八年级数学上册第二章

第二章：实数知识梳理1.平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；即:当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：（1）当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；（2）当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

（3）当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x=（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？2.算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例1.（1）下列说确的是 （ ）A.1的算数平方根是1±B.24±=；C.81的平方根是3±D.0没有平方根（2）下列各式正确的是（） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=- （3）2)3(-的算术平方根是。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值围。

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。

求x － y 的值.3.立方根（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3a ，读作，3次根号a 。

注意：这里的3表示的是开根的次数。

一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

其中正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（4）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。

求A －B 的平方根。

4.无理数（1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：①特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；②开方开不尽的数，如:39,5,2等；③特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（2）有理数与无理数的区别：①有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；②所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.141、②……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。

（填序号）……,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 54.实数（1）有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

（4）实数的运算：在实数围，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一致。

例5.（1）下列说确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。

（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、b a -B 、abC 、b a +D 、a b -（3）比较大小(填“>”或“<”).3-320， 76______67， 215-21， （4）数2,3-- 的大小关系是 ( )A. 32<-<-B. 32-<-C. 23-<-D. 32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。

（6）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -=。

（7）计算： 32278115.041--+323811613125.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-+- （8）已知：()()064.01,121732-=+=-y x ， 求代数式3245102y y x x ++--的值。

6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ①211111*********2=+-+=++ ②6111212113121122=+-+=++ ③12111313114131122=+-+=++，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想2251411++的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。

课后练习一、考查题型：1．－1的相反数的倒数是2．已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数3．数－3．14与－Л的大小关系是4．和数轴上的点成一一对应关系的是5．和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是6．在实数中Л,－25,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有（）（A）1 个（B）2个（C）3个（D）4个7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数8．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（）（A）x＋3 （B）－x－3 （C）－x＋3 （D）x－39．下列说确是（）（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a（2） bc和ad二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是－1；（）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－227,0，－9 ,－3－18, －Л2,8 ,( 2 － 3 )0，3－2，ctg45°,．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1<x<2，则|x－3|+(1-x)2等于（）（A）－2x （B）2 （C）2x （D）－24．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3, 2 －1， 3，－ 0．3， 3－1， 1 + 2 ， 31 3互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－ 2 ）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求|a+b|2m2+1+4m-3cd=。

*7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜a+2＝0，求ａ＋ｂ=。

三、解题指导：1．下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数（B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数（D）不带拫号的数一定不是无理数。

2．和数轴上的点一一对应的数是（）（A）整数（B）有理数（C）无理数（D）实数3．零是（）（A）最小的有理数（B）绝对值最小的实数（C）最小的自然数（D）最小的整数4.如果a是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是1a，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，其中正确的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 *5．比较下列各组数的大小：（1）3445(2)323 12 (3)a<b<0时,1a1b6．若a,b满足|4-a2|+a+ba+2=0,则2a+3ba的值是*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c| （1）判定a+b,a+c,c-b的符号（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12．把下列语句译成式子：（1）a是负数；（2）a、b两数异号；（3）a、b互为相反数；（4）a、b互为倒数；(5)x与y的平方和是非负数；（6）c、d两数中至少有一个为零；（7）a、b两数均不为0。

2 ，3 ，－ 5 的点。

四．独立训练：1．0的相反数是，3－л的相反数是，3－8 的相反数是；－л的绝对值是，0 的绝对值是， 2 － 3 的倒数是2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是。