倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义

三角函数的倍角与半角公式三角函数的倍角公式和半角公式是在三角函数领域中常用的数学公式，它们能够将一个角的三角函数值表示成另外一个角的三角函数值的式子。

这些公式在解决三角函数的相关问题，特别是在解析几何、物理和工程等领域中起着至关重要的作用。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，给出其推导过程和一些应用实例。

1. 倍角公式1.1 正弦函数倍角公式正弦函数倍角公式可以表示为：sin 2θ = 2sinθcosθ该公式表示的是，一个角的两倍角的正弦值等于这个角的正弦值与余弦值的乘积的两倍。

推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ再将左边的sin(θ + θ)进行简化，即可得到sin 2θ = 2sinθcosθ。

1.2 余弦函数倍角公式余弦函数倍角公式可以表示为：cos 2θ = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos 2θ = 1 - 2sin²θ这两个公式表示的是，一个角的两倍角的余弦值等于这个角的余弦值的平方减去正弦值的平方。

推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：cos(θ + θ) = cos²θ - sin²θ再将左边的cos(θ + θ)进行简化，即可得到cos 2θ = cos²θ - sin²θ。

另外，根据正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1的关系式，我们可以将cos²θ替换成1 - sin²θ，得到cos 2θ = 1 - 2sin²θ。

2. 半角公式2.1 正弦函数半角公式正弦函数半角公式可以表示为：sin (θ/2) = ±√((1-cosθ)/2)该公式表示的是，一个角的半角的正弦值等于这个角的余弦值减去1再除以2再开平方。

推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到sin(θ/2) = sin(θ/2 + θ/2) = sinθcos(θ/2) + cosθsin(θ/2)。

倍角及半角公式在三角函数中，倍角及半角公式是求解特定角的重要工具。

它们可以将一个角的角度加倍或减半，从而简化计算，提高效率。

本文将介绍倍角公式和半角公式的定义、推导以及应用。

一、倍角公式倍角公式是将一个角的角度加倍得到另一个角的角度的公式。

常用的倍角公式包括正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。

1. 正弦倍角公式正弦倍角公式可以表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为原角的角度。

这个公式可以通过将正弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。

2. 余弦倍角公式余弦倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ该公式也可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。

3. 正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式可以通过将正切函数展开为正弦和余弦的比值形式，然后利用倍角公式进行推导得到。

二、半角公式半角公式是将一个角的角度减半得到另一个角的角度的公式。

常用的半角公式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。

1. 正弦半角公式正弦半角公式可以表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为原角的角度。

根据正弦半角公式，我们可以通过已知一个角的正弦值来求解该角对应的半角。

2. 余弦半角公式余弦半角公式可以表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]该公式可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用半角公式进行推导得到。

3. 正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]根据正切半角公式，我们可以通过已知一个角的正切值来求解该角对应的半角。

三、应用举例倍角及半角公式在实际问题中有广泛的应用。

例如，在三角函数的求值中，通过利用倍角公式可以将一个角的角度加倍，从而可以快速计算出正弦、余弦和正切值。

三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与三角形之间的关系。

在三角函数的学习中，倍角公式与半角公式是非常重要的内容。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式与半角公式，并探讨其应用。

一、倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍表示成该角的函数的形式。

对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的倍角公式。

1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为任意角度。

这个公式表明，将一个角的两倍的正弦函数，可以拆分为两个角的正弦函数的乘积。

2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos(2θ) = 2cos²θ - 1或者：cos(2θ) = 1 - 2sin²θ这个公式可以通过将cos(2θ)展开，得到余弦函数与正弦函数的关系。

3. 正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式可以表示成以下形式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)这个公式在解决一些复杂问题时，可以将一个角的两倍的正切函数，表示为原角的正切函数的比值。

二、半角公式半角公式是指将一个角的一半表示成该角的函数的形式。

对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的半角公式。

1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示成以下形式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]其中的正负号取决于角度的范围，需要根据具体的情况来确定。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示成以下形式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]同样地，正负号的选择需要根据具体的情况来确定。

3. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式可以表示成以下形式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]正负号的选择同样需要根据具体的情况来确定。

