“弦图”巧解题

初中数学辅助线添加技巧：弦图勾股的几个重要证明方法证法一（赵爽证明）：以a 、b 为直角边（b >a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．c b aHG F EDCBA∵ Rt △DAH ≌ Rt △ABE ， ∴ ∠HDA = ∠EAB ． ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2． ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ，∠HEF = 90º．∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2b a -． ∴()22142ab b a c ⨯+-= ．∴ 222a b c +=．证法二（邹元治证明）：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ． 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上．cb a HGFED CBA∵ Rt △HAE ≌ Rt △EBF ， ∴ ∠AHE = ∠BEF ． ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º，∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º． ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º．∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形．它的面积等于c 2． ∵ Rt △GDH ≌ Rt △HAE ， ∴ ∠HGD =∠EHA ． ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º． 又∵ ∠GHE = 90º， ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º．∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2a b +． ∴ ()22142a b ab c +=⨯+．∴ 222a b c +=．证法三（陈杰证明）：直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形的面积为S ．c b a Ic b a HGF EDCBA∵△ABH ≌ △HEF ， ∴BAH EHF ∠=∠，∴90BAH AHB EHF AHB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90AHF ∠=︒，∴四边形AHFI 是正方形．∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+，∴222a b ab c ab ++=+， ∴222a b c +=．证法四（1876年美国总统Garfield 证明）：c b a cb ED C BA以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上． ∵ Rt △EAD ≌ Rt △CBE ， ∴ ∠ADE = ∠BEC ． ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º， ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º． ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º． ∴ △DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于212c ．又∵ ∠DAE = 90º， ∠EBC = 90º， ∴ AD ∥BC ．∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()212a b +． ∴()221112222a b ab c +=⨯+． ∴222a b c +=．证法五（总统证法变形）：如图，矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90º至AB'C'D'的位置，连接CC'．设,,AB a BC b AC c ===．B'C'D'c b aD C BA∵四边形BCC'D'为直角梯形，∴()()2122'D'a b S BC C'D'BD'+=+=梯形BCC ． ∵Rt Rt ABC AB'C'△≌△， ∴BAC B'AC'∠=∠．∴2211122222ABC CAC'D'AC''D'c abS S S S ab c ab +=++=++=△△△梯形BCC ． ∴()22222a b c ab++=．∴222a b c +=．证法六（梅文鼎证明）：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ． 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上． 过C 作AC 的延长线交DF 于点P ．a b c a b c a bc P cb a HG F E DC BA∵ D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △GEF ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º． 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形． ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º． ∵ Rt △ABC ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠ABC = ∠EBD ． ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º． 