【初二数学】正方形与弦图-全国版(难)

赵爽弦图模型模型讲解◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF= GD=AH，则四边形EHGF是正方形.◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则四边形ORQP是正方形.◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则:(1)S正方形ABCD =4SΔAEH十S正方形EFGH;(2)S正方形EFGH =4SΔHPE十S正方形OPQR;(3)S正方形ABCD -S正方形EFGH=S正方形EFGH-S正方形OPQR.(4)2S正方形EFGH =S正方形ABCD十S正方形OPQR注：常见的勾股数组合①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1(2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习)如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=10，大正方形面积为25，则小正方形边长为()A．3B．2C．5D．32(2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习)如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是()A．121B．144C．169D．1963(2022秋·福建三明·八年级统考期末)某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a+b2的值()A．13B．19C．25D．1694(2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习)如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF=1，AH=3，那么AB等于()A．4B．5C．9D．105(2023春·全国·八年级专题练习)如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2+b2=25，②a-b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是()A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④6(2023春·全国·八年级专题练习)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b a<b，斜边长为c．(1)结合图①，求证：a2+b2=c2；(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积．7(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a -3ab -4+6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=2a -3ab -4-6b =a 2-3b -22-3b =2-3b a -2解法二：原式=2a -4 -3ab -6b =2a -2 -3b a -2 =a -2 2-3b【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)【类比】(1)请用分组分解法将x 2-a 2+x +a 因式分解；【应用】(2)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b (a >b )，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a 4-2a 3b +2a 2b 2-2ab 3+b 4因式分解，再求值．8(2023春·全国·八年级专题练习)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形(如图1)与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图2)．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证(1)中的定理结论；(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．(用m，n表示)9(2020秋·广东佛山·八年级统考期中)我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．(2)如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．10(2022春·安徽芜湖·八年级统考期中)图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．(1)在Rt△ABCC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求a+b2；(2)在(1)的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长(图中实线部分)．。

