专题六 不 等 式

2018届高三数学成功在我专题六不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． (一)函数性质法1.一次函数——单调性法给定一次函数()()0y f x ax b a ==+≠,若()y f x =在[],m n 内恒有()0f x >,则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）0,()0.a f n <⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩同理,若在[],m n 内恒有()0f x <,则有()()0,0.f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩【例1】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果． 2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 主要有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或 【例2】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段期中】对于任意实数x ，不等式()()222240a x a ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. (]2,2- D. ()2,2- 【答案】C【点评】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在x 轴的下方，故抛物线开口向下且和x 轴没交点，即判别式小于0.综合两种情况可得所求范围.【小试牛刀】已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在R 上有零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间⎣⎡⎦⎤12，32内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题,求实数a 的取值范围．【解析】p 真时,Δ＝4a 2－4≥0⇒a ≥1或a ≤－1.则p 假时,－1＜a ＜1.q 真时,令g (x )＝x 2＋3(a ＋1)x ＋2,则⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12≤0，g ⎝⎛⎭⎫32≤0，得a ≤－52.则q 假时,a ＞－52.而p 且q 为假,即p 与q 一真一假或同假．当p 真q 假时,－52＜a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时,无解；当p 假q 假时,－1＜a ＜1.综上得a ＞－52.3.其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）． 【例3】已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a ,b 为常数． （1）试确定a ,b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围．【分析】22)(c x f -≥恒成立,即 2min ()2f x c ≥-,要解决此题关键是求min ()f x ,0>x ．【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数()()()112210x a f x a e a a x++=+-+>,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-. 【解析】（1）由已知得()()01,ln ln 1ln1xx G x x x x'<<=--=-．令()0G x '<,得102x <<；令()0G x '>,得112x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭． （2）由（1）中ln 2c =-得()()121x a f x a e a x+=+-+． 所以()()221x ax e a f x x -+'=．令()()21xg x ax e a =-+,则()()20xg x ax x e '=+>．所以()g x 在()0,+∞上单调递增,因为()()01g a =-+,且当x →+∞时,()0g x >,所以存在()00,x ∈+∞,使()00g x =,且()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增．因为()()020010xg x ax e a =-+=,所以0201x ax ea =+,即0201x a a e x +=,因为对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,所以()()()00min 01210xa f x f x a e a x +==+-+≥． 所以()20011210a a a x x +++-+≥,即2001120x x +-≥,亦即200210x x --≤,所以0112x -≤≤． 因为0201x ax e a =+,所以02011x a x e a+=>, 又00x >,所以001x <≤,从而020x x ee ≤,所以11a e a +<≤,故11a e ≥-． (二)分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4.】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知函数()ln f x x x =,2()3g x x ax =-+-. （1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围； （3）探讨函数12()ln x F x x e ex=-+是否存在零点？若存在,求出函数()F x 的零点；若不存在,请说明理由. 【分析】(1)求函数()f x 的层数可得()ln 1f x x '=+,并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间(0,)+∞上的最小值为()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,分别讨论当1[,2]t t e ∈+与1[,2]t t e ∉+时函数在区间[,2]t t +上的单调性与最小值即可；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立32ln a x x x⇔≤++,构造函数()()32ln 0h x x x x x =++>,求函数()h x 的最小值即可；(3) ()0F x =12ln 0x x e ex⇔-+= ()2ln 0x x x x x e e⇔=->,由（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e -,构造函数()()20x x x x e e ϕ=->,求其导数,研究函数()()20x x x x e e ϕ=->的单调性与最值可知()()min max11()x f x eϕϕ==-≤,且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等,所以有()()f x x ϕ>,即两个函数无公共点,即函数()F x 无零点. 【解析】（Ⅰ）()ln 1f x x '=+,由()'0f x <得,10x e <<,由()'0f x >得1x e>,∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当10t e <≤时,()min 1112,t f x f e e e ⎛⎫+>∴==- ⎪⎝⎭；当1t e >时,()f x 在[],2t t +上单调递增,()()min ln f x f t t t ==,()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪∴=⎨⎪>⎪⎩（Ⅲ）令()0F x =,得12ln 0x x e ex -+=,即()2ln 0xx x x x e e=->, 当（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e-, 设()()20x x x x e e ϕ=->,则()'1xx x e ϕ-=,易知()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减, ∴当且仅当1x =时,()x ϕ取最大值,且()11eϕ=-, ∴对()0,x ∈+∞都有12ln x x e ex >-,即()12ln 0x F x x e ex=-+>恒成立, 故函数()F x 无零点.【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知函数()1xxf x e -=． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程和函数()f x 的极值：（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞,都有()()1221f x f x e-≥-成立,求实数a 的最小值． 【答案】（1）切线方程为210x y +-=,函数()f x 在2x =时,取得极小值21e-（2）1【解析】（1）因为()2x x f x e-'=,所以()02f '=-,因为()01f =,所以曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y +-=． 由()2xx f x -'=解得2x =,则()f x '及()f x 的变化情况如下：所以函数()f x 在2x =时,取得极小值2e -． （2）由题设知：当1x >时,()10x x f x e -=<,当1x <时,()10x xf x e-=>,若1a <,令[)122,,1x x a =∈,则[)12,,x x a ∈+∞,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e >⇔-<⇔-<==-,显然不符合题设要求．．．9分 若1a ≥,对[)()()1212,,,0,0x x a f x f x ∀∈+∞≤≤,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e≤⇔-≥⇔-≥≥=-, 显然,当1a ≥,对[)12,,x x a ∀∈+∞,不等式()()1221f x f x e -≥-恒成立, 综上可知,a 的最小值为1． (三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当11a -≤≤时,2(4)420x a x a +-+-> 恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数【解析】设2()(2)(44)f a x a x x =-+-+,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即22560320x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞. 【小试牛刀】已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++,()()g x f x '=,且对任意的实数 t 均有(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤． (Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有2()11f x x mx ≥--,求x 的取值范围．【解析】(Ⅰ) 2()()318cos 48cos g x f x x x αβ'==-+,,01cos 2,t R t ∀∈≤+≤23sin 4t ≤+≤,而(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤恒成立．则由二次函数性质得(2)0(4)0g g =⎧⎨≤⎩ ,解得cos 1α=,1cos 2β=,sin 0α= ∴ 32()924f x x x x =-+．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．【小试牛刀】若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围．【解析】由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,在同一坐标系内,分别作出函数23y x =和log a y x =的图像,观察两函数图像,当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,若1a >函数log a y x =的图像显然在函数23y x =图像的下方,∴不成立；当01a <<时,由图可知,log a y x =的图像必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或在这个点的上方,则11log 33a≥, 127a ∴≥,1127a ∴>≥． 综上得：1127a >≥．(五)消元转化法【例7】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时,若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数t 的取值范围．【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决．上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”． 二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立,则等价于在区间D 上()maxf x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立,则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看,含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()maxD x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>,而含参不等式()f x k<()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()minDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()maxDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔>．【例8】已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )＋g (x )＝(12)x 错误！未找到引用源。