即∠CBD = 90º．又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a ． ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形． 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形．设多边形GHCBE 的面积为S ，则222112,222a b S ab c S ab +=+⨯=+⨯∴222a b c +=．勾股定理的证明方法较多，这是其中的几种．方法总结：勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的． 观察上面的证明方法可发现：每个图形中都可以提炼出一个相同的模型——三垂直全等模型．如下图所示．三垂直全等模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或者正方形的试题时，在很多情况下我们可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整的弦图，有时只需一半弦图——三垂直全等模型．图a 与图b 是三垂直全等模型经过直角三角形位置变化之后所得到的另外两个有三垂直和全等三角形的图形，在做题时可参考．图b图a典例精析例1．（1）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．图1CBA（2）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积是5和11，则b 的面积为 ．b a cCEDBA解：（1）76；（2）16例2如图1——图3，两个正方形如下图并列排列，要求剪两刀，使之拼成一个新的正方形．（1）如图1，若正方形边长分别为1、2，请在图中画出剪切线；（2）如图2，若正方形的边长分别为a 、b （a >b ），请画出剪切线并标出各边的长度； （3）若要求剪三刀拼成一个正方形，请在图3中画出剪切线．图3图2图1解：（1）、（2）、（3）的剪切线如图a 、图b 、图c 所示：图c图b图a点拨：图c 是证明勾股定理中非常有名的“朱青出入图”． 例3．如图，已知ADBC ，ABE △和CDF △是等腰直角三角形，90,2,5EAB FDC AD BC ∠=∠=︒==，求四边形AEDF 的面积．CFEDBA解：分别过点E 、B 作EN AD ⊥，BM AD ⊥交DA 的延长线于点N 、M ，分别过点F 、C 作FP AD ⊥，CQ AD ⊥，交AD 及AD 延长线于点P 、Q ．NM QP CFEDBAAED ADF EAFD S S S =+△△四边形 ()111222AD EN AD FP AD EN FP =+=+ ∵△AEB 和△FDC 都是等腰直角三角形， ∴90,,EAB FDC AE AB DF CD ∠=∠=︒==． ∵EN AD ⊥，BM AD ⊥，FP AD ⊥，CQ AD ⊥， ∴90BMN ENA FPD DQC ∠=∠=∠=∠=︒． ∴,ENA MBA FPD QCD ∠=∠∠=∠． ∴,ENA AMB FPD DQC △≌△△≌△． ∴,EN AM FP DQ ==．∴EN FP AM DQ MQ AD +=+=-． ∵ADBC ，BM CQ ，且90BMN ∠=︒，∴四边形BMQC 是矩形． ∴BC MQ =． ∵5,2BC AD ==，∴523EN FP +=-=． ∴12332EAFD S =⨯⨯=四边形．例4． 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =a ，AC =b ，以其各边向外作正方形，得到一个凸六边形DEFGHI ．（1）求这个六边形的面积；（2）试判断线段EF 、GH 、DI 能否构成三角形，若能，探求该三角形的面积与△ABC 面积的关系；若不能，请说明理由．ZY XW 图3图2图1A B C H ID EF GAB C HI D E FGH P IC GFEDB A解：（1）如上图2，作出正方形ABDE 的内弦图，则易知四个直角三角形全等． 则AZ WB AF ==，那么AWB AZE DYE BXD ABC S S S S S ====△△△△△．又∵,,EAF EAZ DBI DBX GCH ABC S S S S S S ===△△△△△△，且AEF ABC CGH BID S S S S ===△△△△，4ABC AFGC BCHI ABDE DEFGHI S S S S S =+++△正方形正方形正方形六边形 222142a b c ab =+++⨯22222a b ab =++．（2）线段EF 、GH 、DI 能构成三角形． 如图3，过点F 作FPGH 交AC 于点P ，连接EP 、IP ，易证四边形FPHG 是平行四边形，PHI ACB △≌△， ∴四边形PIDE 也是平行四边形． 那么,AFP GCH BID APE △≌△△≌△．∴EF 、GH 、DI 可能构成三角形，即EPF △，面积为3ABC S △．点拨：以三角形三边为边向外分别作正方形的题型，可能构造弦图或者作平行线构造平行四边形，利用弦图的性质，三角形全等或者面积关系来解题．例5． 将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC′= °． 问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ． 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．AB CEFG PQ图3解：情景观察：AD 或A′D ；90． 问题探究：结论：EP =FQ ． 证明：∵△ABE 是等腰三角形， ∴AB =AE ，∠BAE=90°． ∴∠BAG +∠EAP =90°． ∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP ． ∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EPA =90°， ∴Rt △ABG ≌Rt △EAP ． ∴AG =EP ．