2012年中考数学复习考点跟踪训练29几何作图

__E _D_C_B_A35二轮复习专项练（三）——『6分作图题』一、知识要点：1.尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的角平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）作一条直线的垂线；2.网格中画图：图形的平移、旋转、对称、位似；3.物体三视图，二次函数图像的画法。

二、近五年广东省中考真题：（2007年广东省中考）14．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA= ，（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．（2008年广东省中考）13．如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．（2009年广东省中考）14. 如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD.（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM.（2010年广东省中考）13. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系以后，点A的坐标为（-6，1），点B的坐标为（-3，1）,点C的坐标为（-3，3）．（1）将Rt△ABC沿X轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标。

（2）将原来的Rt△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形。

AB C（2011年广东省中考）14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；（2）设⊙P1与x轴正半轴，y别为A，B，求劣弧AB 与弦AB三、实战训练：1.如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）2.如图，要在公路M N旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货。

考点跟踪训练48 几何型综合问题一、选择题1．(2011·潜江)如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BC E等于( )A．23°B．16°C．20°D．26°答案 C解析∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝46°.∵EF∥CD，∴∠ECD＋∠CEF＝180°，∠ECD＝26°，∴∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝46°－26°＝20°.2．(2011·枣庄)如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是( )答案 B解析把B旋转之后平移，可以拼满拼木盘．3．(2011·桂林)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3, AC＝4，则sin A的值为( )A.34 B.43 C.35 D.45答案 C解析在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，所以AB＝5，sin A＝BCAB＝35.4．(2011·福州)如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为( )A．4 2 B．3 2 C．5 D．7答案 D解析根据图形的轴对称性，得BE＝DF＝4，所以EF＝EB＋BD＋DF＝14，如图，连MN，则MN＝EF＝14，OM＝AD＝12MN＝12×14＝7.5.(2011·鸡西)如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC 于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为( )A．3 B．2 3 C.21 D．3 5答案 C解析∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D.又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB.∴ABAD＝AEAB，AB2＝AE·AD＝3×(3＋4)＝21，∴AB＝21.二、填空题6．(2011·盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是__________．答案等腰梯形解析观察图形，易知AD∥BC，AD≠BC，且∠ABC＝∠DCB＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形．7．(2011·黄石)有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图．将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为__________．答案AB＝2BC解析设乙纸条宽为a，则甲纸条宽为2a，平行四边形的面积S＝AB·a或S＝BC·2a，所以AB·a＝BC·2a，AB＝2BC.8．(2011·宁波)如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.答案8解析延长ED交BC于F，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BFE是等边三角形，BE＝BF＝EF＝6.延长AD交BC于G.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AG⊥BC.在Rt△DFG中，DF＝6－2＝4.∴GF＝12DF＝2，∴BG＝6－2＝4，BC＝2BG＝2×4＝8.9．(2011·呼和浩特市)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为__________．答案15 7解析分别延长BA、CD交于F，易证△CBE≌△CFE，所以BE＝FE，又BE＝2AE，则FE＝2AE，F A＝EA.由AD∥BC，得△F AD ∽△FBC ，S △FBC ＝16S △F AD .设S △F AD ＝x ，则S △FEC ＝1＋x ，S △FBC ＝2＋2x .∴2＋2x ＝16x .14x ＝2，x ＝17. 故S 梯形ABCD ＝16×17－17＝157.10．(2011·盐城)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40 cm ，灯罩BC 长为30 cm ，底座厚度为2 cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE ________cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.732)答案 51.6解析 过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°， ∴CF ＝BC ·sin 30°＝30×12＝15.在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin 60°＝40×32＝20 3.∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝15＋20 3＋2＝17＋20 3≈51.64≈51.6(cm).三、解答题11．(2011·北京)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2，CE ＝4，求四边形ACEB 的周长．解∵ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE.又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2.在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝CE2－DE2＝2 3.∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝4 3.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝213.∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4，∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋EB＋BA＝10＋213.12．(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点；(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．解(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝12AB，∴CD＝BD.∴∠BCE＝∠ABC.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB.∴△BCE∽△ACB.∴E是△ABC的自相似点．(2)①如图所示，作法如下：(i)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；(ii)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P. 则P为△ABC的自相似点．②连接PB、PC.∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB.∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC.∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°.∴∠A＝180°7.∴该三角形三个内角的度数为：180°7、360°7、720°7.13．(2011·天津)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(0,4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD.记旋转转角为α，∠ABO为β.(1)如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；(2)如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；(3)当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．(直接写出结果即可)解(1)∵点A(3,0)，B(0,4)，得OA＝3，OB＝4.∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝5.根据题意，有DA＝OA＝3.如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB. ∴△ADM∽△ABO.∴ADAB＝AMAO＝DMBO，得AM＝AD AB·AO＝95，DM＝AD AB·BO＝125.又∵OM＝OA－AM，得OM＝3－95＝65，∴点D的坐标为(65，12 5)．(2)如图②，由己知，得∠CAB＝α，AC＝AB，∴∠ABC＝∠ACB.∴在△ABC中，由∠ABC＋∠ACB＋∠CAB＝180°，得α＝180°—2∠ABC.又∵BC∥x轴，∴∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°—∠ABO＝90°—β，∴α＝2β.(3)直线CD的解析式为：y＝－724x＋4或y＝724x－4.。

