数学几何运算公式
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高中数学立体几何向量公式
在三维空间中,向量有着相应的公式。
第一个公式是向量a加向量b,即a+b=a+b。
这表示将两个向量相加,得到一个新的向量。
下一个公式是a×b,它表示两个向量的点积,这意味着它们的方向是相反的,但它们的大小是不同的。
还有另一个公式叫平行向量,它表示两个向量具有相同的方向。
它可以写成:a∥b,这意味着它们之间的另一个角度被视为0度。
另外,向量也有一个公式,它可以用来描述两个向量的向量积,这是一个形状向量,表示另一个向量的方向或大小与其相似。
最后,还有一个叫作法向量的公式,它表示了一个向量和一个平面的关系,这被用来描述法线的方向,它可以写为n=b-a。
总而言之,立体几何中向量的公式涉及加减、点积和叉积等内容,是高中学习数学中十分重要的一部分。
了解并掌握这些公式有助于学生更好地理解数学知识,更好的运用到学习中去。
高中数学《几何》常用公式-几何的平行
线性质公式
1. 基本公式
- 直线的垂直平分线性质:若一条直线与另一条直线相交,且交点到相交直线上的两点的距离相等,则这条直线是另一条直线的垂直平分线。
- 直线的角平分线性质:若一条直线将一个角分成两个相等的角,则这条直线是该角的角平分线。
- 直角三角形斜边的平方等于两腰的平方和:设直角三角形ABC,其中∠C=90°,则AC²=AB²+BC²。
2. 平行线的性质
- 平行线的定义:若两条直线在平面内没有交点,且在同一平面内没有相交的平行线,则这两条直线称为平行线。
- 平行线的判定定理:若两条直线分别与第三条直线相交,且两个交点分别位于这两条直线的同侧或同角的同侧,则这两条直线平行。
- 平行线的性质定理1:若一条直线与平行线相交,则所得的对应角相等。
- 平行线的性质定理2:若一线段向平行线的两个异侧,或一射线向平行线的一侧辅以有限长度,则所得的角互为对顶角,且互为互补角。
- 平行线的性质定理3:若一条直线与两条平行线相交,则所得的内错角互为对顶角,且互为互补角。
3. 三角形的平行线性质
- 三角形内部的平行线定理:若一条直线与两条平行线分别相交,则这两条交线所对应的三角形内部的三个角互为对应角,且互为互补角。
- 三角形外部的平行线定理:若一条直线与两条平行线分别相交,则这两条交线所对应的三角形外部的三个角互为对应角,且互
为互补角。
- 对顶角相等定理:若两条直线AB和CD交于一点O,且
∠AOB=∠COD,则∠BOC=∠AOD。
以上是高中数学《几何》中几何的平行线性质公式的常用内容,希望对您有所帮助。
七年级上册数学几何的公式及定理主要包括以下内容:一、线的性质及定理:1.过两点有且只有一条直线。
2.两点之间,线段最短。
3.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
4.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行。
二、角的性质及定理:1.同角或等角的补角相等。
2.同角或等角的余角相等。
3.同位角相等,两直线平行4.内错角相等,两直线平行。
5.同旁内角互补,两直线平行。
6.两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
三、三角形的性质及定理:1.三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边。
2.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°。
3.直角三角形的两个锐角互余。
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
5.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
四、几何公式:1.长方形的周长= (长+ 宽) × 2,即C = (a + b) × 22.正方形的周长= 边长× 4,即C = 4a3.长方形的面积= 长× 宽,即S = ab4.正方形的面积= 边长× 边长,即S = a^25.三角形的面积= 底× 高÷ 2,即S = ah ÷ 26.平行四边形的面积= 底× 高,即S = ah7.梯形的面积= (上底+ 下底) × 高÷ 2,即S = (a + b)h ÷ 28.圆的周长= 圆周率× 直径,即C = πd9.圆的面积= 圆周率× 半径× 半径,即S = πr^2。
三年级数学几何线段的公式
我们要探讨的是三年级数学中的几何线段问题,特别是关于线段的长度和计算。
首先,我们需要理解线段的基本概念和性质。
线段是由两个端点确定的直线上的一段。
假设线段的两个端点分别为A和B,那么线段的长度就是A到B的距离。
线段的长度计算公式是:
线段长度 = 端点B的坐标 - 端点A的坐标
这个公式基于线段的定义,即线段是两点之间最短的路径。
这个公式是线段长度计算的基础,我们可以用它来计算任何给定线段的长度。
计算结果为:线段长度 = 3
所以,从A点到B点的线段长度为:3个单位。
梯形的运算公式梯形是一类典型的形状,很多学科都会用到它的几何特征,比如几何和数学。
在梯形的几何计算中,有一些特殊的运算公式,用于计算梯形的面积、周长等等性质。
其中比较重要的有以下几个公式:(1)形面积公式:采用高等数学中称为“海伦公式”的公式计算梯形的面积,即S=1/2(a+b)h,其中a、b分别为梯形的两个底边,h为梯形的高。
(2)形周长公式:可由一般周长公式C=a+b+2(c+d)推得,其中梯形的两条底边分别为a, b,上面两条边分别为c、d。
(3)形外接圆半径公式:当梯形边长为a、b、c、d时,梯形外接圆半径r=(ab+cd)/4(a+b+c+d)。
(4)腰梯形面积公式:若梯形为等腰梯形,其面积可由S=pab/2推出,其中p为梯形的中线,a、b为梯形的两条底边。
以上是关于梯形的运算公式的介绍,它们用于计算梯形的面积、周长、外接圆半径等性质。
下面我们将简单介绍一下,如何针对不同的问题来运用这些公式,进行梯形的计算。
1、首先,我们可以用梯形面积公式来计算梯形的面积。
例如梯形的两条底边分别为a=2、b=3,高h=4,则梯形的面积为S=1/2(a+b)h=1/2(2+3)4=10。
2、梯形周长公式可以用来求解梯形的周长。
例如梯形的两条底边分别为a=2、b=3,上面两条边分别为c=4、d=5,则梯形的周长C=a+b+2(c+d)=2+3+2(4+5)=20。
3、用梯形外接圆半径公式可以计算梯形的外接圆半径。
例如梯形的四条边分别为a=2、b=3、c=4、d=5,梯形外接圆的半径r=(ab+cd)/4(a+b+c+d)=2*3+4*5/4(2+3+4+5)=7.5。
