半角公式

三角函数的半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，在代数和几何中都有广泛的应用。

半角公式是三角函数中的一个重要结果，它可以将一个角的半角用已知角的三角函数表示出来。

本文将介绍三角函数的半角公式及其应用。

1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式是：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ)) / 2]其中，θ为已知角度，±表示正负两个解。

这个公式可以通过使用二倍角公式和勾股定理推导得到。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式是：cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ)) / 2]同样地，θ为已知角度，±表示正负两个解。

这个公式也可以通过使用二倍角公式和勾股定理推导得到。

3. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式是：tan(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))]同样地，θ为已知角度，±表示正负两个解。

这个公式又可以通过使用正弦和余弦的半角公式联立推导得到。

4. 应用举例三角函数的半角公式在解决各种计算问题时非常有用。

下面是一些常见应用的举例：4.1. 角度的二等分假设我们已知一个角的正弦值sin(θ) = a，要求计算这个角的二等分角的正切值tan(θ/2)。

我们可以利用正弦函数的半角公式，将已知的sin(θ)代入公式中，求得tan(θ/2)的值。

4.2. 三角函数的化简有时候我们遇到一些复杂的三角函数表达式，需要将其化简为简单形式，方便计算。

半角公式可以帮助我们将一个角的三角函数表示为其他已知角的三角函数形式，从而简化表达式。

4.3. 三角函数的值计算通过半角公式，我们可以利用已知角的三角函数值，计算出相应的半角的三角函数值。

这在实际问题中非常有用，例如在物理学和工程学中经常需要对角度进行计算。

5. 总结三角函数的半角公式是解决三角函数相关问题的重要工具。

它们可以将一个角的半角用已知角的三角函数表示出来，解决各种计算问题。

三角函数中的半角公式
三角函数中的半角公式是三角函数中常用的公式之一，半角公式在水平角和垂直角之间建立了联系，它表示当水平角θ为90°时，垂直角A就等于θ的一半，也就是45°。

由此可得，半角公式的数学表达式为：A=θ/2.半角公式的图像描述就是：当θ=90°时，A=45°。

由于半角公式是三角函数的一个重要公式，因此在数学上可以应用到很多地方，比如在平面几何中可以应用乘法、除法等公式进行矩阵分析；在电学中可以应用半角公式来分析电压和电流；在圆环和椭圆形中可以应用半角公式来计算重心等。

