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微分方程的基本概念和解法

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微分方程的基本概念和解法

微分方程是数学中非常重要的一种工具。它是数学中最重要的一个分支之一，也是其他许多学科的基础。微分方程在物理、化学、工程学、经济学、生物学以及计算机科学等领域都有着广泛的应用。本文将介绍微分方程的基本概念和解法。

一、微分方程的定义

微分方程是用来描述一些量的变化率的方程。在微分方程中，自变量通常是时间或空间，因变量是需要得到的量。微分方程通常由一个或多个未知函数及其导数或微分构成。

二、微分方程的类型

微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。偏微分方程是涉及到多个自变量的微分方程。

另外，微分方程还可分为一阶微分方程和高阶微分方程两类。一阶微分方程的未知函数只出现一次导数，高阶微分方程的未知函数出现多次导数。

三、微分方程的解法

1.分离变量法

分离变量法是求解一阶微分方程的一种常用方法。假设一个未知函数y是由x的函数所支配的，即y=f(x)。将y的微分表达式dy表示成dx的函数，然后将各变量分离出来，即得到dy/g(y)=f(x)dx，再将其两边同时积分，即可求出y的解函数。

例如，考虑求解y'=2xy的一般解。首先将dy=y'dx，将y的微分表达式代入原方程，得到dy=2xydx。将dy除以y并将dx除以2x，得到dy/y=xdx。对其两边同时积分，可得ln|y|=x^2+C，其中C为常数。解出y，得y=±e^(x^2+C)，即为通解。

2.齐次方程法

齐次方程也是求解一阶微分方程的一种方法。若一个一阶微分方程可以化为dy/dx=f(y/x)的形式，则称其为齐次方程。求解齐次方程的方法为令v=y/x，等价于y=vx，然后对v关于x求导数，即dv/dx=y'x-y/x^2，代入原方程即可得到f(v)dv=vdx。对其两边同时积分即可得到通解y=Cx^m，其中m为常数。

例如，考虑求解y'=x/2y的一般解。首先令v=y/x，则y'=v+x

dv/dx。将v=y/x代入原方程，得到xdv/dx=1/2v，即dv/v=dx/2x。对其两边同时积分，得到ln|v|=1/2ln|x|+C，代入v=y/x，可得ln|y|=1/2ln|x|^2+C'，即为通解。

3.一阶线性微分方程法

一阶线性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)可以求得通解公式为y=e^(-P(x))(∫e^(P(x)q(x)dx+C)，其中P(x)是p(x)的一个原函数。

例如，考虑求解y'+2xy=x。由公式可知，P(x)=x，因此e^(-P(x))=e^(-x)。将p(x)=2x，q(x)=x代入公式，可得y=e^(-x)(∫xe^(x^2)dx+C)，即为通解。

四、总结

微分方程是一种重要的数学工具，它在各个科学领域都有着广泛的应用。微分方程的类型和解法有很多种，分离变量法、齐次方程法以及一阶线性微分方程法都是求解微分方程的常用方法。求解微分方程的过程中需要运用到数学知识，例如函数的导数、积分等。掌握微分方程的概念和解法，将有助于我们更好的理解和解决科学问题。

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微分方程的基本概念

微分方程的基本概念

§12．1 微分方程的基本概念

1 第十二章 微分方程

§12 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

xdxdy2 (1)

此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

xdxy2 即yx2C (3)

其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式

7-1 微分方程的基本概念

7-1 微分方程的基本概念

-1

-2 y=x3-2 y=x3-1 y=x3

O y

x 第七章 微分方程

第1节 微分方程的基本概念

教学目的：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念

教学重点：微分方程的基本概念

教学难点：微分方程的通解

教学方法：讲授为主，互动为辅

教学课时：2

教学内容：

我们先通过具体的例子来说明微分方程的有关概念．

例1 设曲线y = f (x)在其上任一点(x，y)的切线斜率为3x2，且曲线过点(0，-1)，求曲线的方程．

解 由导数的几何意义知在点(x，y)处，有

23xdxdy． (1)

此外，曲线满足条件

.10xy (2)

(1)式两边积分，得

.332cxdxxy (3)