4、等腰梯形的面积可以用等腰梯形面积公式计算。
例如梯形的两条底边分别为a=5、b=5,中线为p=3,则梯形的面积S=pab/2=3*5*5/2=37.5。
以上就是关于梯形的运算公式的介绍,常见的梯形的面积、周长、外接圆半径以及等腰梯形面积的公式已经简单介绍,不同的梯形的计算方法也举例说明。
教资高中数学公式高中数学公式简介:一、定义1、平面几何:(1)三角形公式:三角形面积公式:S=1/2*a*b*sinC,其中a和b分别为对边,C是夹角;求三角形外接圆半径r=abc/ 4S;(2)直角三角形公式:海伦公式:a^2+b^2=c^2;求边长c=a^2+b^2;另有勾股定理a^2+b^2=c^2;(3)平行四边形公式:面积公式:S=a*b;对角线公式:d=a^2+b^2;2、立体几何:(1)正多面体公式:表面积公式:F=n*p*a^2/4*sin(2π/n);体积公式:V=p*a^3/6*sin(2π/n);(2)圆柱体公式:表面积公式:S=2π*r*(l+r);体积公式:V = π* r² * l;二、运算1、代数运算:(1)二次方程求根:a×x²+b×x+c=0,x=[-b±√b²-4ac]/2a;(2)因式分解:a×x²+b×x+c=0,x=[-b±√b²-4ac]/2a;2、数列(1)等差数列:求首项a1=u1+d×(1-1);等比数列:求n项an=a1×q^(n-1);(2)等比数列求和:无限项求和公式:Sn=a1×[1-q^n]/[1-q];等差数列求和:Sn=n[2a1+(n-1)d]/2;三、解析几何1、直线:(1)斜率m=Δy/Δx;(2)一般式:Ax + By + C = 0;2、圆:(1)圆心坐标:(x0,y0);(2)半径r;(3)一般式:(x-x0)²+(y-y0)²=r²;四、三角函数(1)正弦函数公式: y=sin(x),反函数公式:x=sin-1( y );(2)余弦函数公式: y =cos(x),反函数公式:x=cos-1( y );(3)正切函数公式: y = tan(x),反函数公式:x=tan-1( y );(4)余切函数公式: y = cot(x),反函数公式: x = cot-1( y );。
立体几何公式大全向量式cos a b a b θ⋅=⋅ a b ⊥0a b ⋅=//a b (0b ≠)a b λ=(0,λ>方向相同0,λ<方向相反)模a2a a =夹角θ(0a ≠,0b ≠)cos a b a bθ⋅=⋅二、求角和距离公式: 求异面直线a 与b : 12222111cos a b x x y a bx y z θ⋅+==⋅++与平面αa n a n⋅⋅(n 表示平面为平面α的法向量1n 与平面2n 的夹角:则12112cos n n n n θ⋅=⋅:求二面角步骤:一、瞄:瞄一下看二面角θ是锐角还是钝角;二、的法向量1n 与平面的法向2n ,而后用12112cos n n n n θ⋅=⋅ 求出1n 与2n 的夹角1θ;三、定:同锐相等:若θ是锐角,也是锐角,;同钝相等:若θ是锐角,θ也是锐角,则1θ=;锐钝互补:若θJP69/KP127/AP n n⋅A 为平面α上的任意n 为平面α的法向量三、求法向量步骤:(1) 设法向量(,,)n x y z =,利用法向量n 与平面上的两相交直线方向向量垂直数量积为0建立两个方程;(2) 求出x 等于多少z, y 等于多少z;并令z=1进而求出x,y,从而得到法向量n ;或者求出x 等于多少y, z 等于多少y;并令y=1进而求出x,z,从而得到法向量n ; 或者求出y 等于多少x, z 等于多少x;并令x=1进而求出y,z,从而得到法向量n ;(3) 把所求的法向量n 代入方程组检验! 四、法向量n 的在证明题中用处:(1) 线面平行:l l n α⊄⊥平面且⇔//l α平面:参见JP65/例2 (证明线面平行问题只要转成去求线的向量与法向量数量积为0即可) (2) 面面平行:12//n n ⇔//αβ平面平面:参见JP65/例2(证明面面平行问题只要转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可) (3) 线面垂直://l n l α⇔⊥平面:(证明线面垂直问题只要转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可) (4) 面面垂直:12n n ⊥⇔αβ⊥平面平面:参见JP65/例3 (证明面面垂直问题只要转成去求两法向量数量积为0即可)。
小学数学几何形体周长、面积、体积计算公式小学数学几何形体周长、面积、体积计算公式小测常用单位换算1、长度单位换算:1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米2、面积单位换算:1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米3、体(容)积单位换算:1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升4、重量单位换算:1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤5、人民币单位换算:1元=10角 1角=10分 1元=100分6、时间单位换算:1世纪=100年 1年=12月大月(31天)有:1、3、5、7、8、10、12月小月(30天)的有:4、6、9、11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒小学数学常见单位换算小测4、长度单位换算:1千米=()米 1米=()分米 1分米=()厘米 1厘米=()毫米1米=()分米=()厘米=()毫米5、面积单位换算:1平方千米=( )公顷1公顷=( )平方米1平方米=( )平方分米1平方分米=( )平方厘米1平方厘米=( )平方毫米1平方米=( )平方分米=( )平方厘米=( )平方毫米6、体(容)积单位换算:1立方分米=( )升 1立方厘米=( )毫升 1立方米=( )升1立方米=( )立方分米 1立方分米=( )立方厘米 1立方厘米=( )立方毫米1立方米=( )立方分米=( )立方厘米=( )立方毫米4、重量单位换算:1吨=( )千克 1千克=( )克 1千克=( )公斤1吨=( )千克=( )克5、人民币单位换算:1元=( )角 1角=( )分 1元=( )分1元=( )角=( )分6、时间单位换算:1世纪=( )年 1年=( )月大月(31天)有: ( )月小月(30天)的有: ( )月平年2月有( )天, 闰年2月有( )天平年全年有 )天, 闰年全年有 )天1日=( )小时 1时=( )分 1分=( )秒1时=( )分=( )秒。