同理AG =FQ ． ∴EP =FQ ． 举一反三如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ．设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于点P ，FQ ⊥l 于点Q ．求证：EP =FQ ．图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'HNM QP Ll CGFEDBA点拨：这两道题图形较复杂，但解题的思路很清晰，仍是构造三垂直全等模型，添加了辅助线问题就迎刃而解了．例6． 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，EP ⊥l 于点P ．求证：2EP +AD =2CD ．M P l CFED BA解：作AH BC ⊥于点H ，延长EP 交AH 于点G ．54321M PlCFEDBA∵l 是AD 的垂直平分线， ∴1,2AM DM AD l AH ==．又∵ABCD 是梯形， ∴90C D ∠=∠=︒． ∴四边形AHCD 是矩形， ∴AH CD =． 又∵PE l ⊥，∴EH AH ⊥，∴四边形AGPM 是矩形， ∴12GP AM AD ==， ∴1290∠=∠=︒． ∴3490∠+∠=︒．在正方形ABFE 中，,90AB AE BAE =∠=︒， ∴4590∠+∠=︒． ∴35∠=∠．∵12∠=∠，35∠=∠，AB EA =， ∴ABH EAG △≌△．∴AH EG =，即CD AH EG ==．∴12CD GP PE AD PE =+=+，即22CD AD PE =+． 例7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，设BCD α∠=，以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE ．CEDBA（1）当45α=︒时，求EAD △的面积； （2）当30α=︒时，求EAD △的面积；（3）当090α︒<<︒，猜想EAD △的面积与α的大小有无关系？若有关，写出EAD △的面积S 与α的关系式；若无关，请说明理由．解：（1）当45α=︒时，90BCE ∠=︒．延长AD 交DE 于点G ，则AG CE ⊥，点G 是CE 中点，CG EDBA∴四边形ABCG 是矩形，EG =DG =1． ∴112122EAD S AD EG ==⨯⨯△． （2）当30α=︒时，延长AD 交CE 于点G ，过点E 作EH AG ⊥于点H ．HCG ED BA∵30α=︒，∴30CDG ∠=︒，60EDG ∠=︒，DE CD ==． 在Rt EHD △中，12DH DE ==， ∴1， ∴112122EAD S AD EH ==⨯⨯△． （3）分别过E 、C 两点作AD 的垂线，交AD 延长线于点F 、G ，HCG ED BA∴90EFG AGC ∠=∠=︒， ∵,ADBC AB BC ⊥，∴90B BAD ∠=∠=︒， B BAD AGC ∠=∠=∠，∴四边形ABCG 是矩形． ∴3AG BC ==， ∴321DG =-=， ∵90CDE ∠=︒， ∴90CDG EDG ∠+∠=︒， ∵90CDG DCG ∠+∠=︒，∴DCG EDG ∠=∠， ∵CD DE =， ∴CDG DEF △≌△， ∴1DE DG ==， ∴112122EAD S AD EF ==⨯⨯△． ∴EAD △的面积与α的大小无关． 跟踪训练1．如图，点C 为线段AB 上一点，正方形ADEF 和正方形BCDG 的面积分别为10cm 2和5cm 2，则△EDG 的面积为 cm 2．CGFEDBA2．四边形ABCD 是正方形，直线1l ，2l ，3l 分别通过A 、B 、C 三点，且123l l l ，若1l 与2l 的距离为5，2l 与3l 的距离为7，则正方形ABCD 的面积为 ．CDBA3．在正方形ABCD 中，点G 为BC 上任意一点，连接AG ，过B 、D 两点分别作,BE AG DF AG ⊥⊥，垂足分别为E 、F 两点．探究线段EF 、DF 、BE 三者之间的关系，并证明你的结论．CGFEDBA4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为1S，2S，3S．若12310S S S++=，则2S的值是．5．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，—4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化？写出你的结论，并说明理由．例6．如图，Rt △PQR 的直角边为5厘米，9厘米．问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？95RQ P FEDCBA7．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图1所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6．5厘米，宽为2厘米的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼成一个正方形（要求：先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）．图2图1中考前瞻如图1至图3，点C 为定线段AB 外一动点，以AC 、BC 为边分别向外侧作正方形CADF 和正方形CBEG ，分别作1DD AB ⊥、1EE AB ⊥，垂足分别为1D 、1E ．当C 的位置在直线AB 的同侧变化过程中，（1）如图1，当∠ACB ＝90°，AC =4，BC =3时，求11DD EE +的值；（2）求证：如图2，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，11DD EE +的值为定值； （3）求证：如图3，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，线段DE 的中点M 为定点．图3图2图1A1E 1GAD 1BE 1E GC FD E 1D 1GFEDC B A。