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.6勾股定理与弦图问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则（a +b ）2的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．169【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【解析】由条件可得：{a 2+b 2=1312ab =13−14a ＞b ＞0， 解之得：{a =3b =2． 所以（a +b ）2＝25，故选：A ．2．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x +y ）2＝49，用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列选项中正确的是（ ）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，∴（x﹣y）2＝1，故A错误，∴x2﹣y2＝7，故C正确；故选：C．3．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）A．9cm2B．36cm2C．27cm2D．45cm2【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积．【解析】根据题意得：小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），故选：A．4．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）A．10B．8C．7D．5【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，∴20﹣2ab＝4，解得：ab＝8，故选：B．5．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45B．36C．25D．18【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：225＝4×12ab+9，所以2ab＝216，根据勾股定理，得a 2+b 2＝152，所以（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝225+216＝441，因为a +b ＞0，所以a +b ＝21，所以21+15＝36．所以一个直角三角形的周长是36．故选：B ．7．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知AH ＝3DH ，且S 正方形ABCD ＝21，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A ．214B ．215C ．225D ．223【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH ＝x ，则AH ＝3DH ＝3x ，根据勾股定理可得x 的平方的值，再根据题意可得S △FGN ＝S △AEM +S △CGN ，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM 的面积．【解析】∵S 正方形ABCD ＝21，∴AB 2＝21，设DH ＝x ，则AH ＝3DH ＝3x ，∴x 2+9x 2＝21，∴x 2=2110，根据题意可知：AE ＝CG ＝DH ＝x ，CF ＝AH ＝3x ，∴FE ＝FG ＝CF ﹣CG ＝3x ﹣x ＝2x ，∴S △FGN ＝2S △CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：S梯形NGFM=12（NG+FM）•FG=12（EM+MF）•FG=12FE•FG=12×（2x）2＝2x2=215．故选：B．8．（2019秋•丹东期末）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．196【分析】观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长，从而得到了大正方形的边长，从而求得大正方形的面积．【解析】∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，∴直角三角形斜边长＝13，∴大正方形的边长是13，∴大正方形的面积是13×13＝169．故选：C．9．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【分析】由勾股定理得a 2+b 2＝9，由小正方形面积是1，得出（a ﹣b ）2＝1，即可得出结果．【解析】∵直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，大正方形面积是9，∴a 2+b 2＝9，∵小正方形面积是1，∴（a ﹣b ）2＝1，∴a 2+b 2﹣2ab ＝1，∴9﹣2ab ＝1，∴ab ＝4，故选：A ．10．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．3【分析】利用整体代入的思想求出（a ﹣b ）2的值即可．【解析】由题意可得，{ab =6a 2+b 2=16， ∴小正方形的面积＝（a ﹣b ）2＝a 2+b 2﹣2ab ＝16﹣12＝4，故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a 和b ，那么（a +b ）2的值为 29 ．【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．【解析】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，即得a2+b2＝42＝16，由题意4×12ab+3＝16，2ab＝13，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，故答案为：29．12．（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为49．【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【解析】直角三角形直角边的较短边为√132−122=5，正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×5×122=169﹣120＝49．故答案为：49．13．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4√3EF，则正方形ABCD的面积为98．【分析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．【解析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝4√3EF，∴2a＝4√3b，∴a＝2√3b，∵正方形EFGH的面积为2，∴b2＝2，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝49b2＝98，故答案为：98．14．（2020秋•福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于6．【分析】根据勾股定理得出AH与AE的值，进而解答即可．【解析】∵AB＝10，AH：AE＝3：4，设AH为3x，AE为4x，由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴5x＝10，∴x＝2，∴AH＝6，故答案为：6．15．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为27．【分析】根据题意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．【解析】由题意可得在图1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3，a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案为：27．16．（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n ，若S 1S 2=32，则n m 的值为 √55 ． 【分析】由S 1S 2=32，可得S 2为大正方形面积的25．设AB 为x ，表示出空白部分的面积S 2，即12x 2×4=25m 2，则x =√55m ，再在Rt △ABC 中使用勾股定理得到关于m ，n 的方程，可求得n m的值． 【解析】∵S 1S 2=32，大正方形面积为m 2， ∴S 2=25m 2．设图2中AB ＝x ，依题意则有： 4⋅S △ADC =25m 2，即4×12×x 2=25m 2， 解得：x 1=√55m ，x 2=−√55m （负值舍去）． 在Rt △ABC 中，AB 2+CB 2＝AC 2，∴(√55m)2+(√55m +n)2=m 2， 解得：n 1=m √5，n 2=−3m √5（负值舍去）． ∴nm =m √5m =1√5=√55． 故答案为：√55．17．（2020秋•金水区校级月考）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2＝10；②xy ＝2；③x −y =√2；④x +2y =4√2．其中说法正确的有 ①③④ ．