专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。

专题六 复数 不等式 理科数学1．（重庆理1）复数2341i i ii++=-A ．1122i-- B ．1122i-+ C ．1122i-D ．1122i+【答案】C2．（浙江理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则=A ．3-iB ．3+iC ．1+3iD ．3【答案】A3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131ii --=A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i --【答案】B 4.（四川理2）复数1i i -+=A ．2i -B ．12iC ．0D ．2i【答案】A 【解析】12i i i ii-+=--=-5.（山东理2）复数z=22ii -+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D6.（全国新课标理1）（1）复数212ii +=-（A ）35i- （B ） 35i（C ）i - （D ）i【答案】C7.（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= A ．2i - B ．i -C ．iD ．2i【答案】B8.（辽宁理1）a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a（A ）2 （B （C（D ）1【答案】B 9.（江西理1）若i z i1+2=，则复数z = A ． i -2- B ． i -2+C ． i 2-D ． i 2+【答案】D10.（湖南理1）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-【答案】D11.（湖北理1）i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭= A ．- i B ．-1C ．iD ．1【答案】A12.（福建理1）i 是虚数单位，若集合S=}{ 1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈ D ．2Si∈【答案】B13.（广东理1）设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B ．1i -C ．22i +D ．22i -【答案】B14.（北京理2）复数212i i -=+A ．iB ．-iC ．4355i-- D ．4355i -+ 【答案】A15.（安徽理1）设 i 是虚数单位，复数aii 1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 （B ） -2 （C ）1-2（D ） 12【答案】A16.（江苏3）设复数ｚ满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 【答案】117.（上海理19）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。