三角函数的倍角公式与半角公式三角函数在数学中是一类重要的函数，它们在各种数学问题和实际应用中都发挥着重要的作用。

在三角函数的研究中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式。

本文将重点论述三角函数的倍角公式与半角公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个公式。

一、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中θ表示任意角度。

这个公式可以直接从正弦函数的和角公式推导得出，也可以通过三角函数的平方公式得到。

具体的推导过程在此不做赘述。

倍角公式的应用十分广泛，在解决各类三角函数问题时特别有用。

例如，在计算三角函数值时，如果给定的角度是一个已知角度的两倍，可以直接利用倍角公式来计算。

2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式同样可以通过和角公式或平方公式推导得到。

倍角公式是解决三角函数问题的重要工具。

它们能够将多个三角函数的值联系起来，简化计算过程，提高解题效率。

二、半角公式半角公式是倍角公式的逆运算，它将一个角的值通过三角函数的值反推回去。

1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中±表示正负号的取值。

这个公式可以通过倍角公式进行推导。

具体的推导过程涉及到平方根的性质和三角函数之间的关系，需要进行一定的代数运算。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]同样地，±表示正负号的取值。

半角公式在解决三角函数问题时也有着广泛的应用。

如在一些特定条件下，给定一个角度的正弦或余弦函数值，可以通过半角公式求解出这个角度的值。

总结：通过本文的论述，我们了解到了三角函数的倍角公式与半角公式的定义与应用。

倍角公式可以将一个角度的三角函数值通过公式转化为其他角度的三角函数值，提供了一种快速计算的工具。

半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

推导三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中重要的概念，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

在三角函数的研究过程中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式，它们能够帮助我们简化计算和推导过程。

本文将详细介绍如何推导三角函数的倍角公式与半角公式。

一、倍角公式的推导在推导三角函数的倍角公式之前，首先要了解一些基本的三角函数关系。

假设角A的正弦、余弦和正切分别为sinA、cosA和tanA。

那么，其倍角2A的正弦、余弦和正切如下：1. 正弦的倍角公式根据三角函数的定义，正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边。

则角2A的正弦可以表示为：sin2A = 对边/斜边我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导sin2A的具体表达式。

根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。

通过使用三角函数的和差公式，可以得到sin2A的表达式：sin2A = 2sinAcosA这就是正弦的倍角公式。

2. 余弦的倍角公式根据三角函数的定义，余弦函数的定义为：cosA = 临边/斜边。

则角2A的余弦可以表示为：cos2A = 临边/斜边同样地，我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导cos2A的具体表达式。

根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。

通过使用三角函数的和差公式，可以得到cos2A的表达式：cos2A = cos²A - sin²A这就是余弦的倍角公式。

3. 正切的倍角公式根据三角函数的定义，正切函数的定义为：tanA = 对边/临边。

则角2A的正切可以表示为：tan2A = 对边/临边同样地，我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导tan2A的具体表达式。

根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。

通过使用正切的和差公式，可以得到tan2A的表达式：tan2A = (2tanA) / (1-tan²A)这就是正切的倍角公式。

三角函数的倍角与半角公式推导三角函数在数学中有着重要的地位和应用，倍角与半角公式是三角函数中的基本关系之一。

在本文中，我们将推导三角函数的倍角与半角公式，深入了解它们的性质和应用。

一、正弦函数的倍角与半角公式推导我们首先推导正弦函数的倍角与半角公式。

假设角A的正弦值为sin(A)，角B的正弦值为sin(B)。

1. 倍角公式考虑角2A，根据三角函数定义可以得到：sin(2A) = sin(A + A)= sin(A)cos(A) + cos(A)sin(A)接下来，我们利用三角函数的和差化积公式对上式进行变换，得到：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)因此，我们得到了正弦函数的倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2. 半角公式类似地，我们考虑角A/2，根据三角函数定义可以得到：sin(A/2) = sin(A/2)接下来，我们利用三角函数的和差化积公式对上式进行变换，得到：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A))/2]因此，我们得到了正弦函数的半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A))/2]在实际应用中，我们根据需要确定正负号的取值。

二、余弦函数的倍角与半角公式推导接下来，我们推导余弦函数的倍角与半角公式。

假设角A的余弦值为cos(A)，角B的余弦值为cos(B)。

1. 倍角公式考虑角2A，根据三角函数定义可以得到：cos(2A) = cos(A + A)= cos^2(A) - sin^2(A)接下来，我们利用三角函数的平方和差公式对上式进行变换，得到：cos(2A) = 2cos^2(A) - 1或者cos(2A) = 1 - 2sin^2(A)因此，我们得到了余弦函数的倍角公式：cos(2A) = 2cos^2(A) - 1或者cos(2A) = 1 - 2sin^2(A)2. 半角公式类似地，我们考虑角A/2，根据三角函数定义可以得到：cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A))/2]因此，我们得到了余弦函数的半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A))/2]在实际应用中，我们根据需要确定正负号的取值。