（只填序号）【分析】大正方形的面积是10，则其边长是√10，显然，利用勾股定理可得①x 2+y 2＝10；小正方形的面积是2，则其边长是√2，根据图可发现y +√2=x ，即③x ﹣y =√2；还可以得出四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×12xy +2＝10，化简得②xy ＝4； 其中④x +2y ＝4√2，故成立．【解析】①大正方形的面积是10，则其边长是√10，显然，利用勾股定理可得x 2+y 2＝10，故选项①正确； ③小正方形的面积是2，则其边长是√2，根据图可发现y +√2=x ，即③x ﹣y =√2，故选项③正确； ②根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×12xy +2＝10，化简得②xy ＝4，故选项②错误；④{x −y =√2xy =4，则x +2y ＝4√2，故此选项正确． 故答案为：①③④．18．（2020•通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为 1 ．【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD 的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【解析】3﹣2＝1，1×1＝1．故图2中小正方形ABCD 的面积为1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC ＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝163．【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解析】（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，12×（3+1）×3×4=12×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3＝16，∴S 1＝8y +x ，S 2＝4y +x ，S 3＝x ，∴S 1+S 2+S 3＝3x +12y ＝16，∴x +4y =163，∴S 2＝x +4y =163． 故答案为：163．20．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt △ABC 中，AC ＝m ，BC ＝n ，∠ACB ＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m +n ）2；（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．【分析】（1）由题意（n ﹣m ）2＝1，m 2+n 2＝61，推出2mn ＝60，可得（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝121．（2）由（1）可知{m +n =11n −m =1，求出m ，n 的值，再利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）由题意（n ﹣m ）2＝1，m 2+n 2＝61，∴2mn ＝60，∴（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝61+60＝121；（2）由（1）可知{m +n =11n −m =1， ∴{m =5n =6，∴AC ＝5，BC ＝6，∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，CD ＝12，∴AD =√AC 2+CD 2=√52+122=13， ∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，交BC 的延长线与点F ，则四边形DFCE 为长方形，所以DF ＝EC ＝ b ﹣a ．（用含字母的代数式表示）因为S 四边形ABCD ＝S △ACD + S △ABC ＝12b 2 +12ab ； S 四边形ABCD ＝S △ADB + S △DCB =12c 2+ 12a(b −a) ； 所以 12b 2 +12ab =12c 2+ 12a(b −a) ； 所以 a 2+b 2＝c 2 ．【分析】根据面积公式和勾股定理的证明解答即可．【解析】证明：连接DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，交BC 的延长线与点F ，则四边形DFCE 为长方形，所以DF ＝EC ＝b ﹣a ．（用含字母的代数式表示）因为S 四边形ABCD ＝S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab ；S 四边形ABCD ＝S △ADB +S △DCB =12c 2+12a(b −a)；所以12b 2+12ab =12c 2+12a(b −a)；所以a 2+b 2＝c 2．故答案为：b ﹣a ；S △ABC ；12b 2；S △DCB ；12a(b −a)；12b 2；12a(b −a)；a 2+b 2＝c 2． 22．（2020秋•玄武区校级期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为28；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC ＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝403．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【分析】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．（3）可设AC ＝x ，根据勾股定理列出方程可求x ，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，得出答案即可．【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【解析】【初步运用】（1）由题意：b ＝2a ，c =√5a ，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a 2：9a 2＝5：9，故答案为：5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．故答案为：28．（3）24÷4＝6，设AC ＝x ，依题意有（x +3）2+32＝（6﹣x ）2，解得x ＝1，12×（3+1）×3×4=12×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（4）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3＝40，∴S 1＝8y +x ，S 2＝4y +x ，S 3＝x ，∴S 1+S 2+S 3＝3x +12y ＝40，∴x +4y =403，∴S 2＝x +4y =403．故答案为：403．[迁移运用]结论：a 2+b 2﹣ab ＝c 2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：12（a +b ）×k （a +b ）＝3×12×b ×ka +12×c ×ck ， ∴（a +b ）2＝3ab +c 2∴a 2+b 2﹣ab ＝c 2．23．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF 中，AC ＝DF ，点B 在CD 上，点E 在DF 上．BC ＝DE ＝a ，AC ＝BD ＝b ，AB ＝BE ＝c ，且AB ⊥BE ．（1）在探究长方形ACDF 的面积S 时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S ；另一种是将长方形ACDF 看成是由△ABC ，△BDE ，△AEF ，△ABE 组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S ．请根据以上材料，填空：方法一：S ＝ ab +b 2 ．方法二，S ＝S △ABC +S △BDE +S AEF +S △ABE ＝ab +12b 2−12a 2+12c 2．（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP 的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a ，b ，c 之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c ＝10，a ＝6，S 的值．【分析】（1）根据长方形的面积公式可求解；（2）根据长方形的面积＝4个三角形的面积和列式化简即可求解；（3）将a ，c 的值代入计算可求解b 的值，进而可求解S 值．【解析】（1）S ＝b （a +b ）＝ab +b 2．故答案为S ＝ab +b 2；（2）由题意得：ab +b 2=ab +12b 2−12a 2+12c 2，∴2ab +2b 2＝2ab +b 2﹣a 2+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；（3）∵a 2+b 2＝c 2，且c ＝10，a ＝6，∴62+b2＝102，∴b＝8，∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．答：S的值为112．24．（2020秋•苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．【分析】由面积的和差关系可求解．【解析】证明：∵S=c2+2×12ab=12(a+b+b)⋅b+12(a+a+b)⋅a，∴c2+ab=12ab+b2+a2+12ab，∴c2＝a2+b2．。