专题六 不等式，推理与证明1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列解析：选B.在△A 1B 1C 1中，b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1， ∴b 1>a 1>c 1.在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，∴c 1<b 2<a 1<c 2<b 1.在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝b 2＋a 12，b 3＋c 3＝2a 1，∴a 1<b 3<c 2，b 2<c 3<a 1， ∴c 1<b 2<c 3<a 1<b 3<c 2<b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时△A n B n C n 面积最大．2．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B. 4．(2013·高考大纲全国卷)不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选D.由|x 2－2|<2，得－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，所以－2<x <0或0<x <2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1－22，12)C ．(1－22，13]D ．[13，12)解析：选B.由题意画出图形，如图(1)． 由图可知，直线BC 的方程为x ＋y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，解得M (1－b a ＋1，a ＋b a ＋1)．可求N (0，b )，D(－ba，0)．∵直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴S △B D M ＝12S △ABC .又S △BOC ＝12S △ABC ，∴S △CMN ＝S △O D N ，即12×|－b a |×b ＝12(1－b )×(1－b a ＋1)． 整理得b 2a ＝(1－b )2a ＋1.∴(1－b )2b 2＝1＋a a，∴1b －1＝ 1＋1a ， ∴1b ＝ 1＋1a＋1， 即b ＝11＋1a＋1，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →＋∞时，b →12，即b <12.当a →0时，直线y ＝ax ＋b 接近于y ＝b .当y ＝b 时，如图(2)，S △CDM S △ABC ＝CN 2CO2＝(1－b )212＝12.∴1－b ＝22，∴b ＝1－22.∴b >1－22.由上分析可知1－22<b <12，故选B.6．(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.94解析：选C.z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2.7．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C.如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)． 当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.8．(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x＋1y －2z的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94D ．3 解析：选B.z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－(1y －1)2＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1. 9．(2013·高考北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选D.A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确；B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·[(a ＋b 2)2＋34b 2]，因为(a ＋b 2)2＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故正确．10．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg2 }D ．{x |x <－lg 2}解析：选D.由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}．而f (10x )>0，∴－1<10x <12，解得x <lg 12，即x <－lg 2.11．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0，表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)解析：选C.当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此，m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.12．(2013·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A.画出可行域(如图)，由z ＝y －2x 得y ＝2x ＋z ，由图形可知，当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5,3)时，z 取得最小值，最小值为z min ＝3－10＝－7.13．(2013·高考福建卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0解析：选B.作出可行域如图阴影部分．作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，∴z min ＝2，z max ＝4.14．(2013·高考福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y ≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]． 15.(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝ |x |与y ＝ 2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值是( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2 解析：选A.曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y )的值在逐渐变小，当l 通过点A (－2,2)时，(2x －y )min ＝－6.16．(2013·高考陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数， 则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ]解析：选D.选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]．选项B ，取x ＝1.5，则[x ＋12]＝[2]＝2≠[1.5]＝1.选项C ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]． 17．(2013·高考天津卷)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析：选A.∵⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，∴f (a )<f (0)，∴a (1＋a |a |)<0，解得－1<a <0，可排除C. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－12＋a <f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎝⎛⎭⎫1＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－12⎝⎛⎭⎫1＋a 2， ∴a ⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－54a .