高中数学练习题及答案

高中数学阅读专题练习及详细答案引言
本文档为高中数学阅读专题练提供了详细答案，旨在帮助学生
巩固数学知识，提高解题能力。

以下是各个专题的练题和答案。

专题一：函数与方程
1. 问题：给定函数f(x) = 2x + 3，求函数f(x)的根。

答案：函数f(x)的根为x = -1.5。

2. 问题：判断方程2x + 3 = 4x - 1的解的情况，并求出方程的解。

答案：方程2x + 3 = 4x - 1的解为x = 2。

专题二：几何与三角函数
1. 问题：已知三角形ABC，且∠ABC = 90°，AB = 3，AC = 4，求出三角形ABC的斜边BC的长度。

答案：根据勾股定理，三角形ABC的斜边BC的长度为5。

2. 问题：已知sinθ = 1/2，求θ的取值范围。

答案：根据正弦函数的性质，θ的取值范围为θ = π/6 + 2πn，其中n为整数。

专题三：数列与数学归纳法
1. 问题：已知数列{an}满足a1 = 3，an+1 = an + 2，求数列{an}的前5项。

答案：数列{an}的前5项分别为3, 5, 7, 9, 11。

2. 问题：已知数列{bn}满足b1 = 1，bn+1 = bn^2，求数列{bn}的前4项。

答案：数列{bn}的前4项分别为1, 1, 1, 1。

结论
本文档提供了高中数学阅读专题练习的详细答案，涵盖了函数与方程、几何与三角函数、数列与数学归纳法等专题。

通过使用本
文档的答案，学生可以巩固数学知识，提高解题能力。

希望本文档能对高中数学学习有所帮助。

D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值；（2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22nn n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <．10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<．11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．给出以下三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；①对于*n N ∀∈，点(,)n n S 均在函数2x y a =-的图象上，其中a 为常数；①37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠的等比数列，且它的首项11a =，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令*22log 1()n n b a n N =+∈，证明数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n T <．20．在①133a a b +=，①52a =-，①254b S b +=-这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的m 存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列， ， ，且12b =，2312b b +=．是否存在大于2的正整数m ，使得14S ，3S ，m S 成等比数列？21．在①2213(0)n n n a a a +-=>，①211390n n n n a a a a -----=，①222n S n n =-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =， ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．22．在①21n n S b =-，①14(2)n n b b n --=，①12(2)n n b b n -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由． 已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ， ，是否存在k ，使得对任意*n N ∈，n n k k a b a b 恒成立？23．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ①数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =时，设12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．在①44a b =，①624S =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；①M ，T ，N ；①N ，T ，M ；①T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题． 已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且___依次成等差数列． （①）求{}n a 的通项公式；（①）设,01,1,1,n n n n na ab a a <⎧⎪=⎨>⎪⎩数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1(0n n S pa p +=≠且1p ≠-，*)n N ∈． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +①2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，求p 的值．27．设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______．请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，①69a =，①535S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足1(1)n a n n n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．28．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且 ______（①1a ，2a ，4a 成等比数列；①(3)2n n n S +=；①926a =任选一个条件填入上空）． 设3n a n b =，nn n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．29．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；①1S ，22S +，3S 成等差数列；①12n n a S +=+中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．30．在①36S a =，①420S =，①14724a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a =，____． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n n b a =+，求{}n b 的前n 项和n T ．31．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，15b a =，23b =，581b =-． （1）求数列{}n b 的通项公式：（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①132b b a +=，①44a b =这两个条件中任选一个，补充在题干条件中，是否存在k ，使得1k k S S +>且21k k S S ++>？若问题中的k 存在，求k 的值；着k 不存在，说明理由．32．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，315S =，0n a >，1d >，且______从“①21a -为11a -与31a +的等比中项”，“①等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T ．33．在①312S =，①2123a a -=，①824a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，__，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且21b a =，44b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．34．在①4516a a +=；①39S =；①2(n S n r r =+为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个评分）．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项的和．35．