勾股定理之“赵爽弦图”模型【知识梳理】“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.【考点剖析】一．选择题(共2小题)1如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC= 6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.76B.72C.68D.52【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：A．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．2“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．若AB=10，EF=2，则AH的长为()A.62B.82C.6D.8【分析】由题意得，设AH=DE=CF=BG=x，则AE=DF=CG=BH=2+x，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．AB=10，EF=2，∴设AH=DE=CF=BG=x，则AE=DF=CG=BH=2+x，在Rt△AHB中，AB2=AH2+BH2，即102=x2+(x+2)2，整理得，x2+2x-48=0，解得：x1=6，x2=-8(不符合题意，舍去)，∴AH=6．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质，根据题意得到线段的关系，然后根据勾股定理列出方程并求解是解题关键．二．填空题(共4小题)3“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为　7　．【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2= 107，大正方形的面积为57，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵(a+b)2=107，∴a2+2ab+b2=107，∵大正方形的面积为57，∴2ab=107-57=50，∴小正方形的面积为57-50=7，故小正方形的边长为7．故答案为：7．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．4如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt △ABF 中，∠AFB =90°，AF =4，AB =5．四边形EFGH 的面积是1．【分析】四边形EFGH 的面积=四边形ABCD 的面积-四个全等直角三角形的面积．直角三角形的面积需利用勾股定理求出直角边后解答．【解答】解：因为AB =5，所以S 正方形ABCD =5×5=25．Rt △ABF 中，AF =4，AB =5，则BF =52-42=3，所以S Rt △ABF =12×3×4=6，四个直角三角形的面积为：6×4=24，四边形EFGH 的面积是25-24=1．故答案为1【点评】此题主要考查了勾股定理，以及正方形面积、三角形面积，难易程度适中．5如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm ，则图中五个正方形A 、B 、C 、D 、E 的面积和为98cm 2．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：设正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是a 、b 、c 、d ，则正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)+72=x2+y2+72=72+72=98(cm2)．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．【点评】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．6图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(2)所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为1cm2　；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是76cm．【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解；②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得解．【解答】解：图①，小正方形的面积=(6-5)2=1cm2；图②，外围直角三角形的斜边=122+52=13cm，周长=4×(13+6)=4×19=76cm，即，需要彩带的长度至少是76cm．故答案为：1cm2，76cm．【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．三．解答题(共3小题)7如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；(2)如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S2=　163　．【分析】(1)由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为(a -b )2，也可用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为c 2-4×12ab ，以此即可证明；(2)设正方形MNKT 的面积为x ，八个全等的直角三角形的面积均为y ，可得S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ，则S 1+S 2+S 3=12y +3x =16，根据整体思想即可求出S 2=4y +x =163．【解答】(1)证明：S 小正方形=a -b 2=a 2-2ab +b 2，另一方面S 小正方形=c 2-4×12ab =c 2-2ab ，即a 2-2ab +b 2=c 2-2ab ，则a 2+b 2=c 2；(2)解：设正方形MNKT 的面积为x ，八个全等的直角三角形的面积均为y ，∵S 1+S 2+S 3=16，∴S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=12y +3x =16，∴4y +x =163，∴S 2=4y +x =163．故答案为：163．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键．8我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：(1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；(2)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =4，BC =3，求CD 的长度．【分析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．(2)先由勾股定理求出AB 的长，再根据三角形的面积求CD 的长即可．【解答】解：(1)∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为：(b -a )2，∴c 2=4×12ab +(a -b )2=2ab +a 2-2ab +b 2即c2=a2+b2．(2)在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴由勾股定理，得：AB=AC2+BC2=42+32=5∵CD⊥AB，∴S△ABC=12AC•BC=12AB•CD∴CD=4×35=125．【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用，属于基本题型．9图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC=5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．(1)这个风车至少需要绕着中心旋转90°才能和本身重合；(2)求这个风车的外围周长(图乙中的实线)．【分析】(1)根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．(2)在直角△ABC中，已知BC，AB，根据勾股定理即可计算AC的长，AC=7，故求得BD即可计算风车的外围周长．【解答】解：(1)：∵360°÷4=90°，∴该图形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．(2)在直角△BCD中，BD为斜边，已知BC=5，AB=74，由勾股定理得：AC=7，CD=7+5=12，∴BD=52+122=13，∵风车的外围周长为4(BD+AD)=4(13+5)=72．【点评】本题考查了旋转角的定义及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中正确的计算BD是解题的关键．【过关检测】一．选择题(共10小题)10(2022春•东城区期末)如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.72B.52C.80D.76【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．11(2021秋•邳州市期中)公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为()A.1B.3C.4D.9【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：如图，∵勾a=3，弦c=5，∴股b=52-32=4，∴小正方形的边长=4-3=1，∴小正方形的面积=12=1，故选：A．【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．