∵－1<a <0，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a >－54， ∴－⎝⎛⎭⎫－12＋a 2>－54，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a 2<54， ∴1－52<a <0.排除B ，D.故选A.18．(2013·高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53D.52解析：选C.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y ＝－12x ＋12z ，可知该直线经过y ＝2x 与x ＋y ＝1的交点A (13，23)时，z 有最大值为13＋43＝53.19．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选A.由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x<x 2，即⎩⎨⎧x 2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，综合知x <－1.20．(2013·高考湖北卷)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元 解析：选C.设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．21．(2013·高考重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92C ．3 D.322解析：选B.(3－a )(a ＋6)＝ －a 2－3a ＋18＝ －⎝⎛⎭⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝ －⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)有最大值92.22．(2013·高考四川卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：选C.先将不等式2y －x ≤4转化为x －2y ≥－4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y ＝x 5＋z5的最优解，进而求得a ，b 的值．∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，x －2y ≥－4，x ≥0，y ≥0，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z ＝5y －x ，得y ＝x 5＋z5.由图知目标函数y ＝x 5＋z5，过点A (8,0)时，z min ＝5y －x ＝5×0－8＝－8，即b ＝－8.目标函数y ＝x 5＋z5过点B (4,4)时，z max ＝5y －x ＝5×4－4＝16，即a ＝16.∴a －b ＝16－(－8)＝24，故选C. 23．(2013·高考重庆卷)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152解析：选A.由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)，即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )．由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52，故选A.24．(2013·高考大纲全国卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．解析：由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1,1)时，z min ＝－1＋1＝0.答案：025．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0，所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：如图所示，M 为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM |的最小值＝22＝ 2.答案： 2 26．(2013·高考江苏卷)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．解析：由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A (12，0)，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是[－2，12]．答案：[－2，12]27．(2013·高考大纲全国卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域为D ，若直线y＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．解析：不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C (0，43)．直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a .由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.答案：[12，4]28．(2013·高考山东卷)定义“正对数”：ln ＋x ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题： ①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋(a b )≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析：①当a >1时，∵b >0，∴a b >1，∴ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a .当0<a <1时，∵b >0，∴a b <1，∴ln ＋(a b )＝0.又ln ＋a ＝0，∴b ln ＋a ＝0，∴ln ＋(a b )＝b ln ＋a . 故①正确．②当a ＝2，b ＝14时，ln ＋(ab )＝ln ＋12＝0，而ln ＋a ＝ln 2，ln ＋b ＝0，从而ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln 2.故②不成立．③a.当0<a ≤1,0<b ≤1时，ln ＋a －ln ＋b ＝0－0＝0，而ln ＋(a b )≥0，∴ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b .b ．当0<a ≤1，b >1时，ln ＋a －ln ＋b ＝－ln ＋b <0.而ln ＋(a b )＝0，∴ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b .c ．当a >1,0<b ≤1时，a b ≥a >1，∴ln ＋(a b )＝ln(a b)≥ln a ＝ln ＋a ＝ln ＋a －ln ＋b .∴ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b .d ．当a >1，b >1，且a <b 时，ln ＋(a b )＝0，ln ＋a －ln ＋b <0，∴ln ＋(a b )≥ln ＋a －ln ＋b .e ．当a >1，b >1，且a >b 时，a b >1，∴ln ＋(a b )＝ln(a b)＝ln a －ln b ＝ln ＋a －ln ＋b .综上：ln ＋(a b)≥ln ＋a －ln ＋b ，故③正确．④a.当0<a ＋b ≤1时，0<a ≤1,0<b ≤1，∴ln ＋(a ＋b )＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝0＋0＋ln 2>0.∴ln ＋(a ＋b )<ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.b ．当a ＋b >1时，分以下三种情况：(ⅰ)当0<a ≤1，b ≥1时，∵a ＋b ≤1＋b ≤b ＋b ＝2b ，∴ln ＋(a ＋b )＝ln(a ＋b )≤ln 2b ＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. (ⅱ)当a ≥1,0<b ≤1时，∵a ＋b ≤1＋a ≤a ＋a ＝2a ，∴ln ＋(a ＋b )＝ln(a ＋b )≤ln 2a ＝ln a ＋ln 2＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.