初中数学几何公式大全初中几何公式包括:线、角、圆、正方形、矩形等数学学几何的公式初中几何公式:线1同角或等角的余角相等2过一点有且只有一条直线和已知直线垂直3过两点有且只有一条直线4两点之间线段最短5同角或等角的补角相等6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行初中几何公式:角9同位角相等,两直线平行10内错角相等,两直线平行11同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13两直线平行,内错角相等14两直线平行,同旁内角互补初中几何公式:三角形15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18推论1 直角三角形的两个锐角互余19推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中几何公式:等腰三角形30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方,即a+b=c47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c 有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形初中几何公式:四边形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n 边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中几何公式:矩形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形初中几何公式:菱形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形初中几何公式:正方形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称初中几何公式:等腰梯形74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形初中几何公式:等分78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)94判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS)95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值初中几何公式:圆101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L 和⊙O 相交d﹤r②直线L 和⊙O 相切d=r③直线L 和⊙O 相离d﹥r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上135①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆139正n 边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n140定理正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形141正n 边形的面积Sn=pnrn/2 p 表示正n 边形的周长142正三角形面积√3a/4 a 表示边长143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n- 2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式:L=nπR/180145扇形面积公式:S 扇形=nπR/360=LR/2 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。
小学数学几何图形知识点公式大全一、长方形
►长方形的周长=(长+宽)×2
C=(a+b)×2
►长方形的面积=长×宽
S=ab
二、正方形
►正方形的周长=边长×4
C=4a
►正方形的面积=边长×边长
S=a.a=a
三、三角形
►三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
►三角形的内角和=180度
四、平行四边形
►平行四边形的面积=底×高
S=ah
五、梯形
►梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
S=(a+b)h÷2
六、圆形
►圆的直径=半径×2(d=2r)
►圆的半径=直径÷2(r=d÷2)
►圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2
C=πd=2πr
►圆的面积=圆周率×半径×半径
S=πr×r
七、长方体
►长方体的体积=长×宽×高
V=abh
八、正方体
►正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=aaa
九、圆柱
►圆柱的侧面积:圆柱的侧面积等于底面的周长乘高
S=ch=πdh=2πrh
►圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积
S=ch+2s=ch+2πr×
r►圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高
V=Sh
十、圆锥
►圆锥的体积=1/3底面×积高
V=1/3Sh。
小学几何图形基本概念及计算公式轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,直线左右的两部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.长方形(2条对称轴),正方形(4条对称轴),等腰三角形(1),等边三角形(3),等腰直角三角形(1),等腰梯形(1),圆(无数条对称轴)等等,都是对称图形.点: 线和线相交于点。
直线:某点在空间中或平面上沿着一定方向和相反方向运动,所画成的图形,叫做直线.直线是向相反方向无限延伸的,所以它没有端点,不可以度量. (可以用表示直线上任意两点的大写字母来记:直线AB,也可以用一个小写字母来表示:直线a)射线:由一个定点出发,向沿着一定的方向运动的点的轨迹,叫做射线.这个定点叫做射线的端点,这个端点也叫原点。
射线只有一个端点,可以向一端无限延长,不可以度量.(射线可以用表示他端点,和射线上任意一点的两个大写字母表示:射线OA)线段:直线上任意两点间的部分,叫做线段。
这两点叫做线段的端点,线段有长度,可以度量。
(线段可以用两个端点的大写字母表示:线段AB,也可以用一个小写字母表示;线段a)线段的性质:在连接两点的所有线中,线段最短。