三角倍角半角公式汇总三角倍角半角公式是在三角函数中常用的一组公式，用于计算角度的倍角和半角。

这些公式在解决三角函数相关问题时具有很大的实用价值。

下面将对三角倍角半角公式进行汇总，并进行详细的介绍。

一、正弦函数的倍角和半角公式1. 正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ这个公式表示，正弦函数的平方可以表示为正弦函数和余弦函数的乘积的两倍。

这个公式在解决正弦函数的倍角问题时非常有用。

2. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)这个公式表示，正弦函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以2。

需要注意的是，由于正弦函数是奇函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。

二、余弦函数的倍角和半角公式1. 余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示，余弦函数的平方可以表示为余弦函数的平方减去正弦函数的平方，也可以表示为2倍余弦函数的平方减去1，还可以表示为1减去2倍正弦函数的平方。

这些形式在解决余弦函数的倍角问题时都可以使用。

2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)这个公式表示，余弦函数的半角可以表示为余弦函数的和的平方根除以2。

与正弦函数的半角公式类似，由于余弦函数是偶函数，所以半角公式中的正负号可以根据具体问题的情况来确定。

三、正切函数的倍角和半角公式1. 正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)这个公式表示，正切函数的平方可以表示为2倍正切函数除以1减去正切函数的平方。

这个公式在解决正切函数的倍角问题时非常有用。

2. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这个公式表示，正切函数的半角可以表示为余弦函数的差的平方根除以余弦函数的和。

三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，在解决各种数学问题和实际应用中起到关键的作用。

为了更好地研究和理解三角函数，人们发展出了倍角与半角公式，用于简化计算和求解过程。

本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，以及其应用。

1. 正弦函数的倍角与半角公式1.1 倍角公式对于任意角θ，正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了角θ的两倍角2θ的正弦值与角θ的正弦、余弦之间的关系。

通过这个公式，我们可以将求解角θ的两倍角的正弦值的问题简化为求解角θ的正弦值的问题。

例如，如果我们已知角θ为45°，那么根据倍角公式，我们可以得到：sin(90°) = 2sin(45°)cos(45°)1.2 半角公式同样地，正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √((1-cosθ)/2)我们可以将求解角θ的一半角的正弦值的问题简化为求解角θ的余弦值的问题。

例如，如果我们已知角θ为60°，那么根据半角公式，我们可以得到：sin(30°) = √((1-cos60°)/2)2. 余弦函数的倍角与半角公式2.1 倍角公式对于任意角θ，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表示了角θ的两倍角2θ的余弦值与角θ的正弦、余弦之间的关系。

通过这个公式，我们可以将求解角θ的两倍角的余弦值的问题简化为求解角θ的正弦值和余弦值的问题。

例如，如果我们已知角θ为30°，那么根据倍角公式，我们可以得到：cos(60°) = cos²30° - sin²30°2.2 半角公式同样地，余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √((1+cosθ)/2)我们可以将求解角θ的一半角的余弦值的问题简化为求解角θ的余弦值的问题。

倍角和半角公式田云江[基本要求]掌握倍、半角公式，并能熟练地正用、逆用和变用。

[知识要点]1、二倍角公式在Sα+β，Cα+β，Tα+β中含α=β得到：S2α：sin2α=2sinαcosαC2α：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αT2α:tg2α=说明：①在运用二倍角公式时，要注意不仅限于2α是α的二倍的形式，还有如4α是2α的二倍，3α是的二倍，α+β是的二倍等。

②由二倍角公式可以推出如下变形公式：(1)降幂公式：sinαcosα=,sin2α=,cos2α=,如需讨论函数性质如求函数的值域、最值、单调区间，周期、画图等，一般利用降幂公式化函数为y=Asin(ωx+φ）+B或Acos(ωx+φ)+B形式，(2)升幂化积公式：1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2如遇开方，用此公式较方便，(3)cosα=,如求cos cos的值，求cos20°cos40°cos60°的值等用此公式就非常简便。

2、三倍角公式：sin3α=3sinα-3sin3α, cos3α=4cos3α-3cosα3、半角公式：: sin=±: cos=±: tg=±,:tg==对于半角公式，必须明确，“半角”是相对而言，不能认为才是半角如2α是4α的半角，α是3α的半角，反之，5α分别是，的倍角，因此二倍角公式与半角公式是互逆的。