考点跟踪突破29 视图与投影一、选择题(每小题6分，共24分)1．(2015·自贡)如图是－种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是( B )2．(2015·温州)将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示)，它的主视图是( A )3．(2014·陕西)如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是( A )4．(2015·呼和浩特)如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( B )A ．236πB ．136πC ．132πD ．120π解析：由三视图可知，该几何体是两个横放着的圆柱组合而成，其中左边小圆柱的底面圆的直径为4，高为2，右边大圆柱的底面直径和高均为8，所以该几何体的体积为：π×(42)2×2＋π×(82)2×8＝136 π二、填空题(每小题7分，共28分)5．(2014·梅州)写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体__球或正方体__．6．(2014·湖州)如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是__3__．第6题图 第8题图7．春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影试验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是__正方形、菱形(答案不唯一)__．(写出符合题意的两个图形即可)解析：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段 8．(2015·牡丹江)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是__7__个．三、解答题(共48分)9．(12分)画出如图所示立体图形的三视图．解：如图所示：10．(12分)5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．(1)该几何体的体积是____立方单位，表面积是____平方单位；(2)画出该几何体的主视图和左视图．解：(1)每个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为5×1＝5；∵组合几何体的前面和后面共有5×2＝10个正方形，上下共有6个正方形，左右共6个正方形，每个正方形的面积为1，∴组合几何体的表面积为22.故答案为5，22(2)作图如下：11．(12分)由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示．方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．(1)请在下面方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图；(2)根据三视图，请你求出这个组合几何体的表面积．(包括底面积)解：(1)图形如下所示：(2)几何体的表面积为：(3＋4＋5)×2＝2412．(12分)(2015·兰州)如图，在一面与地面垂直的围墙的同一侧有一根高10米的旗杆AB 和一个高度未知的电线杆CD ，它们都与地面垂直．为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子EF 的长度为2米，落在地面上的影子BF 的长为10米；而电线杆落在围墙上的影子GH 的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米．依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是____投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．解：(1)平行 (2)过点E 作EM⊥AB 于点M ，过点G 作GN⊥CD 于点N.则MB ＝EF ＝2米，ND ＝GH ＝3米，ME ＝BF ＝10米，NG ＝DH ＝5米．∴AM＝10－2＝8(米)．由平行投影可知AM ME ＝CN NG ，即810＝CD －35，解得CD ＝7，即电线杆的高度为7米2016年甘肃名师预测1．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的形状是( D ) A ．长方体 B ．圆锥 C ．圆柱 D ．三棱柱2．三棱柱的三视图如图所示，△EFG 中，EF ＝8 cm ，EG ＝12 cm ，∠EGF ＝30°，则AB 的长为__6__cm .解析：过点E 作EQ⊥FG 于点Q ，由题意可得出EQ ＝AB ，∵EG ＝12 cm ，∠EGF ＝30°，∴EQ ＝AB ＝12×12＝6(cm )。