已知{}n a 为等差数列，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122a b ==，2810a a +=，_____．在①1()n n S b R λλ=-∈；①43212a S S S =-+；①2()n a n b R λλ=∈．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．36．在①5CA CB =-，①ABC ∆的面积为-一个，补充在下面问题中，并解决该问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ， 已知sin sin 1sin sin sin sin A CB C A B+=++，_______，且1b =．（1）求ABC ∆的周长；（2）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，数列{}n b 为等比数列，1cos 1a A =，且11b a =，23b a =，37b a =．若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且113c =，111n n n n n a c b a a -+=-．2n ． 证明：116n S <． 注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》答案解析1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，选①：由1a ，3a ，7a 成等比数列得22111(6)(2)a a d a d +=+， 化简得20d dd =≠，11n d a n ∴=∴=+，于是1(1)2n n b n -=+，∴21213242(1)2n n T n -=+++⋯++，232223242(1)2n n T n =+++⋯++，相减得：212222(1)22n n n n T n n --=+++⋯+-+=-，∴2n n T n =；选①：()()()13122,122n n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+时，1n =时，12a =，符合上式，1n a n ∴=+，下同①； 选①：81281a a d -==-，22(1)2n a n n ∴=+-=， ∴2n n b n =，231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+， 234121222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯+，相减得2311122222222n n n n n T n n +++-=+++⋯+-=--，∴1(1)22n n T n +=-+．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， 22b =，3433a a b += ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 解： 选择①（1）35a =，2526a a b +=，11a b =，d q =，111251256a d d a d a d +=⎧>∴⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），∴112b q =⎧⎨=⎩，1(1)21n n d n αα∴=+--=-，1112n n n b b q --==，（2）n n n a c b =，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212n n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．选择①22b =，3433a a b +=；（1）设11a b t ==，1d q =>，由22b =，3433a a b +=，可得2tq =，2253t d tq +=， 又d q =，解得2d q ==，1t =， 可得12(1)21n a n n =+-=-；12n n b -=； （2）11(21)()2n n n n a c n b -==-， 前n 项和11111135(21)()242n n T n -=+++⋯+-， 11111135(21)()22482n n T n =+++⋯+-， 两式相减可得21111111()(21)()22422n n n T n -=++++⋯+--，111121(1)()1212n n n --=+---， 化简可得116(23)()2n n T n -=-+．选择①39S ∴=，4528a a b +=，11a b =，d q =，1d >，∴1113278a d a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，1112n n n b b q --==．（2）11211(21)()22n n n n n n a n c c n b ---=∴==-⨯， 2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212m n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则 115121736a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，*n N ∈．（2）方案一：选条件① 由（1）知，144122(1)(1)n n n b a a n n n n +===++， 12n n S b b b =++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 方案二：选条件①由（1）知，(1)(1)2n n n n b a n =-=-，122468(1)2n n n S b b b n ∴=++⋯+=-+-+-⋯+-，()i 当n 为偶数时， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(1)2]n n =-++-++⋯+--+222=++⋯+22n =⨯ n =，()ii 当n 为奇数时，1n -为偶数， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(2)2(1)]2n n n =-++-++⋯+--+--2222n =++⋯+-1222n n -=⨯- 1n =--，,,1,.n n n S n n ⎧∴=⎨--⎩为偶数为奇数；方案三：选条件①由（1）知，222224n a n n n n b a n n ===，1231224446424n n n S b b b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 231424442(1)424n n n S n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，两式相减，可得123132424242424n n n S n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ 12118(1444)24n n n -+=⨯+++⋯+-⨯11482414nn n +-=⨯-⨯-12(13)8433n n +-=-．12(31)8499n n n S +-∴=+． 4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ①① ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值； （2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．解：（1）①若选择①①； 由题知：6650a S S =-=， 又因为15535()5152a a S a +===-，所以33a =-． 所以6333d a a =-=，解得1d =． 所以6(6)6n a a n n =+-=-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①；由题知：5541a S S =-=-， 又因为15535()5152a a S a +===-， 所以33a =-．所以5322d a a =-=，1d =． 所以3(3)6n a a n d n =+-=-． 所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①； 由题知：1666()152a a S +==-，所以161255a a a d +=+=- 由题知：1444()142a a S +==-，所以141237a a a d +=+=-所以15a =-，1d =． 所以6n a n =-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==-． 证明（2）因为6n a n =-， 所以671111(1)1n n a a n n n n ++==-++ 所以11111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-<++． 