(ⅲ)当0<a ≤1,0<b ≤1时，∴a ＋b ≤2，且ln ＋a ＝0，ln ＋b ＝0.∴ln ＋(a ＋b )＝ln(a ＋b )≤ln 2＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.综上：ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2，故④正确． 答案：①③④29．(2013·高考浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0. 若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点N (2,3)时z 最大，所以2k ＋3＝12，解得k ＝92(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知，k ＝2.答案：230．(2013·高考天津卷)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．解析：由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.答案：－231．(2013·高考浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0. 若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点N (2,3)时z 最大，所以2k ＋3＝12，解得k ＝92(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知，k ＝2.答案：2 32．(2013·高考浙江卷)设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝________.解析：因为x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2， 当x ＝0时，可得0≤b ≤1； 当x ＝1时，可得a ＋b ＝0， 所以a ＝－b ，所以－1≤a ≤0.由x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2， 得ax ＋b ≤x 3－2x 2＋1，所以ax －a ≤(x 3－x 2)－(x 2－1)， 所以a (x －1)≤(x 2－x －1)(x －1)，所以当x >1时，有a ≤x 2－x －1恒成立，所以a ≤－1. 综上可知，a ＝－1，所以ab ＝－a 2＝－1. 答案：－133．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，表示的区域D 如图阴影部分所示．由图知点P (1,0)与平面区域D 上的点的最短距离为点P (1,0)到直线y ＝2x 的距离d ＝|2×1－0×1|12＋22＝255.答案：25534．(2013·高考天津卷)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________．解析：当a >0时，12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋⎝⎛⎭⎫b 4a ＋a b ≥54；当a <0时，12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－14＋1＝34. 综上所述，12|a |＋|a |b 的最小值是34.答案：3435．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x －y 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x －1|(x <1)，得A (－1,2)，∴(2x －y )min ＝2×(－1)－2＝－4. 答案：－436．(2013·高考陕西卷)观察下列等式： 12＝1，12－22＝－3， 12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， …，照此规律，第n 个等式可为________． 解析：12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)237．(2013·高考湖南卷)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0； ②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.解析：(1)∵c >a >0，c >b >0，a ＝b 且a ，b ，c 不能构成三角形的三边，∴0<2a ≤c ，∴ca≥2.令f (x )＝0得2a x ＝c x ，即(ca)x ＝2.∴x ＝log c a 2.∴1x ＝log 2ca≥1.∴0<x ≤1.(2)①∵a ，b ，c 是三角形的三条边长， ∴a ＋b >c .∵c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<bc<1.∴当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝a x ＋b x －c x ＝c x [(a c )x ＋(bc )x －1]>c x (a c ＋bc －1)＝c x ·a ＋b －c c>0.∴∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0.故①正确．②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a ，b ，c 可以构成三角形． 但a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16却不能构成三角形，故②正确． ③∵c >a ，c >b ，且△ABC 为钝角三角形， ∴a 2＋b 2－c 2<0.又f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0， ∴函数f (x )在(1,2)上存在零点．故③正确． 答案：(1){x |0<x ≤1} (2)①②③ 38．(2013·高考陕西卷)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律， 第n 个等式可为________.解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) 39．(2013·高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析：如图，作出不等式组表示的平面区域，平行移动z ＝x ＋y ，易知当直线z ＝x ＋y 经过点A (4,2)时，z 取最大值6.答案：6 40．(2013·高考湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DE FG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解：(1)由图可知四边形DE FG 是直角梯形，高为2，下底为22，上底为2，所以梯形面积S ＝(2＋22)×22＝3.由图知N ＝1，L ＝6.(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S ＝4，N ＝1，L ＝8，结合△ABC ，四边形DE FG 可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋c ＝1，a ＋6b ＋c ＝3，a ＋8b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，c ＝－1，S ＝1×71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)79 41．(2013·高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎫k 2－1n 2－⎝⎛⎭⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 答案：1 000 42．(2013·高考四川卷)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C 共线，∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 的中点，CH ⊥AB ，点P ，H 不重合，则|PC |>|HC |. 又|HA |＋|HB |＝|P A |＋|PB |＝|AB |，∴|HA |＋|HB |＋|HC |<|P A |＋|PB |＋|PC |，∴点P 不是点A ，B ，C 的中位点，故②是假命题． 