对于半角公式中根号前的双重符号，它取决于所在的象限，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号；若α属于某一给定区间，则先求出的所在范围，然后根据所在范围选用符号。

因无“土”号和根式∴在化简证明中更常用4、万能公式sinα=cosα=tgα=说明：①从左到右，α范围变小②右端周期均为2π5、合一变形①asinx+bcosx=(sinx+cosx）=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ)其中φ由sinφ=错误!确定或由tgφ=错误!及点(a,b)所在象限（即角φ所在象限）确定cosφ=错误!②asinx+bcosx=错误!(错误!sinx+错误!cosx) =错误!(sinxsinφ+cosxcosφ)=错误!cos(x-φ)其中φ由{sinφ=错误!cosφ=错误!确定或由tgφ=错误!及点(b,a)所在象限（即角φ所在象限）确定[例题选讲]1、已知α是第三象限的角，sin4α+cos4α=错误!,求sni2α,cos2α,tg2α的值解：∵(2k+1)π＜α＜2kπ+错误!(k∈z)∴4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π(k∈z)又∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α∴1-错误!sin22α=错误!∴sin22α=错误!∴sin2α=错误!∴cos2α=错误!∴tg2α=错误!2、求sin10°sin50°sin70°的值解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=错误!cos40°cos80°=错误!cos80°=错误!=错误!3、求函数y=cos4x-sin4x的最小正周期解：y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x∴周期T=π4、求值①已知sin错误!-cos错误!=-错误!,450°＜θ＜540°求tg错误!的值②已知7cos2α+5sin2α=5 求tgα的值③已知错误!=错误!求cosθ的值④已知错误!=-5 求3cos2θ+4sin2θ的值解①：∵sin错误!-cos错误!=-错误!两边平方∴1-2sin错误!cos错误!=错误!∴sinθ=错误!∵450°＜θ＜540°∴cosθ=-错误!=- 错误!∴tg错误!=错误!=错误!又112.5°＜错误!＜135°∴tg错误!=错误!=错误!又tg错误!＜0∴tg错误!=错误!②由万能公式及已知有7×错误!+5×错误!=5即7-7tg2α+10tgα=5+5tg2α即6tg2α-5tgα-1=0∴tgα=-错误!或1③ctg错误!=错误!=错误!=错误!=错误!=错误!(等比定理)∴tg错误!=2∴cosθ=错误!=-错误!④解由万能公式：3cos2θ+4sin2θ=错误!+错误!又错误!=错误!=-5∴tgθ=2∴3cos2θ+sin2θ=错误!=错误!5、若tg2α=2tg2β+1求证cos2α+sin2β=0证明：∵tg2α=2tg2β+1∴1+tg2α=2(1+tg2β)∴sec2α=2sec2β∴错误!=错误!∴cos2β=2cos2α∴1-cos2β=1-2cos2α∴sin2β=-cos2α∴cos2α+sin2β=0[自我检测]1、如果函数y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正实数ω的值等于（）A、4B、2C、错误!D、错误!2、错误!的值是（）A、sin2B、-cos2C、错误!cos2D、-错误!cos23、已知sin错误!=错误!cos错误!=-错误!则角α在第（）象限A、一B、二C、三D、四4、若错误!＜α＜2π则错误!等于（）。

三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。

在三角函数的研究中，倍角公式与半角公式是常见且重要的公式。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式与半角公式，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、倍角公式倍角公式是指将一个角的度数加倍所得到的三角函数的关系式。

常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ正弦函数的倍角公式表明，某个角的两倍角的正弦等于原角的正弦乘以余弦。

2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ余弦函数的倍角公式是著名的二次三角函数公式，它表示某个角的两倍角的余弦等于该角的余弦的平方减去正弦的平方。

3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)正切函数的倍角公式可以用于计算某个角的两倍角的正切值。

倍角公式在解决三角函数相关问题时起到了重要的作用，简化了计算过程。

二、半角公式半角公式是指将一个角的度数减半所得到的三角函数的关系式。

与倍角公式类似，半角公式同样适用于正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]正弦函数的半角公式可以用于计算某个角的一半角的正弦值。

需要注意的是，计算结果可能有两个值，取决于具体角度的范围。

2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1+cosθ)/2]余弦函数的半角公式可以用于计算某个角的一半角的余弦值。

同样地，计算结果可能有两个值。

3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1-cosθ) / (1+cosθ)]正切函数的半角公式可以用于计算某个角的一半角的正切值。

同样地，计算结果需要考虑正负两个值。

三、应用举例倍角公式与半角公式在解决实际问题时起到了重要的作用。