微分方程的基本概念

§12．1 微分方程的基本概念

1 第十二章 微分方程

§12 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

xdxdy2 (1)

此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

xdxy2 即yx2C (3)

其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式

4.022dtsd (4)

此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件 §12．1 微分方程的基本概念

2 t0时 s0 20dtdsv 简记为s|t0=0 s|t0=20 (5)

把(4)式两端积分一次 得

14.0Ctdtdsv (6)

再积分一次 得

s02t2 C1t C2 (7)

这里C1 C2都是任意常数

把条件v|t020代入(6)得

20C1

把条件s|t00代入(7)得0C2

把C1 C2的值代入(6)及(7)式得

v04t 20 (8)

s02t220t (9)

在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

504.020t(s)

再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程

s025022050500(m)

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米

s04 并且s|t0=0 s|t0=20

把等式s04两端积分一次 得

s04tC1 即v04tC1(C1是任意常数)

再积分一次 得

s02t2 C1t C2 (C1 C2都C1是任意常数)

由v|t020得20C1 于是v04t 20

由s|t00得0C2 于是s02t220t

令v0 得t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程

s025022050500(m) §12．1 微分方程的基本概念

3

几个概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程

偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x3 yx2 y4xy3x2 

y(4) 4y10y12y5ysin2x

y(n) 10

一般n阶微分方程

F(x y y     y(n) )0

y(n)f(x y y     y(n1) ) 

微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

F[x (x) (x)    (n) (x)]0

那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y    y(n) )0在区间I上的解

通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如

xx0 时 yy0  y y0 

一般写成

00yyxx 00yyxx

特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

如求微分方程yf(x y)满足初始条件00yyxx的解的问题 记为

00),(yyyxfyxx §12．1 微分方程的基本概念

4 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

例3 验证 函数

xC1cos ktC2 sin kt

是微分方程

0222xkdtxd

的解

解 求所给函数的导数

ktkCktkCdtdxcossin21

)sincos(sincos212221222ktCktCkktCkktCkdtxd

将22dtxd及x的表达式代入所给方程 得

k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0

这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程0222xkdtxd 因此所给函数是所给方程的解

例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程0222xkdtxd的通解 求满足初始条件

x| t0 A x| t0 0

的特解

解 由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得

C1A

再由条件x| t0 0 及x(t) kC1sin ktkC2cos kt 得

C20

把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得

xAcos kt