其中c为任意常数．(3)式表示了无穷多个函

数图(6–1)，为得到满足条件(2)的具体曲线，以条件(2)代入(3)，得c = -1．故所求曲线的方程为

.13xy (4)

例2 质量为m的物体在离地面高为0s米处，以初速0v垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程s与时间t的函数关系．

解 因为物体运动的加速度是路程s对时间t的二阶导数，由于物体运动只受重力的影响，所以由牛顿第二定律知所求函数)(tss应满足

gdtsd22． (5)

这里g为重力加速度，取垂直向上的方向为正方向．此外，)(ts还应满足条件：

00(0),(0).sssv

(6)

(5)式两端对t积分，得

图6–1 1Cgtdtds． (7)

再对t积分，得

创新实验常微分方程的基本解法

创新实验常微分方程的基本解法

桂林电子科技大学

数学与计算科学学院综合性、设计性实验报告

实验室：06410 实验日期：2015年10月29日

院（系） 数学与计算科学 学号 1300730117

1300730114

1300730119 姓名 邓同杰

陈俊鸿

孔祥伟 成绩

实验项目名称 线性椭圆型边值问题的求解

教师

评语

教师签名：

年 月 日

一、实验目的和要求

有限元法是求解椭圆型方程最有效的数值方法之一，该方法将微分方程边值转化为与之等价的泛函极值问题或边分方程来求解。本实验要求利用PDE工具箱求解，掌握使用PDE图形用户界面的方法和步骤，并读懂相应的MATLAB程序。本实验的计算结果要求显示图形解（颜色的深浅迭代数值的大小），其功能是：利用PDE工具箱的GUI（图形用户界面）求解后，保存m文件。然后在命令窗口运行该m文件，可以得到数值解和图形解。并通过修改边界条件或方程的参数，使之适应求解其他相应的线性椭圆型边值问题。

二、实验内容

本实验是利用PDE工具求解下列二维线性椭圆型边值问题：

0|1|),(,5-2222uuyxyxyxuu

这个问题的精确解为：

221),(uyxyx

要求实验者领会有限元方法的基本思路，写出该方法的程序设计框图，并用MATLAB语言的PDF工具箱的图形用户界面求解，打印程序清单和计算结果。

微分方程——基本概念和常微分方程的发展史

微分方程——基本概念和常微分方程的发展史

微分⽅程——基本概念和常微分⽅程的发展史

1.2 基本概念和常微分⽅程的发展史

⾃变量、未知函数均为实值的微分⽅程称为实值微分⽅程；未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分⽅程。若⽆特别声明，以下均指实变量的实值微分⽅程。1.2.1 常微分⽅程基本概念

(1) 常微分⽅程和偏微分⽅程

微分⽅程就是联系⾃变量 、未知函数及其的关系式。如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程；⾃变量的个数为两个或两个以上的微分⽅程为偏微分⽅程。⼀般的n阶常微分⽅程具有形式：

Fx,y,dydx,⋯,dnydxn=0

(1.38)

微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶的阶数称为微分⽅程的阶数。

此后，我们把常微分⽅程称为“微分⽅程”，有时更简称为“⽅程”。

(2) 线性和⾮线性

如果⽅程(1.38)的左端为未知函数及其各阶导数的⼀次有理整式，则称(1.38)为n阶线性微分⽅程。⼀般n阶线性微分⽅程具有形式

不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程。例如⽅程

(3) 解和隐式解

如果函数y=φ(x)代⼊⽅程(1.38)后，能使它变为恒等式，则称函数y=φ(x)为⽅程(1.38)的解。如果关系式Φ(x,y)=0决定的函数y=φ(x)是⽅程(1.38)的解，称为称Φ(x,y)=0为⽅程(1.38)的隐式解，隐式解也称为“积分”。为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为⽅程的解。 (4) 通解和特解

我们把含有n个独⽴的任意常数c1,c2,⋯,cn的解

称为n阶⽅程(1.38)的通解。为了确定微分⽅程⼀个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初值条件和边值条件。求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题。当定解条件为初值条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。我们主要讨论初值问题。 我们把满⾜初值条件的解称为微分⽅程的特解。初值条件不同，对应的特解也不同。⼀般来说，特解可以通过初值条件的限制，从通解中确定任意常数⽽得到。 (5) 积分曲线和⽅向场