如图(2)，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，若P 点在线段BC 上，则|P A |＋|PB |＋|PC |＋|P D|＝|A D|＋，由中位点的定义及①可知，点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P 是点A ，C 的中位点，则点P 在线段AC 上，若点P 是点B ，D 的中位点，则点P 在线段B D 上，∴若点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，B D 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．答案：①④43．(2013·高考四川卷)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36. 答案：36 44．(2013·高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8s in α)x ＋co s 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ________.解析：由题意，要使8x 2－(8s in α)x ＋co s 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64s in 2α－32co s2α≤0，化简得co s 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 45．(2013·高考广东卷)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.答案：1246．(2013·高考安徽卷)若非负变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x ，y 非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y ＝－x ，并向上平移，数形结合可知，当直线过点A (4,0)时，x ＋y 取得最大值，最大值为4.答案：4 47．(2013·高考广东卷)不等式x 2＋x －2<0的解集为________．解析：方程x 2＋x －2＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1，故不等式x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)． 答案：(－2,1)48．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D(图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0,1)，取得最大值时的最优整数解为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：649．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出可行域如图阴影部分．作直线2x －y ＝0，并向右平移，当平移至直线过点B 时，z ＝2x －y 取最大值．而由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＝0，可得B (3,3)．∴z max ＝2×3－3＝3. 答案：3 50．(2013·高考江苏卷) 设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，…，即当(k －1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)·(2m ＋3)．综合①②可得，S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1,2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋1)的倍数．又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1,2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008. 51．(2013·高考湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．解：设点P的坐标为(x，y)．(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|，(*)当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．又因为|x＋10|＋|x－14|≥24，(**)当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立，所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．d2(y)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．52．(2013·高考广东卷)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E 分别是AC，AB上的点，C D＝B E＝2，O为BC的中点．将△A DE沿DE折起，得到如图②所示的四棱椎A′-BC DE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BC DE；(2)求二面角A′-C D-B的平面角的余弦值．解：(1)证明：法一：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝32，OC＝OB＝3.又因为C D＝B E＝2，所以A D＝A E＝2 2.如图①，连接O D，在△OC D中，由余弦定理可得O D＝OC2＋CD2－2OC·CD cos 45°＝ 5.在折叠后的图形中，因为A′D＝22，所以A′O2＋O D2＝A′D2，所以A′O⊥O D.同理可证A′O⊥O E.又O D∩O E＝O，所以A′O⊥平面BC DE.法二：如图①，在折叠前的图形中，连接AO，交DE于点F，则F为DE的中点．在等腰Rt△ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝32，OA＝3.因为C D＝B E＝2，所以D和E分别是AC，AB的三等分点，则AF＝2，OF＝1.如图②，在折叠后的图形中，连接OF 和A ′F .因为A ′O ＝3，所以A ′F 2＝OF 2＋A ′O 2，所以A ′O ⊥OF . 在折叠前的图形中，DE ⊥OF ，所以在折叠后的图形中，DE ⊥A ′F ，DE ⊥OF . 又OF ∩A ′F ＝F ，OF ，A ′F ⊂平面OA ′F ， 所以DE ⊥平面OA ′F .因为OA ′⊂平面OA ′F ，所以DE ⊥OA ′. 因为OF ∩DE ＝F ，OF ，DE ⊂平面BC DE ， 所以A ′O ⊥平面BC DE.(2)法一：如图②，过O 作OM 垂直于C D 的延长线于点M ，连接A ′M .因为A ′O ⊥平面BC DE ，CM ⊂平面BC DE ，OM ⊂平面BC DE ，所以A ′O ⊥CM ，A ′O ⊥OM .因为A ′O ∩OM ＝O ，所以CM ⊥平面A ′OM . 因为A ′M ⊂平面A ′OM ，所以CM ⊥A ′M ， 故∠A ′MO 就是所求二面角的平面角．在Rt △OMC 中，OC ＝3，∠OCM ＝45°，所以OM ＝322.在R t △A ′OM 中，因为A ′O ＝3，OM ＝322，所以A ′M ＝A ′O 2＋OM 2＝ 3＋92＝302，所以co s ∠A ′MO ＝OM A ′M ＝322302＝155，所以二面角A ′-C D-B 的平面角的余弦值为155.法二：以点O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图③所示(F 为DE 的中点)，则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以OA ′→＝(0,0，3)，CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′C D 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ′→＝3y ＋3z ＝0，n ·DA ′→＝－x ＋2y ＋3z ＝0.令z ＝3，得n ＝(1，－1，3)，|n |＝1＋1＋3＝ 5.由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面C D B 的一个法向量．又|OA ′→|＝3，OA ′→·n ＝0×1＋0×(－1)＋3×3＝3，所以co s ＜n ，OA ′→＞＝n ·OA ′→|n ||OA ′→|＝33×5＝155， 即二面角A ′-C D-B 的平面角的余弦值为155.。