第一讲巧解“弦图”与面积“弦图”是由八个完全一样的直角三角形组拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形，如图所示。

“弦图”的特点：(1)小长方形长宽之和＝大正方形边长；(2)小长方形长宽之差＝小正方形边长。

根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。

(1) 一张5×5的方格纸，每个方格都编了号码（如下图）。

挖去一个方格后，可以剪成8个1×3的长方形，那么应挖去的方格的编号是几？答案：挖去13号解析：利用弦图的方法，画一画，便很容易看出，挖去的方格的编号应为13。

剪成的8个长方形分别是：（1）1号、6号、11号；（2）2号、7号、12号；（3）3号、4号、5号；（4）8号、9号、10号；（5）14号、19号、24号；（6）15号、20号、25号；（7）16号、17号、18号；（8）21号、22号、23号。

结果如右上图。

(2)用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框（见下图）。

边框的外周长为264厘米，里面小正方形的面积为900平方厘米。

问：每块长方形条砖的长与宽各是多少厘米？答案：长：24；宽：18解析：由题中信息可以先求到大正方形与小正方形的边长。

（1）900＝30×30 →小正方形的边长为30厘米（2）大正方形的边长：264÷4＝66（厘米）（3）观察图形可知：2长＋1宽＝66→①2长－1宽＝30→②（4）利用消去法将①、②相加可得：长为：（66＋30）÷4＝24（厘米）宽为：66－24×2＝18厘米(3)大、小两个长方形摆成如下图所示的形状，小长方形的长是宽是2倍。

如果大、小两个长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间那部分图形的面积是40平方厘米，那么大、小长方形的面积各是多少平方厘米？答案：大：112；小：72解析：四个角上是边长为1厘米的小正方形，图中最小的长方形的宽为1厘米。

第13讲巧解“弦图”与面积巧点睛——方法和技巧三国时期，吴国数学家赵爽在为数学巨著《周髀算经》注释时，就得用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。

“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小下方形，如图所示。

“弦图”的特点：（1）小长方形长宽之各=大正方形边长；（2）小长方形长宽之差=小正方形边长。

根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。

巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是。

解由题给条件“正方形与阴影长方形的边分别平行”（或直观上观察）知，正方形四角处的四个四边形都为长方形，而四边形ABCD的各边都分别平分这四个长方形，所以，四边形ABCD的面积=四角处四个长方形面积和的一半+6=（10×10-6）÷2+6=47+6=53。

做一做1 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如右图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。

问：长方形的短边是几米？【例2】如图1，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米。

如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析 要求出大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长即可。

下面设法求这两个量中的某个量。

图2与图1有类似之处，添辅助线将图1变成图“弦图”。

图2中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为12÷4=3（厘米2）。

又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为3÷1=3（厘米）。

大正方形的边长为4厘米，这样就可以求出面积了。

解法1 一个长方形的面积：12÷4=3（厘米2）， 长方形的长：3÷1=3（厘米）， 大下正方形的边长：3+1=4（厘米）， 大正方形的面积：4×4=16（厘米2）。

勾股弦方图是一种证明勾股定理的图像，具体来说就是：用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股弦方图”中，以弦为边长的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为(2)a b ⨯÷；中间的小正方形边长为()b a -，则面积为2()b a -．于是便可得如下的式子：22 4(2)()a b b a c ⨯⨯÷+-=，化简后便可得：222a b c +=．重难点：弦图的实际应用． 题模一：正方形弦图例1.1.1如图，大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则中间小正方形的面积为_____．例1.1.2如右图，直角三角形PQR 的两个直角边分别为5厘米，9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？例1.1.3如图，四边形CDEF 是正方形．四边形ABCD 是等腰梯形，它的上底4AD =厘米，下底8BC =厘米．求三角形ADE 的面积．几何第17讲_弦图a b例1.1.4如下图所示，五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE 垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，:3:2CD DE ．那么，三角形ACE 的面积是多少平方厘米？题模二：一般四边形弦图例1.2.1如果长方形ABCD 的面积是562cm ，那么四边形MNPQ 的面积是多少2cm ？例1.2.2如图，将矩形ABCD 分成15个大小相等的正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 、CD 边上，且是某个 小正方形的顶点，若四边形EFGH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积为多少？EABCDFFEDC BA235 C PBNAMDQ AF BGCHD E例1.2.3图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．例1.2.4有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为多少?随练 1.1如图，三角形ABC 是直角三角形，四边形ACDE 、FGBA 都是正方形6AB =， 8BC =，那么三角形AEF 的面积是多少？随练1.2如图6，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD 的面积是___________．随练1.3图中外侧的四边形是一个边长为12的正方形，那么阴影部分的面积是________．2厘米 3厘米FEDCBAGDCBA图6作业1以三角形ABC 的两条边为边长，做两个正方形BDEC 和ACFG ．已知三角形ABC 与正方形BDEC 的面积比，以及正方形BDEC 和ACFG 的边长的比都是3：5，求三角形CEF 与整个图形面积的最简整数比是多少？作业2在边长等于5的正方形内有一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积为__________．作业3如图，图中最大的长方形面积是27，最小的长方形面积是5，求阴影部分的面积__________．作业4如图，在边长为20的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是_______．34DEFGCBA。