角:从一点引出两条射线所组成的图形,叫做角.这两条射线的公共端点,叫做角的顶点.组成角的两条射线,叫做角的边。
角的大小与夹角两边的长短无关.角的分类:直角:90度的角叫做直角平角:一条射线由原来的位置,绕它的端点按逆时针方向旋转,到所成的角的终边和始边成一直为止,这时所成的角叫做平角。
或者角的两边的方向相反,且同在一条直线上时的角叫做平角,平角是180度.锐角:小于90度的角叫做锐角钝角:大于90度的角叫做钝角垂直与平行:在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。
如果两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足.点到直线的距离:从直线外一点作这条直线的垂线,这点和垂足之间的线段长度,叫做点到直线的距离。
高中数学立体几何面积体积公式高中数学里,立体几何的面积体积公式那可是相当重要啊!就像我们生活中的各种工具,用对了就能解决大问题。
先来说说棱柱的体积公式,V = Sh ,其中 S 是底面积,h 是高。
想象一下,一个长长的棱柱,就像我们盖房子用的水泥柱子,底面积就是柱子底部那一块的面积,高就是柱子的长度。
棱锥的体积公式是 V = 1/3Sh ,这就好比是一个尖尖的金字塔,体积只有同底面积同高棱柱的三分之一。
圆柱的体积公式V = πr²h ,r 是底面半径,h 是高。
这个公式让我想起之前去蛋糕店,看到那种圆柱形的蛋糕模具,要算出能做多大的蛋糕,就得靠这个公式。
圆锥的体积公式V = 1/3πr²h ,就像甜筒冰激凌的形状,体积也只有同底同高圆柱的三分之一。
球的体积公式V = 4/3πr³ ,表面积公式S = 4πr² 。
球嘛,就像我们踢的足球,通过这个公式就能知道它内部能装多少气,或者外面的皮料有多大面积。
还记得有一次,学校组织我们去工厂参观。
看到工人们在制作一些金属零件,有圆柱形的,也有圆锥形的。
当时师傅就问我们,如果要做一个特定体积的圆柱零件,已知材料的底面积,那应该做多高呢?大家都面面相觑,我心里默默想着这些体积公式,试着算了算,还真算出了答案。
师傅听了直夸我,那一刻,我真切感受到了掌握这些公式的用处和乐趣。
在做数学题的时候,这些公式可不能记错。
有时候一个小数字的错误,就能让整个答案跑偏。
而且,在实际生活中,像装修房子计算用料、设计物品的形状和大小,都离不开这些公式。
学习立体几何的面积体积公式,就像是掌握了一把打开神秘空间大门的钥匙。
我们可以用它去探索未知,解决难题,感受数学在现实世界中的奇妙应用。
所以,同学们可一定要把这些公式牢记于心,灵活运用,让数学成为我们的得力助手!。
苏步青微分几何学数学公式(二)
苏步青微分几何学数学公式
1. 曲率
曲率半径公式
曲率半径公式用于计算曲线在某一点的曲率半径R。
公式表达式为:
R = (1 + [f'(x)]^2)^3/2 / |f''(x)|
其中,f(x)表示曲线方程,f’(x)表示f(x)的一阶导数,
f’’(x)表示f(x)的二阶导数。
例如,给定曲线方程 f(x) = x^2,我们计算x=1处的曲率半径R。
首先,计算f’(x) 和f’‘(x): - f’(x) = 2x - f’’(x) = 2
代入公式,得到:
R = (1 + (2(1))^2)^3/2 / |2| = (1 + 4)^3/2 / 2 = 5/
2
所以曲线 f(x) = x^2 在 x=1 处的曲率半径为 5/2。
2. 切向量
切向量的计算公式
切向量是曲线某点处的切线方向所对应的向量,计算公式为:
T = (f'(x), 1)
其中,f’(x)是曲线方程f(x)的导数。
例如,给定曲线方程 f(x) = sin(x),我们计算曲线在x=π/4
处的切向量。
首先,计算f’(x): - f’(x) = cos(x)
代入公式,得到:
T = (cos(π/4), 1) = (√2/2, 1)
所以曲线 f(x) = sin(x) 在x=π/4 处的切向量为(√2/2, 1)。
一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2正方形的周长=边长×4 C=4a长方形的面积=长×宽S=ab正方形的面积=边长×边长S=a.a= a三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2平行四边形的面积=底×高S=ah梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2直径=半径×2 d=2r半径=直径÷2 r= d÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr圆的面积=圆周率×半径×半径三角形的面积=底×高÷2.公式S= a×h÷2正方形的面积=边长×边长公式S= a×a长方形的面积=长×宽公式S= a×b平行四边形的面积=底×高公式S= a×h梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和:三角形的内角和=180度。
长方体的体积=长×宽×高公式:V=abh长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式:V=abh正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式:V=aaa圆的周长=直径×π公式:L=πd=2πr圆的面积=半径×半径×π公式:S=πr2圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。
公式:S=ch=πdh=2πrh圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式:S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高.公式:V=Sh圆锥的体积=1/3底面×积高。
立体几何三余弦定理公式立体几何是数学中的一个重要分支,研究的是空间中的图形、体积和距离等问题。
在立体几何中,三余弦定理是一条非常重要的公式,它能够帮助我们求解三角形中的边长和角度。
三余弦定理公式可以用来求解三角形中的任意一边的长度,它的表达式如下:c² = a² + b² - 2abcosC其中,a、b、c分别表示三角形中的三条边的长度,C表示夹在边a 和边b之间的角度。
这个公式可以帮助我们求解三角形中的任意一边的长度,无论是已知两边和夹角,还是已知一边和两个夹角,都可以通过这个公式来求解。
三余弦定理的推导过程可以通过向量的运算来进行,不过在这篇文章中,我将使用简单的例子来帮助读者理解这个公式。
假设我们有一个三角形ABC,已知边AB的长度为5,边AC的长度为7,夹角BAC的角度为60度。