专题六非谓语动词核心考点课堂突破高考感悟Ⅰ.单句填空1.(2020·全国Ⅰ卷)Chinese researchers hope to use the instruments onboard Chang’e-4 (find) and study areas of the South Pole-Aitken basin.2.(2020·全国Ⅱ卷)They represent the earth (come) back to life and best wishes for new beginnings.3.(2020·全国Ⅱ卷)They make great gifts and you see them many times (decorate) with red envelopes and messages of good fortune.4.(2020·全国Ⅱ卷)They are easy (care) for and make great presents.5.(2020·全国Ⅲ卷)The next morning he hired a boat and set out(find) the well-known painter.6.(2020·全国Ⅲ卷)And when he saw the mists rising from the river and the soft clouds (surround) the mountain tops,he was reduced to tears.7.(2019·全国Ⅰ卷)Modern methods of tracking polar bear populations have been employed only since the mid-1980s,and are expensive (perform) consistently over a large area.8.(2019·全国Ⅰ卷)Scientists have responded by (note) that hungry bears may be congregating(聚集) around human settlements,leading to the illusion(错觉) that populations are higher than they actually are.9.(2019·全国Ⅱ卷)A 90-year-old has been awarded “Woman of the Year” for (be)Britain’s oldest full-time employee—still working 40 hours a week.10.(2019·全国Ⅱ卷)Picking up her “Lifetime Achievement” award,proud Irene declared she had no plans to (retire) from her 36-year-old business.11.(2019·全国Ⅲ卷)On the last day of our week-long stay,we were invited to attenda private concert on a beautiful farm on the North Shore under the stars, (listen) to musicians and meeting interesting locals.12.(2018·全国Ⅰ卷)You may drink,smoke,be overweight and still reduce your risk of (die) early by running.13.(2018·全国Ⅰ卷)You don’t have to run fast or for long (see) the benefit.Ⅱ.单句改错1.(2020·全国Ⅰ卷)I like eating frying tomatoes with eggs,and I thought it must be easy to cook.2.(2020·全国Ⅰ卷)My mom told me how to preparing it.3.(2020·全国Ⅲ卷)I tell my mom that if we’re forced eat things,we may become ill.4.(2019·全国Ⅰ卷)All the football players on the playground cheered loudly,say that I had a talent for football.5.(2019·全国Ⅲ卷)I want my cafe have a special theme such as “Tang Dynasty”.6.(2019·全国Ⅲ卷)If I succeed in manage one,I will open more. 考点归纳考点一非谓语动词的基本形式表具体的或一次性的动作动作考点三非谓语动词作宾语续表begin,start,like,love,hate,prefer,continue(动作need,want,require,deserve (义stop to do(stop doing(remember/forget/regret to do(remember/forget/regret doing(go on to do(接着做另外一件事) go on doing(接着做同一件事) try to do(设法,努力去做,尽力做) try doing(试着去做)mean to do(打算做,企图做) mean doing(意思是,意味着)考点四 非谓语动词作状语,其形式不受前后文的影响。