12(2021春•长垣市期末)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是()A.1：2B.1：4C.1：5D.1：10【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长=22+42=25，∴小正方形面积大正方形面积=22252=420=15．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．13(2022秋•青秀区校级期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为()A.12B.13C.14D.15【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b=5，∵(a+b)2=(a-b)2+4ab=5+4ab=21，∴ab=4，∴大正方形的面积=4×12ab+5=13，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．14(2022秋•南岸区校级期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()A. B. C. D.【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+(b -a )2=a 2+b 2，∴a 2+b 2=c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：(a +b )2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2=2ab +c 2，∴(a +b )2=2ab +c 2，∴a 2+b 2=c 2，故B 选项能证明勾股定理；C 、梯形的面积为：12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab ×2+12c 2=ab +12c 2，∴ab +12c 2=12(a 2+b 2)+ab ，∴a 2+b 2=c 2，故C 选项能证明勾股定理；D 、大正方形的面积为：(a +b )2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，∴D 选项不能证明勾股定理．故选：D ．【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．15(2022秋•平湖市期末)在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD 内部，其中点M ，N ，P ，Q 分别在长方形的边AB ，BC ，CD 和AD 上，若AB =7，BC =8，则小正方形的边长为()A.5B.6C.7D.22【分析】将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x ，较小的直角边为y ，根据AB =7，BC =8，列出二元一次方程组，求出x 和y ，再求出边长即可．【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x ，较小的直角边为y ，∵AB =7，BC =8，∴3x+y=73x+2y=8 ，解得x=2 y=1 ，∴小正方形的边长为22+12=5．故选A．【点评】本题考查了勾股定理与二元一次方程组的应用，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键．16(2022秋•鄄城县校级月考)如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是()A.16cm2B.25cm2C.30cm2D.169cm2【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，∴直角三角形①的面积=12×5×12=30(cm2)，故选：C．【点评】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点．17(2021秋•鹿城区校级期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，分别以AC，BC，AB 为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1=4，则S3为()A.8B.16C.43D.43+4【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【解答】解：∵S1=AC2=4，∴AC=2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，∴S3=AB2=16，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．18(2022秋•温州期末)如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG=5，则小正方形的面积为()A.15B.16C.20D.25【分析】由等腰三角形性质可得出BF=CF，利用HL可证得Rt△ABF≌Rt△DCF(HL)，得出AB=AD =2AF，根据余角的性质得出∠BAG=∠ABF，进而推出CF=BF=2AG=10，利用面积法求得BN= 8，再运用勾股定理求得CN=4，即可求得答案．【解答】解：设小正方形为EHMN，如图，∵四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=90°，CF∥AG，∵△BCF为等腰三角形，且BF>AB=BC，CF>CD=BC，∴BF=CF，在Rt△ABF和Rt△DCF中，AB=CD BF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△DCF(HL)，∴∠AFB=∠CFD，AF=DF，∴AB=AD=2AF，∵CF∥AG，∴∠CFD=∠DAG，∴∠AFB=∠DAG，∴AG=FG，∵∠AFB+∠ABF=90°，∠DAG+∠BAG=90°，∴∠BAG=∠ABF，∴AG=BG，∴CF=BF=2AG=10，在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，∴(2AF)2+AF2=102，∴AF=25，∴AB=BC=45，∵S△BCF=12BC•AB=12CF•BN，∴BN=BC⋅ABCF =45×4510=8，∴CN=BC2-BN2=452-82=4，∵△ABM≌△BCN，∴BM=CN=4，∴MN=BN-BM=8-4=4，∴S正方形EHMN=(MN)2=42=16，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键．19(2022春•南浔区期末)赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形(如图所示)．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI=2，CI=1，S2=5S1，则GI的值是()A.105B.9202 C.58D.34【分析】如图，连接DG，先由已知条件分别求得S2=CD2=32=9，S1=95，小正方形边长为355，再由勾股定理得：EG=EH2+HG2=3105，设AE=BF=CG=DH=x，则AF=BG=CH=DE=x+355，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2，即9=x2+(x+355)2，进而得AE=BF=CG=DH=x=355=EH，再得CH垂直平分ED，再由三角形的“三线合一”得∠DGH=∠HGE=45°进而得∠DGI=90°最后由勾股定理得：GI=DI2-DG2=22-31052=105，即得选项A．【解答】解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE=BF=CG=DH，AF=BG=CH=DE，CH⊥DE，∵DI=2，CI=1，∴CD=DI+CI=2+1=3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2=CD2=32=9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2=5S1，∴S1=95，∴EF=FG=GH=HE=355，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE=45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG=EH2+HG2=3105，设AE=BF=CG=DH=x，则AF=BG=CH=DE=x+35 5，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2，即9=x2+(x+355)2，解得：x1=355，x2=-655(不合题意，舍去)，即AE=BF=CG=DH=x=355，∴DH=EH=355，∴CH垂直平分ED，∴DG=EG=3105，∴∠DGH=∠HGE=45°，∴∠DGE=45°+45°=90°，∴∠DGI=90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI=DI2-DG2=22-31052=105，故选：A．【点评】本题是一道勾股定理的综合题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，线段的中垂线判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，二次根式计算与化简，关键是巧添辅助线构等腰直角三角形，顺利实现求得答案．二．填空题(共7小题)20(2022秋•锡山区期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12．以AB为一边在△ABC 的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为139．【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，由勾股定理知，AB=AC2+BC2=13．