我们可以根据三余弦定理来求解边BC的长度。
根据三余弦定理公式,我们可以得到:BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cosBAC代入已知条件,我们可以得到:BC² = 5² + 7² - 2·5·7·cos60°计算得到:BC² = 25 + 49 - 70·0.5BC² = 74 - 35BC² = 39通过开方运算,我们可以得到:BC ≈ 6.24所以,根据三余弦定理,当AB=5、AC=7、BAC=60°时,BC的长度约为6.24。
三余弦定理不仅可以用来求解边长,还可以用来求解三角形中的角度。
假设我们已知三角形ABC的边长分别为3、4和5,我们可以根据三余弦定理来求解角A的大小。
根据三余弦定理公式,我们可以得到:cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)代入已知条件,我们可以得到:cosA = (4² + 5² - 3²) / (2·4·5)计算得到:cosA = (16 + 25 - 9) / 40cosA = 32 / 40cosA = 0.8通过反余弦函数,我们可以得到:A ≈ 37°所以,根据三余弦定理,当边长分别为3、4和5时,角A的大小约为37°。
初中数学几何题必考公式定理汇总(共146条)(直接打印每生一份熟记) 以下是初中数学几何题必考的公式和定理汇总:线:1.同角或等角的余角相等。
2.通过一点有且仅有一条与已知直线垂直的直线。
3.通过两点有且仅有一条直线。
4.两点之间的线段最短。
5.同角或等角的补角相等。
6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。
7.平行公理:经过直线外一点,有且仅有一条直线与这条直线平行。
8.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
9.定理:线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。
10.逆定理:如果一条线段的两个端点距离相等,那么在这条线段的垂直平分线上有一个点。
11.线段的垂直平分线可以看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
12.定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。
13.定理2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
14.定理3:如果两个图形关于某直线对称,那么如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。
15.逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
角:16.同位角相等,两直线平行。
17.内错角相等,两直线平行。
18.同旁内角互补,两直线平行。
19.如果两条直线平行,那么同位角相等。
20.如果两条直线平行,那么内错角相等。
21.如果两条直线平行,那么同旁内角互补。
22.定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
23.定理2:到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上。
24.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
三角形:25.定理:三角形两边的和大于第三边。
26.推论:三角形两边的差小于第三边。
27.定理:三角形三个内角的和等于180°。
28.推论1:直角三角形的两个锐角互余。
29.推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
30.推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
最新高中数学常用公式及结论(立体几何总结)-线线平行的判断:①如果一条直线和f平面平行,经过这条直线的平面和这个平相交,那么这条直线和交线平行。
直线和交线平行图②如果两个平行平同时和第三个平相交,那么它们的交线平行。
A交线平行图直线平行图二,线线垂直的判断:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射①影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,②那么它和这条斜线的射影垂直。
线线垂直图③若一直线垂直m,这条直线垂直于平内所有直平线。
补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平彳亍线中的另一条。
三.线面平行的判断:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么①这条直线和这个平面平行。
②两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平,面面平行的判断:①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线,这两个平面平行。
②垂直于同一条直线的两个平面平行。
五,线面垂直的判断:①如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另f平面。
④如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
六,面面垂直的判断:f平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
七,空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形)①异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围:0。
V a< 90。
;注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。
有的还可以通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一底面是正方形的长方体。
②线面所成的角:斜线与平面所成的角:斜线与它在平面内的射影所成的角。