专题06 除数是两位数的除法知识点一：除数是两位数的除法（一）、口算除法1、表内除法：被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0，商不变。

2、想乘法算除法（二）、除法估算1、被除数是两位数的除法估算：一般把算式中不是整十的被除数或者除数用“四舍五入”法看作与它接近的整十的数，再进行估算。

2、被除数是三位数的除法估算：一般把被除数看作与它接近的整百数或几百几十数，把除数看作与它接近的整十数进行估算。

（三）、除数是两位数的除法的笔算方法：1、除数是两位数的除法，从被除数的高位除起，先看被除数的前两位，如果前两位不够除，就看被除数的前三位。

除到哪一位，商就写到那一位的上面。

计算结果如果有余数，余数一定要比除数小。

2、验算依据：除数X商+余数=被除数（四）、试商1、除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数来试商；试商大了要调小，试商小了要调大。

2、“四舍”法试商，商易偏大；“五入”法试商，商易偏小。

所以用“四舍五入”法试商时，要根据余数和除数的大小关系灵活试商。

3、三位数除以两位数，商可能是一位数，也可能是两位数。

真题讲练：一、选择题1．（2022·广东广州·四年级期末）要使615÷□8的商是一位数，□里共有（）种不同的填法。

A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】两位数除三位数，商为两位数或一位数，当被除数的前两位比除数大或等于时，商是两位数，当被除数的前两位比除数小时，商就是一位数，据此判断。

【详解】要使615÷□8的商是一位数，则61＜□8，所以□里可以填6、7、8、9，共4种不同的填法。

故答案为：B【点睛】本题主要考查了两位数除三位数，需要学生掌握被除数、除数与商的数位之间的关系。

2．（2022·广东广州·四年级期末）计算□16÷62时，如果商是一位数，那么□里最大填（）。

A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】三位数除以两位数，被除数百位和十位组成的数字和除数比较大小，组成的数字比除数大或相等，商就是两位数，比除数小，商就是一位数。

1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ＝1，2，…，n )为实数，则(i ＝1∑na 2i )(i ＝1∑nb 2i )≥(i ＝1∑na ib i )2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1，2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立． 5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．用绝对值的几何意义解题．去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定．2．在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，要提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一．3．作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式结构；作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构．4．运用“f (x )≤a ⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a ⇔f (x )min ≥a ”可解决恒成立问题中的参数范围问题．5．用放缩法证不等式，将所证不等式中的某些项的质适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的．这种方法灵活性较大，技巧性较强． 6.注意下面几个绝对值的函数最值的求法：1;1y x x y x x =++=++，21,1y x x y x x =++=+-。