故S阴影=S正方形ABDE-S△ABC=132-12×5×12=169-30=139．故答案为：139．【点评】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．21(2022秋•德惠市期末)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE=5，AB=13，则中间小正方形EFGH的面积是49．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．【解答】解：∵AE=5，AB=13，∴BF=AE=5，在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=12，∴小正方形的边长EF=12-5=7，∴小正方形EFGH的面积为7×7=49．故答案为：49．【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22(2022秋•建邺区校级期中)将四个全等的直角三角形分别拼成正方形(如图1，2)，边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形(如图3)，其面积分别为S1，S2．则S1-S2= 12．【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b(a>b)，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解．【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b(a>b)，根据图1得：a+b=6，根据图2得：a-b=2，联立解得：a=4 b=2，∴S1=16，S2=4，则S1-S2=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理证明的应用，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系．23(2021秋•龙泉驿区校级月考)如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则(a +b )2的值是33．【分析】先由拼图列出关于面积的方程，再由勾股定理列一个直角三角形三边的方程并整理，最后把值整体代入和平方的展开式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 即可得出答案．【解答】解：∵由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，∴1+4×12ab =17a 2+b 2=172，即2ab =16a 2+b 2=17 ，∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =17+16=33．故答案为：33．【点评】这是一道勾股定理综合题，主要考查了拼图列方程，发现各个图形的面积和a ，b 的关系是解题关键．24(2022秋•金台区校级月考)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76．【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将AC 延长到点D ，连接BD ，根据题意，得CD =6×2=12，BC =5．∵∠BCD =90°∴BC 2+CD 2=BD 2，即52+122=BD 2∴BD =13∴AD +BD =6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．故答案为：76．【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．25(2022秋•工业园区校级期中)如图，在弦图中，正方形ABCD 的对角线AC 与正方形EFHI 的对角线EH 交于点K ，对角线AC 交正方形EFHI 于G ，J 两点，记△GKH 面积为S 1，△JIC 面积为S 2，若AE =12，CD =410，则S 1+S 2的值为16．【分析】由题意可得AF =CI ，∠AFG =∠CIJ =90°，FH ∥EI ，即可证明△AFG ≌△CIJ ，FG =IJ ，再根据四边形EFHI 为正方形，得到△GHK ≌△JEK ，从而得到点K 为正方形EFHI 的中心，过点K 作KM ⊥FH 于点M ，由勾股定理得DE =4，FH =8，KM =4，设GH =a ，FG =b ，则a +b =FH =8，最后用a ，b 表示出S 1+S 2=2(a +b )，将a +b 的值代入即可求解．【解答】解：由题意可得，AF =CI ，∠AFG =∠CIJ =90°，FH ∥EI ，∵∠AGF =∠HGK ，∠IJC =∠KJE ，∵FH ∥EI ，∴∠HGK =∠KJE ，∴∠AGF =∠IJC ，在△AFG 和△CIJ 中，∠AGF =∠IJC ∠AFG =∠CIJ =90°AF =CI ，∴△AFG ≌△CIJ (AAS )，∴FG =IJ ，∵四边形EFHI 为正方形，∴EI -IJ =FH -FG ，即HG =EJ ，在△GHK 和△JEK 中，∠HGK =∠KJE ∠GKH =∠JKE HG =EJ，∴△GHK ≌△JEK (AAS )，∴HK =EK ，即点K 为正方形EFHI 的中心，如图，过点K 作KM ⊥FH 于点M ，∵AE=12，CD=410，∴BF=12，AD=410，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=AD2-AE2=4，∴AF=DE=4，EF=AE-AF=12-4=8，则FH=8，KM=4，设GH=a，FG=b，则a+b=FH=8，∴S1=12GH⋅MK=12a×4=2a，S2=S△AFG=12FG⋅AF=12b×4=2b，∴S1+S2=2a+2b=2(a+b)=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，解题的关键是寻找全等三角形的条件解决问题．26(2022秋•宁德期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP-S△CGP=12，③DH+HC=4，④HC=2+22，以上说法正确的是①③④.(填写序号)【分析】由全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式，结合“赵爽弦图”的特点，可以解决问题．【解答】解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG=AE，∠CGP=∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP=∠MAE，∴△CGP≌△AEM(ASA)，∴S△CGP=S△AEM，CP=ME，∴S△AFP-S△CGP=S四边形MEFP∵HE=GF，∴HM =PF ，∴S 四边形MEFP =S 四边形MHGP =12S 正方形EFGH=1，∴S △AFP -S △CGP =1，∵DH 2+CH 2=DC 2=9，∴(DH +CH )2=DH 2+CH 2+2DH •CH =9+2DH •CH ，∵CH -DH =HG ，∴(CH -DH )2=HG 2=2，∴CH 2+DH 2-2DH •CH =2，∴2DH •CH =7，∴(DH +CH )2=9+7=16，∴DH +CH =4，∵CH -DH =2，∴HC =4+22=2+22，故答案为：①③④．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式，关键是读懂“赵爽弦图”并灵活应用以上定理和公式．三．解答题(共2小题)27(2021秋•凤翔县期中)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c 2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab ×4+b -a 2，从而得到等式c 2=12ab ×4+b -a 2，化简便得结论a 2+b 2=c 2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题(1)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =3，BC =4，求CD 的长度．(2)如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB =4，AC =5，BC =6，设BD =x ，求x 的值．【分析】(1)先根据勾股定理先求出AB ，再根据“双求法”求出CD 的长度；(2)运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD ，德关于x 的方程求解．【解答】解：(1)在Rt △ABC 中AB =32+42=5，由面积的两种算法可得：12×3×4=12×5×CD ，解得：CD =125．(2)在Rt △ABD 中AD 2=42-x 2=16-x 2，在Rt △ADC 中AD 2=52-(6-x )2=-11+12x -x 2，所以16-x 2=-11+12x -x 2，解得x=2712=94．【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．28(2021春•利辛县期中)如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2=c2．【分析】由题意可得：S正方形ABCD =(a+b)2，S正方形EFGH=c2，S△BEF=12×ab，再根据S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD =(a+b)2，S正方形EFGH=c2，S△BEF=12×ab，∵S正方形ABCD =S正方形EFGH+4S△BEF，∴(a+b)2=c2+4×12×ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2．【点评】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题关键．。