5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22nn n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 解：选择①2(1)n n S n a =+，112(2)n n S n a ++∴=+，相减可得：112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，∴11n na a n n+=+， ∴111n a a n ==，可得：n a n =． 2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++∴==． 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(3)2k k k ++∴=，*k N ∈，解得6k =．选择(2)n a n =，1n n S S -=-=，0n S >1=，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴11n n =+-=，解得2n S n =．2n ∴时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．2(2)(123)(2)(2)2k k k S k k ++++∴==++1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，22(21)(2)k k ∴-=+，*k N ∈，解得3k =． 选择①0n a >，22n n n a a S +=，∴21112n n n a a S ++++=，相减可得：221112n n n n n a a a a a ++++--=，化为：11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 可得：11n n a a +-=，∴数列{}n a 是首项与公差都为1的等差数列，11n a n n ∴=+-=．(1)2n n n S +∴=， 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(12)2k k k +++∴=，*k N ∈，解得6k =．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则11265,4347,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,1,2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：243n S n n =+，∴当2n 时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+即1(2)2n n a n +=， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则112115(46)14(2),9(4)(2),2a d a d a d a d ⨯+=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =，12d =，或10a =，0d =，不合题意，舍去， ∴12n n a +=，*n N ∈； （2）由（1）可知，22214112()(21)(23)2123n n n b a a n n n n +===-++++，∴121111112()35572123n n T b b b n n =++⋯+=-+-+⋯+-++ 1142()32369nn n =-=++． 7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）若选择条件①12a =，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件①11a =，则放在第一行的第二列，结合条件可得11a =，24a =，37a =，则32n a n =-，则*n N ∈，若选择条件①13a =，则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可得32n a n =-，则*n N ∈， （2）由（1）知，12(1)(32)n n b n +=--， 当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -∴=+++⋯+=-+-+⋯+-，1212343411()()()()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-++-+⋯+-+，2123(132)933()3222n n n a a a a n n +-=-+++⋯+=-⨯=-+，当n 为奇数时，22219393(1)(1)(32)22222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=--，2293,22932,22n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪∴=⎨⎪--⎪⎩为偶数为奇数 8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 解：选①：当1n =时，112a S ==，当2n 时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =； 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①：设公差为d ，由1353512616,16,42,81342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩得解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =．由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①： 由11111,,,11n n n n n n a a a a an a a n a n n n n +++====+得所以即，74172856S a a ===，所以12a =，所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12,2,2n n b q b ===所以． 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <． 解：（1）若选择①2342a a a +=，可得231112a q a q a q +=，化为220q q --=，解得2(1q =-舍去），又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； 选择①22n n S a =-，可得11122a S a ==-，解得12a =，又122222a a S a +==-，解得24a =，可得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n nn b a ==++； 选择①425S S =，可得4211(1)(1)511a q a q q q--=--，即215q +=，解得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； （2）证明：111211(21)(21)2121n n n n n n n n a b b +++==-++++， 2231111111111()()()212121212121321n n n n T ++=-+-+⋯+-=-+++++++， 由11021n +>+，可得13n T <． 10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<． 解：选择①①：（1）解：由131n n S S +=+⇒当2n 时，有131n n S S -=+，两式相减得：13n n a a +=，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有2112313()S S a a =+=+，又219a =，113a ∴=，2113a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 选择：①①：（1）解：由1213n n S a +=-⇒当2n 时，1213n n S a -=-，两式相减得：1233n n n a a a +=-+，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有1212132S a a =-=，又219a =，113a ∴=，2113a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：选①，由已知142n n S S +=+⋯①， 当2n 时，142n n S S -=+⋯①，①-①可得14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++． ∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知2132n n S λ+==+⋯①211.32n n S λ--==+⋯①， ①-①可得21212132232n n n n a +--=-=． 