2019育才双语，实验北小升初的考试形式分析几何题心算技巧（三）弦图
弦图是中国古代数学家赵爽提出，并用它证明了勾股定理。

现在的小学奥数中，利用弦图来解几何题是非常好用的，掌握熟练，可以心算一些类型的几何题。

例题：如图正方形ABCD中，GH=5，EF=4，阴影部分面积是120，求正方形ABCD的面积。

这道题的阴影面积是无法直接计算的，表面看来是无从下手，但是通过构
造弦图
可知中间的小长方形的面积是4×5=20，小长方形周围的四个阴影三角形和阴影外围的四个白三角形面积相等。

所以大正方形的面积是（120-20）×2+20=220
巧妙利用弦图，完全可以快速的心算出答案。

下面再看一道题
例题：正方形ABCD，DE=4，长方形BCEF的面积是16.25，求正方形ABCD的边长
如果可以用笔，可以列方程设正方形ABCD的边长是x，则x（x-4)=16.25
但是需要会解一元二次方程。

我们利用长方形BCEF构造弦图
中间的小正方形面积是4×4=16，四个长方形的面积是16.25×4=65 所以大正方形的面积是16+65=81，边长是9
长方形BCEF的：长+宽=9；长-宽=4；
又变成了最熟悉的和差问题，
正方形ABCD的边长=（9+4）÷2=6.5。

“弦图”解题例谈特级教师吴乃华“弦图”是由八个形状相同、大小相等的直角三角形，拼成的四个长方形而围成的中空也为正方形的正方形（图1）。

早在一千七百多年前，三国时期的吴国数学家赵爽，在为我国数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用它对勾股定理作出了严格而又简捷的证明。

弦图的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和，中空部分的小正方形的边长,就是长方形长边与宽边的差。

根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系，斜边与直角边的关系，可以巧妙而简捷地解决许多实际问题。

【例1】一个直角三角形的斜边长101厘米，而它的两条直角边一条比另一条短79厘米，这个三角形的面积多少平方厘米？解：“弦图”这个名称，也可以说是以四个完全一样的直角三角形的斜边为边的正方形，赵爽称它为“勾股圆方图”。

本题，如果我们想到了这个图，问题就变得十分简单了。

如右图2，我们用四个完全一样的直角三角形拼成一个大正方形。

大正方形的边长是101厘米，面积是：101×101＝10201（平方厘米）里面小正方形的边长恰好是两条直角边的差，其面积是：79×79＝6241（平方厘米）右图的阴影部分，正是两个正方形面积的差，也即4个这样的直角三角形面积的和。

所以这个直角三角形的面积是：（10201－6241）÷4＝990（平方厘米）。

【例2】一块正方形铁皮，从它上面剪下一个宽2分米的长条后，剩下的部分为一个面积是15平方分米的长方形（如图3a）。

剪下的长条铁皮的面积是多少平方分米？解法一：设正方形边长为x分米。

根据题意，则有x（x－2）＝15x2－2x＝15x2－2x＋12＝15＋12（x－1）2＝42x－1＝4x＝5这种方法是很难适合大多数小学生的。

解法二：假设剩下的长方形铁皮有4块，我们就可以拼成如右图3b的正方形。

把4个形状相同、大小相等的长方形这样摆放，就构成了一个“弦图”。

这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和。