弦图模型1.弦图基本模型模型一：c ba模型二：1.弦图模型之变形60°60°60°ααα探究重难点：例1.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且BE=CF, 连接AE 、BF 交于点H 。

（1）求证：AE=BF(2)求证：AE ⊥BF c ab变式练习 1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接AE、BF交于点H，且AE⊥BF.求证：AE=BF变式练习 2如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．例2. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D 为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为为多少？例3.如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?变式练习1．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C.（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）变式练习 2.：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4为变式练习 3.如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将梯形的腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，CE，若△ADE的面积为3，那么BC的长为多少？变式练习 4.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M.下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC.其中正确结论的是变式练习 5.如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为______。

专题12赵爽弦图模型与勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。

弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。

一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。

广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD 中，AE ⊥BF 于点E ，BF ⊥CG 于点F ，CG ⊥DH 于点G ，DH ⊥AE 于点H ，则有结论：△ABE ≌△BCF ≌△CDG ≌△DAH ；S 正方形ABCD =4S △EAB +S 正方形EFGH 。

图1图2图3（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边上的点，且四边形EFGH 是正方形，则有结论：△AHE ≌△BEF ≌△CFG ≌△DGH ；S 正方形ABCD =4S △EAB +S 正方形EFGH 。

（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFGH =S 正方形ABCD +S 正方形PQMN .例1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若168ab =，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（）A ．7B ．24C ．17D ．25【答案】C 【分析】勾股定理得：22625a b +=，又222()26252168289a b a b ab -=+-=-⨯=，由此即可求出17()a b a b -=>，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是a b -，由勾股定理得：22625a b +=，222()26252168289a b a b ab -=+-=-⨯= ，17()a b a b ∴-=>，A ．8B ．12【答案】C 【分析】设AE x =，3BE x =积公式可推导出FGQ AEP S S = 式求解即可．【详解】解：由题意，AEP ∠∴AE CF ∥，BE DG ∥，EF ∴()ASA AEP CGQ ≌，∴∵:3:1BE AE =，∴设AE =∴2EF GF CF CG x ==-=，∴∴阴影部分的面积之和为S 梯形例3．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC ＝12，BC ＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．148B ．100C ．196D ．144【答案】A 【分析】通过勾股定理可求出“数学风车”的斜边长，然后求出风车外围的周长即可．【详解】解：如图，设将CA 延长到点D ，连接BD ，由题意得：12224,7,90CD BC BCD =⨯==∠=︒，25BD ∴=，122537AD BD ∴+=+=，∴这个风车的外围周长是374148⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．例4．（2022·中山八年级期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为1S ,2 S ，3S ．若12318S S S ++=,则正方形EFGH 的面积为_______．【答案】6【分析】设四边形MTKN 的面积为x ，八个全等的三角形面积一个设为y ，构建方程组，利用整体的思想思考问题，求出x+4y 即可．【解析】解：设四边形MTKN 的面积为x ，八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=18，∴得出S 1=x ，S 2=4y+x ，S 3=8y+x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S 2=x+4y=6，即正方形EFGH 的面积为6．故答案为6【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．【答案】①②③【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为为b a -，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形公式，勾股定理逐项进行判断即可．【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为为b a -，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形∴21S b =，22S a =，()2224MNPQ S c c ==四边形．∴22122S a S c b =++=．模型2.勾股树模型例1．（2022·重庆市八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是28cm ，212cm ，214cm ，则正方形D 的面积是______2cm ．【答案】15【分析】根据勾股定理有S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，等量代换即可求正方形D 的面积．【详解】解：如图，根据勾股定理可知，∵S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，∴S 大正方形=S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B =49．∴正方形D 的面积=49-8-12-14=15（cm 2）；故答案为：15．【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（）A ．S S =甲丁B ．S S =乙丙C ．S S S S -=-甲乙丁丙D ．S S S S +=+甲乙丁丙【答案】D 【分析】连接AC ，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC ，由勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2，AD 2+CD 2=AC 2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2022S 的值为___________．【答案】201912【分析】根据勾股定理可得222DE CE DC +=，从而得到2112S S =，依次类推，即可得到3211124S S S ==，找出规律，进而得到S 2022的值．【详解】解：如图所示，△CDE 为等腰直角三角形，则CE =DE ，222DE CE DC +=，∴222DE CD =，即221112222S S ==´=，同理可得：32111124S S S ===，4311311112822S S S S ====，∴202212021202120191114222S S ==´=．故答案为：201912．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A ．12B ．32C ．64D ．128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，222=2=4⨯图（3）比图（2）多出8个正方形，342=2=8⨯；图（4）比图（3）多出16个正方形，482=2=16⨯；图（5）比图（4）多出32个正方形，5162=2=32⨯；照此规律，图（n ）比图（n -1）多出正方形的个数为：2n故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：62=64；故答案为：C ．【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．例5．（2022·广东珠海·八年级期末）如图ABC 为直角三角形，斜边4AC =，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】A 【分析】先根据勾股定理得出22216AB BC AC +==，再根据圆的面积公式表示出2212112222AB BC S S ππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理解得得出答案．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，斜边4AC =，∴22216AB BC AC +==，∴2212112222AB BC S S ππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244AB BC π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()228AB BC π=+168π=⨯2π=故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容．例6．（2023·江苏八年级期末）如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，分别以△ABC 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD 、△ACE 、△BCF ，若图中阴影部分的面积S 1＝6.5，S 2＝3.5，S 3＝5.5，则S 4＝_____．【答案】2.5【分析】DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H ；设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n =△，由222+=a b c ，可得ABD ACE BCF S S S +=△△△，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．【详解】如图，DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H∵△ABD 、△ACE 、△BCF 均是等腰直角三角形∴AB ＝BD ，AC ＝CE ，BC ＝CF ，设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n=△∵222+=a b c ∴ABD ACE BCF S S S +=△△△∵1ABD S S m =+△，4ACE S n S =+△，23BCF S S S m n =+++△∴1423S m n S S S m n +++=+++∴4231=3.5 5.5 6.5 2.5S S S S =+-+-=故答案为：2.5．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．例7．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC 中，∠BAC =90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积1S 、2S 、3S 之间的数量关系是（）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积1S 、2S 、3S 之间的数量关系是（），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＋∠BCD =90°，BC =2AD ，分别以AB 、CD 、AD 、BC 为边向四边形外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1S 、2S 、3S 、4S 之间的数量关系式为（），请说明理由．【答案】（1）123S S S +=；（2）123S S S +=；理由见解析；（3）123412S S S S =++，理由见解析．【分析】（1）利用直角ABC 的边长就可以表示出等边三角形1S 、2S 、3S 的大小，满足勾股定理；【点睛】本题主要考查的是三角形、正方形、圆形的计算面积以及勾股定理，熟练掌握三角形、正方形、圆形的面积的计算公式是解答本题的关键．