当1n =时，12a =满足212n n a -=．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++． ∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知132n n S a +=-⋯①， 当2n 时，12n n S S -=-⋯①， ①-①可得14n n a a +=，当1n =时，可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++．∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ． 解：方案一：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--= 解得2q =或1q =-，0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为435d a b b =+，5462a b b =+，∴113431316b d b d +=⎧⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）由（1）可知：12,n n n a b n -==，012111221222(1)22n n n n n T a b a b a b n n --∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，∴12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）∴1211212222221212nn nn n n n T n n n ---=+++⋯+-⨯=-⨯=--⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-（9分）∴(1)21n n T n =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）方案二：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=． 解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ，435a b b =+，135141344()235b d a a b b b d +=⎧+=+∴⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）． 方案三：选条件①（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=，解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ． 435a b b =+，4235S a b =，∴11340b d b d +=⎧⎨-=⎩解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）{}n a 是公差d 为2的等差数列，若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，可得42212S a a =+， 即有112(46)221a d a d +=+，即为16918a d ==，解得13a =； 若①7a 是33S 与22a 的等比中项，可得2732213a S a =，即21111(62)(332)(212)3a a a +⨯=+⨯+⨯， 即2111(12)(2)(42)a a a +=++， 解得13a =；若选①数列2{}n a 的前5项和为65，可得241065a a a ++⋯+=， 即1115(13579)52555065a d a d a +++++=+=+=， 解得13a =；综上可得32(1)21n a n n =+-=+，*n N ∈；（2）33()(21)()44n n n n b a n ==+，由1133523(23)()(21)()()4444n n nn n n b b n n ++--=+-+=，当1n =，2时，可得10n n b b +->，即321b b b >>；当3n ，*n N ∈时，可得10n n b b +-<，即345b b b >>>⋯， 则n b 的最大项为318964b =， 由18927648<， 可得不存在k N ∈，使得278k b >． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：选条件①： （1）数列1{}n S a +为等比数列，2211131()()()S a S a S a ∴+=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++．设等比数列{}n a 的公比为q ，22(2)2(2)q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍)，1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）点(n S ，1)n a +在直线1y x =+，11n n a S +∴=+，又11(2,)n n a S n n N -=+∈，两式相减有：12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列．1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）1121222n n n n a a a na -+++⋯+=，12121222(1)(2)n n n n a a a n a n ---∴++⋯+=-． 由两式相减可得：122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列． 1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2351a a a b +=-，3d ∴=，31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2372a a a =，(2)(22)2(26)d d d ∴++=+，0d >，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又315S =，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：方案一：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，53A B =，∴112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）由（1）知， 331122()(21)(23)22123n n n c n n n n =+=+-++++，12n n S c c c ∴=++⋯+2311311311[2()][2()][2()]23525722123n n n =+-++-+⋯++-++23111111(222)[()()()]235572123n n n =++⋯++-+-+⋯+-++2(12)311()122323n n -=+--+13(2)223n n n ++=-+． 方案二：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且21221143,A a aB =-=，∴111114232a a d d ⎪⎨-=⎪+⨯+⎩， 整理，得()()1111231,4621a d a a a d d d d +==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解得，11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程． 方案三：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，535B =， ∴11231,541352352a d a d d +=⎧=⎧⎪⎨⎨⨯=⨯+⨯=⎩⎪⎩解得， 11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解：由21n n T b =-，可得1n =时，11b =；2n 时，1121n n T b --=-，相减可得122n n n b b b -=-，1n n -由此可得{}n b 为首项为1，公比为2的等比数列，故12n n b -=， ①当535a b b =+，1632a b ==，541620a =+=， 设{}n a 的公差为d ，则20324d =+，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当387S =时，132a =，2387a =，设{}n a 的公差为d ，则3(32)87d +=，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当91012a a b b -=+时，132a =，9103a a -=， 设{}n a 的公差为d ，则3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）。