方法。

２．特点

■ 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一定可靠性的估计和推断

■ 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位

■ 抽样调查必然会产生误差，这是方法本身决定的

３．作用

■ 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面情况就必须采用抽样推断方法

■ 某些理论上可进行抽样调查的现象，用抽样推断可达到事半功倍的效果