高考高三数学总复习教案：离散型随机变量的均值与方差
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第十一章 计数原理、随机变量及分布列第6课时 离散型随机变量的均值与方差（对应学生用书（理）１77～１78页）
考情分析 考点新知
离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力．
１了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义．
２会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.
１． （选修２３P67习题４改编）某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在１h内平均占线１0min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________．
答案：错误!
解析：每个分机占线的概率为错误!，X～B错误!，即X服从二项分布，所以期望E（X）＝8×错误!＝错误!.
２． （选修２３P66例２改编）有一批数量很大的商品的次品率为１%，从中任意地连续取出２00件商品，设其中次品数为X，则E（X）＝________，V（X）＝________. 答案：２ １．98
解析：X～B（２00, 0．0１），所以期望E（X）＝２00×0．0１＝２，V（X）＝２00×0．0１×（１—0．0１）＝１．98．
３． （选修２３P7１习题４改编）某人进行射击，每次中靶的概率均为0．8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有３发子弹，则射击数X的均值为________．（填数字）
答案：１．２４
解析：射击次数X的分布列为
X １ ２ ３
P 0.8 0．１6 0．0４
∴E（X）＝0．8×１＋0．１6×２＋0．0４×３＝１．２４．
４． （选修２３P7１习题１改编）随机变量X的分布列如下：
X —１ 0 １
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若E（X）＝错误!，则方差V（X）的值是________．
答案：错误!
解析：a、b、c成等差数列，有２b＝a＋c，又a＋b＋c＝１，E（X）＝—１×a＋１×c＝c—a＝错误!.
得a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，∴ V（X）＝错误!２×错误!＋错误!２×错误!＋错误!２×错误!＝错误!.
５． 一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线．已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0．５，热线C占线的概率为0．４，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________． 答案：１．４
解析：随机变量ξ可能取的值为0、１、２、３．
依题意，得P（ξ＝0）＝0．１５, P（ξ＝１）＝0．４，
P（ξ＝２）＝0．３５，P（ξ＝３）＝0．１
∴ ξ的分布列为
ξ 0 １ ２ ３
P 0．１５ 0．４ 0．３５ 0．１
∴ 它的期望为E（ξ）＝0×0．１５＋１×0．４＋２×0．３５＋３×0．１＝１．４．
１． 均值
（１） 若离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ x１ x２ …
xn
P p１ p２ … pn
则称E（ξ）＝x１p１＋x２p２＋…＋xnpn为ξ的均值或数学期望，简称期望．
（２） 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（３） 数学期望的性质．
E（c）＝c，E（aξ＋b）＝aEξ＋b（a、b、c为常数）．
２． 方差
（１） 若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x１，x２，…，xn且这些值的概率分别是p１，p２，…，pn，则称： V（ξ）＝（x１—E（ξ））２p１＋（x２—E（ξ））２p２＋…＋（xn—E（ξ））２pn为ξ的方差．
（２）
σ＝错误!，叫标准差．
（３） 随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性．
（４） 方差的性质
a、b为常数，则V（aξ＋b）＝a２Vξ.
３． 若ξ～B（n，p），则E（ξ）＝np，V（ξ）＝np（１—p）．
４． 期望与方差的关系
均值（期望）反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值（期望）的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V（ξ）＝E（ξ２）＋（E（ξ））２.
[备课札记]
题型１ 离散型随机变量的期望
例１ 已知离散型随机变量ξ１的概率分布为
ξ１ １ ２ ３ ４ ５ 6 7
P 错误! 错误! 错误! 错误! 错误! 错误! 错误!
离散型随机变量ξ２的概率分布为
ξ２ ３．7 ３．8 ３．9 ４ ４．１ ４．２ ４．３
P 错误! 错误! 错误! 错误! 错误! 错误! 错误!
求这两个随机变量数学期望、方差与标准差． 解：E（ξ１）＝１×错误!＋２×错误!＋…＋7×错误!＝４；
V（ξ１）＝（１—４）２×错误!＋（２—４）２×错误!＋…＋（7—４）２×错误!＝４，σ１＝错误!＝２．
E（ξ２）＝３．7×错误!＋３．8×错误!＋…＋４．３×错误!＝４；
V（ξ２）＝0．0４，σ２＝错误!）＝0．２．
错误!
甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，１0的概率分别为0．２，0．6，0．２；射手乙击中环数8，9，１0的概率分别为0．４，0．２，0．４．用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．
解：Eξ１＝8×0．２＋9×0．6＋１0×0．２＝9，
V（ξ１）＝（8—9）２×0．２＋（9—9）２×0．6＋（１0—9）２×0．２＝0．４；
同理有E（ξ２）＝9，V（ξ２）＝0．8．
由上可知，E（ξ１）＝E（ξ２），V（ξ１） 题型２ 离散型随机变量的方差与标准差 例２ 某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作１0件，该厂质检部每天从每位师傅制作的１0件产品中随机抽取４件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有２件、１件次品． （１） 求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率； （２） 若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过１天、２天分别得１分、２分，求李师傅在这两天内得分的数学期望． 解：（１） 设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件Ｂ． 则有P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!， 由事件A、B独立，∴ P（AB）＝P（A）P（B）＝错误!. 答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为错误!. （２） 记得分为ξ，则ξ的可能值为0，１，２． ∵ P（ξ＝0）＝错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝２）＝错误!×错误!＝错误!. ∴ E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＝错误!. 答：李师傅在这两天内得分的数学期望为错误!. 错误! 一盒中装有零件１２个，其中有9个正品，３个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望． 解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，１，２，３ 当ξ＝0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（ξ＝0）＝错误!＝错误!. 当ξ＝１时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（ξ＝１）＝错误!×错误!＝错误!. 当ξ＝２时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止， 则P（ξ＝２）＝错误!×错误!×错误!＝错误!. 当ξ＝３时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止， 则P（ξ＝３）＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!. 所以，E（ξ）＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!. 题型３ 期望、方差的性质及应用 例３ 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列为P（ξ＝i）＝错误!（i＝１，２，…，１２）；设每售出一台电冰箱，电器商获利３00元．如销售不出，则每台每月需花保管费１00元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？ 解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑１≤x≤１２的情况．设电器商每月的收益为y元， 则y是随机变量ξ的函数，且y＝300(),300100()()xxxx于是电器商每月获益的平均数，即为数学期望Ey＝３00x（Px＋Px＋１＋…＋P１２）＋[３00—１00（x—１）]P１＋[２×３00—１00（x—２）]P２＋…＋[（x—１）×３00—１00]Px—１＝３00x（１２—x＋１）·错误!＋错误!错误!＝错误!（—２x２＋３8x）． 因为x∈N*，所以当x＝9或x＝１0时， 数学期望最大． 故电器商每月初购进9或１0台电冰箱时，月收益最大，最大收益为１５00元． 错误! 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，且ξ、η分布列为 ξ １ ２ ３ P a 0．１ 0．6 η １ ２ ３ P 0．３ b 0．３ （１） 求a、b的值； （２） 计算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 解：（１） 由离散型随机变量的分布列性质可知a＋0．１＋0．6＝１，即a＝0．３，同理0．３＋b＋0．３＝１，b＝0．４． （２） E（ξ）＝１×0．３＋２×0．１＋３×0．6＝２．３， E（η）＝１×0．３＋２×0．４＋３×0．３＝２． V（ξ）＝0．8１，V（η）＝0．6． 由计算结果E（ξ）>E（η），说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但V（ξ）>V（η），说明甲得