课后专项训练1．（2023·北京初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的关系是（）A ．1S +2S =3S B ．222123S S S +=C ．222123S S S +＞D ．222123S S S +＜【答案】A 分析：设直角三角形各边长为2a 、2b 、2c ，如图所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴（2a ）2+（2b ）2=（2c ）2，化简得：a 2+b 2=c 2，S 1=12πa 2，S 2=12πb 2，S 3=12πc 2；S 1+S 2=12π（a 2+b 2）=12πc 2=S 3．故选A ．考点：勾股定理．2．（2022成都市八年级数学期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这3个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】D【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是a ，b ，c ，根据勾股定理，得222+=a b c ，即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，同理：正方形D 的面积+正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形G 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202212022⨯=．故选：D【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．3．（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．最大正方形与直角三角形的面积和D ．较小两个正方形重叠部分的面积【答案】D 【分析】根据勾股定理得到222c a b =+，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可．【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，斜边为c ，由勾股定理可得，222c a b =+，阴影部分面积222()()()c b a c b a a c b a a b c =---=--=+-，较小两个正方形重叠部分的面积()a a b c =+-，∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积．故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题．4．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，△ABC 中，90ACB ∠= ，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）A ．以BC 为边的正方形面积B ．以AC 为边的正方形面积C ．以AB 为边的正方形面积D ．△ABC 的面积【答案】D 【分析】如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，证明△ADE ≌△CAN 得到=ADE CAN S S △△，AE =CN 同理可证△BGH ≌△CBN ，得到=BGH CBN S S △△，BH =CN ，则==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，即可推出=5ABC S S △阴影由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，∴∠CNA =∠DEA =∠DAC =90°，∴∠DAE +∠EDA =∠DAE +∠CAN =90°，∴∠ADE =∠CAN ，又∵AD =CA ，∴△ADE ≌△CAN （AAS ），∴=ADE CAN S S △△，AE =CN同理可证△BGH ≌△CBN ，∴=BGH CBN S S △△，BH =CN ∴==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，∴=ABC S AB AE AB BH S ⋅+⋅+△阴影=2ABC AB CN S ⋅+△=5ABC S △，∴只需要知道△ABC 的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．5．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【答案】C【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【详解】解：由题意：S正方形A +S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．6．（2023春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为（）A．144【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的根据勾股定理，得AF所以正方形ABCD的面积为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．7．（2023春·湖北武汉A．1B．2【答案】C△≌△【分析】先证明EDO【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键8．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五积关系验证勾股定理．图2G，H，I都在长方形KLMJA ．420B ．440【答案】B 【分析】延长AB 交KL 于P ，延长AC 交LM 相等可得PB AC CQ AB ==，，然后求出IP 和【详解】解：如图，延长AB 交KL 于P ，延长由题意得，90BAC BPF FBC ===︒∠∠∠，【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点．9．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）勾股定理，如图所示的“弦图角形较短直角边长为a ，较长直角边长为为．【答案】1【分析】结合图形，得出【详解】解：根据题意得：【答案】4π【分析】先分别算出1S 、【详解】解：∵12AC S π⎛= ⎝∴211S S AB BC ππ+=+【答案】63【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有123+=（个），第二代勾股树中正方形有21227++=（个），第三代勾股树中正方形有234512222263+++++=（个）故答案为：13．（2022·广西·八年级课时练习）如图，Rt △ABC 的两条直角边6BC =，8AC =．分别以Rt △ABC 的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，则4S 的值为______，231S S S +-的值为______．【答案】240【分析】先证明,ADE ABC V V ≌从而可得4,S 再利用图形的面积关系可得：223451567864,10100,S S S S S S S ++==+++==两式相减可得：17336,S S S +-=而227636,S S +==证明132,S S S -=从而可得第二空的答案.【详解】解：如图，以Rt △ABC 的三边为边作三个正方形，,,90,AC AE AB AD EAC DAB \==Ð=Ð=°226810,AB =+=,EAD CAB \Ð=Ð,ADE ABC \V V ≌46116824,22S S AC BC \===创=g 223451567864,10100,S S S S S S S ++==+++==两式相减可得：17336,S S S +-=而227636,S S +==132,S S S \-=23113310.S S S S S S S -=-+-=∴+故答案为：24，0【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明ADE ABC ≌是解本题的关键.【答案】55n(3)新知运用：根据你所发现的结论完成下列问题．①某个直角三角形的两条直角边a 、b 满足式子②由①中结论，此三角形斜边c 上的高为形组成的，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为【答案】(1)b a -(2)222+=a b c (3)①5c =根据勾股定理可得：222,a b c +=∴正方形,G H 的面积之和等于正方形E 的面积，同理可得：正方形E 的面积等于正方形A ，B ，C ，D 的面积的和，所以正方形E 的面积为2＋4＋1＋2＝9，所以正方形E 的边长为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要．17．（2022春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）．【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断1S 、2S 、3S 的数量关系并说明理由．【答案】【实践操作】见解析；【探索发现】123S S S +=，理由见解析【分析】在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得222+=a b c ．在图2中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得222+=a b c ．在图3中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：222+=a b c ．由等边三角形的性质、三角形面积公式以及勾股定理即可得出结论．即()22142c ab b a =⨯+，整理得：222+a b c ，在图2中，连接，则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即()()11+2a b a b +=222+=a b c ；中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，18．（2022·北京昌平·七年级期末）数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a 和b ，且a b <；最长的那条边叫做斜边，边长为c ）围成一个边长为c 的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为b a -的小正方形．(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为2S c =，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为214()2S ab b a =⨯+-，∴2214()2c ab b a =⨯+-．化简等号右边的式子可得∴2c =_______．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．【答案】(1)a 2+b 2；(2)见解析【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案；（2）利用以c 为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a +b 的正方形的面积建立方程，即可得出结论．(1)解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S =c 2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为S=4×12ab+（b-a）2，∴c2=4×12ab+（b-a）2．化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：a2+b2；(2)如图4，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×12ab，∴c2+2ab=a2+b2+2ab，∴a2+b2=c2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．。

勾股定理及弦图
茶陵县下东中学段中明2014年12月
这就是一个“弦图”。

“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。

三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。

我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。

1.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多少？
2.在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积是。

3.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ的面积是多少cm2?
4.点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，∆APB的面积是90cm2，∆CPB的面积是48cm2。

请你回答：正方形ABCD的面积是多少cm2？
5、如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、
AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩
形ABCD的面积为
6、如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、
；
HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S
1。