几何图形定义与计算公式大全重点介绍两类常用的几何图形:一是平面图形,如三角形、四边形、正多边形以及与圆有关的各种图形;另一是空间立体图形,如正方体、长方体、球体、锥体、圆柱体以及各种正多面体.这里较详细地收集了它们的面积、体积、侧面积、表面积、重心和转动惯量等计算公式.另外,还介绍了一些图形(如正多边形)的作图方法,对于生产实践中常用的椭圆作图法和圆弧放样法也作了简要的说明.同时,明确指出了在百余年前已经严格证明了的所谓“几何三大问题”不能用尺规作图.§1 三角形与四边形一、 三角形各元素的计算1. 三角形各元素图 2.1 图 2.2a,b,c 为三角形三边 R 为外接圆半径 A,B,C 为三个角 r 为内切圆半径AD 为a 边上的高 H 为垂心(三条高的交点) AF 为A 角的平分线 G 为重心(三条中线的交点)AE ()a m =为a 边上的中线 为内心(三条角平分线的交点)p 为半周长 为外心(三条垂直平分线的交点) S 为ABC ∆的面积2. 三角形各元素计算公式[高][中线] Abc c b a c b m a cos 221)(22122222++=-+=)180( =++C B A )(a h =)(a t =内O ⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a p 外O 222222sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-==a c b a b C b h a[角分线][面积][外接圆半径][内切圆半径] 2sin 2sin 2sin 4222))()((C B A R C tg B tg A p tg p c p b p a p p S r ==---==二、 三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式图形表中m 为物体的质量,物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章,§3,五. 2cos 2])[(122Ac b bc a c b bc c b t a +=-++=Rabcrp ah C B A R c p b p a p p C ab S a 421sin sin sin 2))()((sin 212====---==S abc C c B b A a R 4sin 2sin 2sin 2====*[任意三角形]a,b,c 为三边,为a 边上的高[等腰三角形]b 为两腰,a 为底边,为a 边上高a h a ha,b 为邻边,d 为对角线, 为对角线的夹角a 为边长,为顶角,为两对角线ϕα21,d d图形面积S 、几何重心G 与转动惯量J a,b 为邻边,h 为对边距,为顶角,为两对角线,为两对角线夹角a,b 为上下底,h 为高,l 为两腰中点连线a,b,c,d 为四边长,为两对角线,为两对角线夹角 面积重心 G 在对角线交点上面积重心转动惯量转轴通过重心,且平行于上下底 (图(a ))当a=b 时(平行四边形)面积()()()()α2cos abcd d p c p b p a p -----=或α21,d d ϕ21,d d ϕαsin ab bh S ==ϕsin 2121d d =lh h b a S =+=)(21)(2sin 3b a ba h GQ ++=αb a ba h GP ++=2sin 3α),,,(AB CF CD AE QD CQ PB AP ====)(36)4(223b a b ab a h J +++=m h a h J 121223==)(21sin 2121221h h d d d S +==ϕ)(21d c b a p +++=)(21C A ∠+∠=α)(21D B ∠+∠=§2 圆与正多边形一、 与圆有关的各量计算公式⌒AMB BCA BAT 21=∠=∠=α式中⌒AMB 表示AMB 弧所对应的圆心角∠AOB 的角度(下同),C 为ANB 弧上的任意点.[两割线及其夹角γ])(21⌒⌒AC BD -=γAE ·BE= CE ·DE=ET 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∠=⌒⌒BD AC AEC 21βAE ·BE= CE ·DE=r 2-OE 2 式中r 为圆的半径.)(21''⌒⌒TAT TBT -=δ [圆内接四边形面积S ]O为圆心,r为半径,d为直径O为圆心,r为半径,d为直径r 为半径,b 为弦长,为弧s 所对应的圆心角的度数,为其弧度数,O 为圆心θα图形r 为半径,b 为弦长(b=2a ),h 为拱高,为圆心角度数,为圆心角弧度数,s 为弧长,O 为圆心R 为外半径,r 为内半径,D 为外直径,d 为内直径,O 为圆心 θα同前,为所对应的圆心角的度数,为其弧度数r 为半径,d 为直径,l 为圆心距,O O ',为新月形张开角度,为其弧度数 面积重心转动惯量 转轴与GO 重合(图(a ))面积 式中重心0.10.2 0.3 0.4 0.399 0.795 1.182 1.5560.5 0.6 0.7 0.8 0.91.9132.2472.5512.8153.024三、 正多边形各量换算公式与比例系数表n 为边数 R 为外接圆半径 R t r R ,,,θαθαR t r R S 180)(36022πθπθ=-=t R α=22sin322233ααr R r R GO --=22sin197.382233θθr R r R --≈)sin (844αα--=r R J m r R )sin (422ααα-+=)sin 180(2θπθπ+-=r S )sin (2ααπ+-=r η2r =θπθπηsin 180+-=l GO ηηπ23-=l GO ηηπ2'-=d l ηdl η为圆心角 S 为多边形面积重心G 与外接圆心O 重合正三角形 正方形 正五边形 正六边形正n 边形2233RRa2tan2αnr2cot 2αa正多边形各量比例系数表α⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n 360α243a 2433R 233r R 3a 33a 632a 22R 24r R 2a 22a 2125102541a +R 521021-a 5521021+a 552521+2233a 232r a 23αsin 22R n 2sin2αR 2sin2αa§3 实用几何作图一、 正多边形作图[已知边长作正三角形] 已知AB 等于边长.分别以A,B 为圆心,AB 为半径画弧交于C ,连接AC ,BC ,即为所求正三角形(图2.3).[已知边长作正方形] 已知AB 等于边长.以AB 外任一点O 为圆心,OA 为半径画圆交AB 于E .连接EO 并延长交圆于F ,连接AF 并延长截取AD=AB .分别以B ,D 为圆心,AB 为半径画弧交于C ,连接BC ,DC ,□ABCD 即为所求正方形(图2.4).