实践表明，半角公式是一个十分实用的工具，它可以被用来处理复杂的几何图形和电学问题，可见它的广泛应用。

未来可以期待更多的学者使用半角公式来解决复杂的几何图形和电学问题，发掘半角公式更加完善的应用。

三角函数是高中数学的重要知识，使用三角函数可以对几何图形的特性进行分析和求解，它是在一个直角三角形中通过相应的定义来实现的。

三角函数的半角公式三角函数是数学中的重要内容，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

而其中的半角公式更是三角函数中的重要概念之一。

本文将介绍三角函数的半角公式，并探讨其应用。

一、正弦函数的半角公式正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。

其半角公式可以表示为：sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]其中θ为角度。

二、余弦函数的半角公式余弦函数是三角函数中的另一种，用cos表示。

其半角公式可以表示为：cos(θ/2) = ±√[(1+cosθ)/2]其中θ为角度。

三、正切函数的半角公式正切函数是三角函数中的重要概念，用tan表示。

其半角公式可以表示为：tan(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]其中θ为角度。

四、半角公式的应用1. 解三角函数的复合角问题半角公式可以帮助我们解决一些三角函数的复合角问题。

通过将复合角转化为半角，可以简化计算过程，从而更方便地求解。

2. 化简三角函数的表达式在一些复杂的三角函数表达式中，半角公式可以帮助我们化简，使得表达式更加简洁明了。

3. 应用于几何问题半角公式在几何问题中也有广泛的应用。

例如，我们可以利用半角公式求解三角形的边长、角度等问题，从而更好地理解和解决几何问题。

四、结论通过对三角函数的半角公式及其应用的介绍，可以发现半角公式在数学中具有重要的地位和作用。

它不仅帮助我们解决三角函数的复合角问题，还可以用于化简表达式和解决几何问题。

因此，掌握和理解三角函数的半角公式对于学习和应用数学都具有重要的意义。

五、致谢感谢您阅读本文，希望对您理解三角函数的半角公式有所帮助。

如有任何疑问或意见，欢迎提出，我们将努力进行改进和回复。

谢谢！。

1.和角公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， (C α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， (C α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， (S α－β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β， (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (T α＋β)2.倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3.半角公式2cos α＝±1＋cos α2，(C 2α) sin 2α＝±1－cos α2，(S 2α) tan 2α＝±1－cos α1＋cos α.(T 2α)(根号前的正负号，由角α2所在象限确定)4.公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )1.已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.118 B.1718 C.89 D.29答案 B解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2 ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B.2.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A.－34B.34C.－43D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3.(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17B.16C.57D.56 答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.4.(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5.设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 .答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3， ∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案 (1)－75(2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α， ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )A.35 B.45 C.－35D.－45(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( )A.－233B.±233C.－1D.±1答案 (1)A (2)C解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12D.32(2)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 (1)B (2)C解析 (1)原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)] ＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝ sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为( )A.2B.3C.2＋ 3D.2－ 3答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 .答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β). 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等. 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.6.三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 . (2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误.(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角. 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712.答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错.[方法与技巧] 1.巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. [失误与防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A.－32 B.22 C.12D.1 答案 C解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.2.若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3.若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ等于( )A. 3B.－ 3C.33D.－33答案 A 解析sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.4.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A.－53B.－59C.59 D.53答案 A解析 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13， ∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝153. ∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53. 5.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8.函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值为 . 答案 1－32解析 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最大值为1－32. 9.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值. 解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3 ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值. 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A.－255B.－3510C.－31010D.255答案 A 解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14.设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.15.已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2. (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间；(2)已知角α满足α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1，求f (α)的值.解 f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2 ＝sin x 2cos x 2＝12sin x . (1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，0. (2)2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， ∴f (α)＝12sin π4＝24.。

半角公式和倍角公式一、引言半角公式和倍角公式是在数学中常用的一类公式，主要应用于角和三角函数的计算中。

这两类公式在数学的各个分支中都有着广泛的应用，特别是在解决关于三角函数的问题时，半角公式和倍角公式是非常有用的工具。

二、半角公式半角公式是指通过已知的角度来计算其一半角度的公式。

在三角函数中，我们经常用到的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面分别介绍半角公式在这三个函数中的应用：1. 正弦函数的半角公式：正弦函数的半角公式可以表示为：sin(x/2) = ±√[(1 - cosx) / 2]。

这个公式表示了一个角的一半角度的正弦值与其余弦值的关系。

2. 余弦函数的半角公式：余弦函数的半角公式可以表示为：cos(x/2) = ±√[(1 + cosx) / 2]。

这个公式表示了一个角的一半角度的余弦值与其余弦值的关系。

3. 正切函数的半角公式：正切函数的半角公式可以表示为：tan(x/2) = ±√[(1 - cosx) / (1 + cosx)]。

这个公式表示了一个角的一半角度的正切值与其余弦值的关系。

半角公式在解决一些特定三角函数问题时非常有用，可以帮助我们减小计算量，简化推导过程。

三、倍角公式倍角公式是指通过已知的角度来计算其两倍角度的公式。

在三角函数中，三角函数的倍角公式对应于正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面分别介绍倍角公式在这三个函数中的应用：1. 正弦函数的倍角公式：正弦函数的倍角公式可以表示为：sin2x = 2sinxcosx。