2012年中考数学高分攻略之几何部分专题一：正方形知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。

精典例题：【例1】如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。

求证：AH ＝AD 。

分析：因为A 是DG 的中点，故在△DGH 中，若AH ＝AD ，当且仅当△DGH 为直角三角形，所以只须证明△DGH 为直角三角形（证明略）。

评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。

本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。

例1图例2图【例2】如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ ＝450，求证：PB ＋DQ ＝PQ 。

分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。

变式：若条件改为PQ ＝PB ＋DQ ，那么∠PAQ ＝？你还能得到哪些结论？ 探索与创新：【问题一】如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

问题一图1 O F G EDBA 问题一图2分析：对于图1通过全等三角形证明OE ＝OF ，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。

结论：（2）的结论“OE ＝OF ”仍然成立。

提示：只须证明△AOF ≌△BOE 即可。

评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。

【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题40：尺规作图一、选择题1. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。

2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。

对于甲、乙两人的作法，可判断【】A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确【答案】A。

【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。

【分析】根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。

∴OE=DE=12 OD。

又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE=12OB。

∴∠OBE=30°。

又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。

又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。

同理∠C=60°。

∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。

∴△ABC为等边三角形。

故甲作法正确。

根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD。

∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。

∴△BOD为等边三角形。

∴∠OBD=∠BOD=60°。

又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM。

∴BM为∠OBD的平分线。

∴∠OBM=∠DBM=30°。

又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。

同理∠ACB=60°。

∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。

2012年中考复习考点跟踪训练（十九）《概率的应用》一、选择题1．(2011·湖州)下列事件中，必然事件是( ) A ．掷一枚硬币，正面朝上 B ．a 是实数，|a |≥0C ．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D ．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品 答案 B解析 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a |≥0. 2．(2011·东莞)在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为( )A.15B.13C.58D.38 答案 C解析 摸到红球的概率是P ＝55＋3＝58.3．(2011·泰安)袋中装有编号为1,2,3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为( )A.19B.16C.13D.12 答案 C 解析 列表可知两次所取球的编号相同的概率P ＝39＝13.4．(2011·安徽)从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M ：“这个四边形是等腰梯形” .下列判断正确的是( )A ．事件M 是不可能事件B ．事件M 是必然事件C ．事件M 发生的概率为 15D ．事件M 发生的概率为 25答案 B解析 连接BE ，(其他情况类似) ∵正五边形ABCDE ，∴BC ＝DE ＝CD ＝AB ＝AE ，根据多边形的内角和定理得：∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠AED ＝(5－2)×180°5＝108°，∴∠ABE ＝∠AEB ＝12(180°－∠A )＝36°，∴∠CBE ＝∠ABC －∠ABE ＝72°， ∴∠C ＋∠CBE ＝180°， ∴BE ∥CD ，∴四边形BCDE 是等腰梯形， 即事件M 是必然事件． 5．(2010·孝感)学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字1,2,3,4表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是( )A. 14B.12C.34D.56 答案 C解析 列表如下两指针可指数字的积为偶数的有12种情形，乙获胜的概率是1216＝34.二、填空题6．