[已知外接圆作正五边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ,CD ,平分OB 于E ,以E 为圆心,EC 为半径画弧交OA 于F ,以CF 为半径在圆周上顺次截段并连接各点,即为所求正五边形(图 2.5).也可参考正十边形作法(见图 2.11中的虚线).[已知边长作正五边形] 已知AB 等于边长.以A ,B 为圆心,AB 为半径画两圆交于C ,D ,连接CD .以D 为圆心,AB 为半径画圆,交CD 于E ,交A 圆于F ,交B 圆于G ,连接FE ,GE ,并延长交B ,A 圆于H ,I .分别以H ,I 为圆心,AB 为半径画弧交于J ,连接JI ,IA ,BH ,HJ ,连同AB 即为所求正五边形(图2.6).[已知外接圆作正六边形] 以外接圆半径在其圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正六边形(图2.7). ABC[已知边长作正六边形] 已知AB 等于边长,分别以A ,B 为圆心,AB 为半径画弧交于O ,以O 为圆心,AB 为半径画圆.再按上法可作出所求正六边形(图2.8).[已知外接圆作正七边形(近似作法)] 以圆周上任一点A 为圆心,以同圆半径为半径画弧交圆周于B ,C ,连接BC ,AO ,交于D .以BD 为半径(作图时应略大于BD )在圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正七边形(图2.9).[已知外接圆作正八边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ,CD .分别以A ,B ,D 为圆心,任意长为半径画弧交于E ,F ,连接EO ,FO ,并延长交圆于G ,H ,I ,J ,顺次连接八点,即为所求正八边形(图2.10).[已知外接圆作正十边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ,CD ,以OB 为直径画圆E ,连接EC 交E 圆于F .以CF 为半径在圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正十边形(图2.11).[已知外接圆作任意正多边形(近似作法)] 将直径AB n 等分(n 为边数),以A ,B 为圆心,AB 为半径画弧交于C ,连接C 与第二个分点E ,并延长交圆于D ,以AD 为半径在圆周上顺次截段,并连接各点,即为所求正n 边形(图2.12中为正九边形).二、 椭圆作图已知长短轴(2a,2b )作椭圆,其方法如下:[轨迹法] 作长轴AB =2a ,短轴CD =2b ,相互垂直平分交于O ,以D 为圆心,a 为半径画弧交AB 于.在两点钉上,F F ,F F线,移动铅笔所画出的曲线即为椭圆(图2.13).[焦点法] 同轨迹法一样,先画出点,将AB 8等分,中间各点为.分别以为圆心,为半径画弧,以为圆心,为半径画弧,两两相交于和.再将这些交点连同A ,B 一起用光滑曲线顺次连接,即近似于所求椭圆(图2.14).[压缩法] 用长短轴为直径画出两个同心圆,并将圆周12等分(小圆分点1~12,大圆分点对应为21~1'').连接018,117,42,51'-''-''-''-'和1-11,2-10,4-8,5-7,并延长,将51'-'与1-11,5-7;42'-'与2-10,4-8;117'-'与1-11,5-7;018'-'与2-10,4-8的交点(共8个),连同四个顶点一起,用光滑曲线顺次连接,即近似于所求椭圆(图2.15).[圆弧法] 作长轴AB=2a ,短轴CD=2b ,相互垂直平分交于O ,作OE=OA ,以C 为圆心,CE 为半径画弧交AC 于F ,作AF 的垂直平分线交AB 于G ,交CD 延长线于I .作OH=OG ,OJ=OI .分别以I ,J 为圆心,IC 为半径画弧,又分别以G ,H 为圆心,GA 为半径画弧,则四段弧相连即近似于所求椭圆(图2.16).三、 圆弧放样法在土木建筑工程中,由于受各种施工条件的限制,不能用圆规一转就画出圆弧,可采用下面方法在施工现场直接放大样.这种方法可在有限平面内放出任意大半径的圆弧实样,又便于工人同志掌握.[已知弦长和拱高作圆弧] 方法作AB 等于弦长,作CO 垂直平分AB ,并使CO 等于拱高,连接BC ,作BC 的中垂线DE .作的平分线交DE 于E ,在ED 延长线上取DF=DE ,则F 为的分点.由对称性,F 的对称点也是的分点.重复上述步骤,可得的各分点,将各分点以光滑曲线顺次连接,即为所求圆弧(图2.17).此方法概念明确,步骤较少,占地最少.方法作AB 等于弦长,作CO 垂直平分AB ,并使CO 等于拱高.作BC 的中垂线DF ,截OE=CD .过E 作AB 的垂线交DF 于F ,则F21,F F i K )71(≤≤i 1F i AK 2F i BK i M i N )62(≤≤i ︒1ABC ∠41'F 41,321,161,81︒211述步骤,可得的各分点,将各分点以光滑曲线顺次连接,即为所求圆弧(图2.18).此方法步骤最少.[已知弦长和圆弧上任一点作圆弧] 已知AB 为弦长,C 为已知圆弧上一点.以BC 为边作角()ABC CAB CBB ∠<<∠=∠αα1.再以AC 为边按相同方向作角α=∠1CAA .上的点.当取a 为一系列值时,便得到圆弧上一系列点,将各点以光滑曲线顺次连接,即为所求圆弧(图 2.19).此方法最适于采用经纬仪、罗盘仪来测放半径很大的圆弧.四、 几何作图问题所谓初等几何作图问题,是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出,例如正七边形、正九边形、正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能,哪些作图不可能呢?直到百余年前,用代数的方法彻底地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则:作图可能的充分必要条件是,这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力,企图解决所谓“几何三大问题”:立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积. 三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积. 