这个公式表示了一个角的两倍角度的正弦值与其本身正弦值的关系。

2. 余弦函数的倍角公式：余弦函数的倍角公式可以表示为：cos2x = cos^2x - sin^2x。

这个公式表示了一个角的两倍角度的余弦值与其本身正弦和余弦值之间的关系。

3. 正切函数的倍角公式：正切函数的倍角公式可以表示为：tan2x = (2tanx) / (1 -tan^2x)。

半角公式的转换在咱们的数学世界里，半角公式的转换就像是一座神秘的桥梁，连接着不同的数学知识领域。

先来说说什么是半角公式吧。

简单来讲，半角公式就是用角的一半来表示三角函数值的公式。

比如说，正弦函数的半角公式是：$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$；余弦函数的半角公式是：$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$；正切函数的半角公式是：$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1 -\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$。

我记得有一次给学生们讲半角公式的转换，那场面可有意思啦！当时，我在黑板上写下了这些公式，然后问大家：“同学们，你们觉得这些公式像不像一个个神秘的密码呀？”结果有个调皮的学生大声说：“老师，这哪是密码，这简直是‘天书’！”全班哄堂大笑。

但是笑归笑，咱们还得认真学。

我就开始一步一步地给他们推导，从最基本的三角函数关系入手。

我一边写一边解释：“同学们，你们看啊，咱们先从$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$这个公式出发。

”我把这个公式写得大大的，然后开始变形，“咱们把这个式子解出$\sin\alpha$，就能得到正弦函数的半角公式啦。

”我一步一步地计算，每一步都写得很清楚，还不停地问同学们：“这一步大家能跟上吗？”在这个过程中，我发现有个平时很安静的女生皱着眉头，一脸的困惑。

我走到她身边，轻声问：“是不是没听懂呀？”她点点头。

于是，我又重新给她讲了一遍，直到她露出了恍然大悟的表情。

学会了这些公式，那用处可大了。

比如说，在解决一些复杂的三角函数问题时，如果能巧妙地运用半角公式进行转换，往往能让问题变得简单许多。

三角函数的半角公式三角函数的半角公式是数学中一个重要的定理，它与三角函数的加法公式密切相关。

在应用中，它常常用于简化计算，并且在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛的应用。

本文将详细介绍三角函数的半角公式及其推导过程，并探讨其应用。

一、什么是三角函数的半角公式？三角函数的半角公式是指将任意角的正弦、余弦、正切用半角的正弦、余弦、正切表示。

以正弦函数为例，三角函数的半角公式如下：sin(x/2) = +/- √[(1 - cosx)/2]其中，x为任意角度，+/-表示两个相反的符号。

二、三角函数的半角公式的推导过程下面我们将以正弦函数为例，推导三角函数的半角公式。

假设θ为半角，即θ = x/2。

现在我们有sinθ = y。

根据三角函数的定义，sinθ = y，可以得到：sin(theta) = y = 2 * sin(theta) * cos(theta)再根据正弦函数的和差公式，可以得到：sin(theta) = 2 * sin(theta) * cos(theta) = 2 * sin(theta) * (1 - 2 *sin^2(theta/2))接下来，我们用y来替换sin(theta)，并进行放缩，有：y = 2 * y * (1 - 2 * y^2/2) = 2 * y - 4 * y^3整理一下上式，可以得到：4 * y^3 - 2 * y + y = 0化简后，可以得到：y(4 * y^2 - 2) = 0解得：y = 0 或者 y = +/- √[1/2]通过这个推导过程，我们得到了三角函数的半角公式。

三、三角函数的半角公式的应用三角函数的半角公式在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些具体的应用示例：1. 计算三角函数的值：通过三角函数的半角公式可以将一个大角度的三角函数值转化为一个小角度的三角函数值，从而简化计算过程。

2. 求解三角方程：在解三角方程时，通过半角公式可以将复杂的角度转化为简化的角度，并进一步求解方程。