(2011·盐城)“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是_________事件(选填“随机”或“必然”)．答案 随机解析 打开一本200页的书，正好是第35页可能发生也可能不发生，应是随机事件． 7．(2011·益阳)在－1,1,2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线y ＝kx ，该双曲线位于第一、三象限的概率是__________．答案 13解析 在－1,1,2三个数中任选2个，有(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)六种情况，只有点(1,2)，(2,1)在第一象限，使双曲线位于第一、三象限，所以概率P ＝26＝13. 8．(2011·鸡西)中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是．．士、象、帅的概率是__________．答案 1116解析 红色棋子共有1＋5＋2×5＝16个，不是士、象、帅的棋子有16－2－2－1＝11个，所以概率P ＝1116.9．(2011·凉山)如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2 cm,4 cm, 6 cm 将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是__________．答案 13解析 阴影圆环的面积是π×42－π×22＝12 πcm 2，而总面积是π×62＝36π cm 2，所以概率P ＝12π36π＝13.10．(2011·潜江)张凯家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为8ZK 后，对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数，续在8ZK 之后，则选中的车牌号为8ZK 86的概率是________________________________________________________________________．答案 13解析 在9886中随机划去两个有98、98、96、88、86、86六种情形，选中86的有两种，其概率P ＝26＝13.三、解答题11．(2011·宁波)在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列表或树形图法求两次都摸到红球的概率．解 树形图如下：列表如下：则P (两次都摸到红球)＝19.12．(2011·威海)甲、乙二人玩一个游戏，每人抛一个质地均匀的小立方体(每个面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，落定后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜；若两个小立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．解 公平．理由如下：数字之和为奇数的有18种，每人获胜的概率均为12，所以游戏是公平的．13．(2011·达州)在△ABC 和△DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°.有如下五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤，其正面分别写有五个不同的等式，小民将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．请结合以上条件，解答下列问题．(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用①、②、③、④、⑤表示)；(2)用两次摸牌的结果和∠C ＝∠F ＝90°作为条件，求能满足△ABC 和△DEF 全等的概率．解(用树状图解亦可)(2)两次摸牌所有可能出现的结果共有20种，其中满足△ABC ≌△DEF 的有18种可能，∴P (能满足△ABC ≌△DEF )＝1820＝910.14．(2011·芜湖)在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致．小明认为如果两次分别从1～6六个整数中任取一个数，第一个数作为点P ()m ，n 的横坐标，第二个数作为点P ()m ，n 的纵坐标，则点P ()m ，n 在反比例函数y ＝12x的图象上的概率一定大于在反比例函数y ＝6x的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同．你赞成谁的观点？(1)试用列表或画树状图的方法列举出所有点P ()m ，n 的情形；(2)分别求出点P ()m ，n 在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确．(2)由树状图或表格可知，点P ()m ，n 共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，点(3,4)，(4,3)，(2,6)，(6,2)在反比例函数y ＝12x的图象上，点 (2,3)，(3,2)，(1,6)，(6,1)在反比例函数y ＝6x 的图象上；故点P ()m ，n 在反比例函数y ＝12x 和y ＝6x的图象上的概率相同，都是436＝19.所以小芳的观点正确．15．(2011·烟台)“五·一”假期，某公司组织部分员工分别到A 、B 、C 、D 四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D 地的车票占全部车票的10%，请求出D 地车票的数量，并补全统计图； (2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A 地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”．试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？解 (1)设D 地车票有x 张，则x ＝(x ＋20＋40＋30)×10%，解得x ＝10. 即D 地车票有10张．补全统计图，如下图所示．(2)小胡抽到去A 地的概率为2020＋40＋30＋10＝15.由此可知，共有16种等可能结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38.则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－38＝58.所以这个规则对双方不公平．。