后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.,321,161,81为交于1111,,C C BB AA ︒1︒2︒3§4 立体图形的体积、表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、 立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形体积V 、表面积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量*Ja 为棱长,d 为对角线a,b,h 分别为长,宽,高,d 为对角线体 积 3a V = 表面积 侧面积 对角线重 心 G 在对角线交点上体 积表面积 侧面积对角线重 心 G 在对角线交点上 转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标 轴分别平行三个棱边(当时,即为正方体的情况)表中m 为物体的质量,物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章,§3,五.26a S =24a M =a d 3=2aGQ =abh V =)(2bh ah ab S ++=)(2b a h M +=222h b a d ++=2h GQ =m h b J x )(12122+=m h a J y )(12122+=m b a J z )(12122+=m h b a J o )(121222++=h b a ==*a,b,c为边长,h为高a为底边长,h为高,d为对角线n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高a,b,c,p,q,r为棱长h为高a’,a分别为上下底边长,n为棱数,h为高,g为斜高重心(P为顶点,Q为底面的重心)体积式中分别为上下底面积重心(P,Q分别为上下底重心)体积表面积侧面积gaanM)'(2+=式中分别为上下底面积重心(P、Q分别为上下底重心)1111111128812222222222222cbacpqbpraqrV=PQGQ41=)''(3FFFFhV++=FF,''''3'24FFFFFFFFPQGQ++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++=2''13aaaahFVFFMS++='FF,'2222'''3'24aaaaaaaahGQ++++=两底为矩形,a’,b’,a,b分别为上下底边长,h为a为截头棱长高,1底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长r为半径[半球体]r为半径,O为球心r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,α为锥角(弧度)r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高[球台]r为球半径,a',a分别为上下底圆的半径,h为高R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d为圆截面直径[圆柱体]r为底面半径,h为高R为外半径,r为内半径,h为高r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度,α为截角,D为截头椭圆轴h为截段最大高度,b为底面拱高,2a为底面弦长,r为底面半径,α2为弧所对圆心角(弧度) a,b,c为半轴r为底圆半径,h为高,l为母线r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线F为上下底平行,F',F分别为上,下底面积,中截面面积,h为高d为上,下底圆直径,D为中截面直径,h为高二、多面体[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]4 8 12 20[欧拉公式] 一个多面体的面数为f,棱数为k,顶点数为e,它们之间满足ke-f+=2。
数学几何运算公式
几何学是数学的一个重要分支,研究空间的形状、大小以及它们之
间的关系。
几何学可分为平面几何和立体几何两个方面。
在几何学中,运用丰富的公式可以帮助我们解决各种几何问题。
本文将介绍一些常
用的数学几何运算公式。
一、平面几何运算公式
1. 点积公式:
点积是向量运算中的一种运算,表示两个向量之间的夹角关系。
设
A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点,则点积公式为:AB = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)
2. 向量差公式:
向量差是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连得到的向量。
设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点,则向量AB
的坐标表示为:
AB = (x₂-x₁, y₂-y₁)
3. 中点公式:
中点是指连接线段两个端点的中垂线与线段的交点。
设A(x₁, y₁)
和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点,则线段AB的中点的坐标
表示为:
M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
4. 距离公式:
距离是指两点之间的直线距离,也叫作线段的长度。
设A(x₁, y₁)
和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点,则线段AB的长度为:AB = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)
二、立体几何运算公式
1. 体积公式:
体积是指立体图形所包围的三维空间的容积大小。
不同立体图形的
体积计算公式各不相同,下面是一些常见立体图形的体积计算公式:- 立方体的体积公式:V = a³,其中a为立方体的边长。
- 圆柱体的体积公式:V = πr²h,其中r为底面半径,h为高。
- 圆锥体的体积公式:V = (1/3)πr²h,其中r为底面半径,h为高。
2. 表面积公式:
表面积是指立体图形表面所覆盖的面积大小。
不同立体图形的表面
积计算公式各不相同,下面是一些常见立体图形的表面积计算公式:- 立方体的表面积公式:S = 6a²,其中a为立方体的边长。
- 圆柱体的表面积公式:S = 2πrh + 2πr²,其中r为底面半径,h为高。
- 圆锥体的表面积公式:S = πr(l+r),其中r为底面半径,l为斜高。
总结:
以上是一些常用的数学几何运算公式,通过这些公式,我们可以计算出不同图形的大小、角度和距离等数值结果。
熟练掌握这些公式,能够帮助我们在解决几何问题时更加高效准确地进行计算。
在实际应用中,我们可以根据问题的具体情况选择合适的公式进行运算,以达到求解的目的。