2012年中考复习考点跟踪训练（二十三）《平行四边形》一、选择题1．(2011·泰州)四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝B C.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 答案 C解析 四组条件中，①②③可作为判定平行四边形的条件；④不可以，因为等腰梯形有AB ∥CD ，AD ＝BC .2．(2011·宁夏)点A 、B 、C 是平面内不在同一直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点D 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 如图，可画出平行四边形三个，符合条件的点D 有三个． 3．(2011·达州)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC ＝∠DCE ，则下列结论不正确．．．的是( )A ．S △AFD ＝2S △EFBB ．BF ＝12DFC ．四边形AECD 是等腰梯形 D ．∠AEB ＝∠ADC 答案 A解析 因为E 是BC 的中点，所以BE ＝12BC ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AD∥BC ，△AFD ∽△EFB ，S △EFB S △AFD ＝⎝⎛⎭⎫BE AD 2＝⎝⎛⎭⎫122＝14，故S △AFD ＝4S △EFB .4．(2011·安徽)如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 D解析 ∵E 、F 是AB 、AC 的中点，∴EF 綊12BC .∵H 、G 是BD 、CD 的中点，∴HG 綊12BC .∴EF 綊HG ，四边形EFGH 是平行四边形． ∵E 、H 是AB 、BD 的中点，∴EH ＝12AD ＝3.在Rt △BCD 中，BC ＝32＋42＝5，所以▱EFGH 的周长＝2×⎝⎛⎭⎫3＋52＝11.5．(2011·浙江)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：①CE ＝BD ；②△ADC 是等腰直角三角形；③∠ADB ＝∠AEB ；④CD ·AE ＝EF ·CG ； 一定正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D解析 ①∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE .∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，AE ＝AD ，∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴CE ＝BD ，故①正确． ②∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴∠EAD ＝∠ADC ＝90°，AE ＝CD .∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AE ＝AD ，∴AD ＝CD ，∴△ADC 是等腰直角三角形，故②正确． ③∵△ADC 是等腰直角三角形， ∴∠CAD ＝45°，∴∠BAD ＝90°＋45°＝135°. ∵∠EAD ＝∠BAC ＝90°，∠CAD ＝45°， ∴∠BAE ＝360°－90°－90°－45°＝135°， ∴∠BAD ＝∠BAE .又∵AB ＝AB ，AD ＝AE ，∴△BAE ≌△BAD (SAS)， ∴∠ADB ＝∠AEB ，故③正确．④∵△BAD ≌△CAE ，△BAE ≌△BAD ，∴△CAE ≌△BAE ，∴∠BEA ＝∠AEC ＝∠BDA . ∵∠AEF ＋∠AFE ＝90°，∴∠AFE ＋∠BDA ＝90°. ∵∠GFD ＝∠AFE ，∴∠GDF ＋GFD ＝90°， ∴∠CGD ＝90°. ∵∠F AE ＝90°，∠GCD ＝∠AEF ，∴△CGD ～△EAF ， ∴CD EF ＝CGAE，∴CD ·AE ＝EF ·CG ，故④正确． 正确的结论有4个，选D. 二、填空题6．(2011·苏州)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O .若AC ＝6，则线段AO 的长度等于___________．答案 3解析 ∵AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AO ＝CO ＝12AC ＝12×6＝3.7．(2011·聊城)如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，OE ＝3 cm ，则AD 的长是__________cm.答案 6解析 在▱ABCD 中，BO ＝DO ， ∵点E 是AE 中点， ∴AE ＝BE ，∴EO 是△ABD 的中位线．∴OE ＝12AD ，∴AD ＝2×3＝6 cm.8．(2011·临沂)如图，▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，AB ＝AE ，连结CE 交AD 于点F ，若CF 平分∠BCD ，AB ＝3，则BC 的长为________．答案 6解析 在▱ABCD 中，AB ∥DC ， ∴∠E ＝∠DCF . ∵CF 平分∠BCD ， ∴∠DCF ＝∠BCE ， ∴∠E ＝∠BCE ， ∴BC ＝BE .∵AB ＝AE ＝3， ∴BE ＝6. 即BC ＝6.9．(2011·泉州)如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是__________．答案 18°解析 ∵P 是BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴PE ＝12AD ，PF ＝12BC .∵AD ＝BC ， ∴PE ＝PF ，∴∠PFE ＝∠PEF ＝18°.10．(2011·金华)如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是__________．答案 2 3解析 在Rt △BEF 中，∠ABC ＝60°，BE ＝12BC ＝12AD ＝12×4＝2.∴BF ＝1，EF ＝ 3.易证△BEF ≌△CEH ，∴BF ＝CH ＝1，EF ＝EH ＝3，∴S △DEF ＝S △DEH ＝12DH ·EH ＝12×(3＋1)×3＝2 3.三、解答题11．(2011·宜宾)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，AF ＝CE ，BH ＝DG .求证：GF ∥HE .解 证明：在平行四边形ABCD 中，OA ＝OC ， ∵AF ＝CE ，∴AF －OA ＝CE －OC ，即OF ＝OE . 同理可证，OG ＝OH .∴四边形EGFH 是平行四边形． ∴GF ∥HE . 12．(2011·福州) 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)关系：①AD ∥BC ；②AB ＝CD ；③∠A ＝∠C ；④∠B ＋∠C ＝180°. 已知：在四边形ABCD 中，__________，__________； 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 解 选①、③.证明：∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵∠A ＝∠C ，∴∠C ＋∠B ＝180°， ∴AB ∥DC .∴四边形ABCD 是平行四边形．(选①④、③④均可) 13．(2011·义乌)如图，已知E 、F 是▱ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)请写出图中除△ABE ≌△CDF 外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)． 解 (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠BAE ＝∠FCD .又∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°， ∴△ABE ≌△CDF (AAS )．(2)①△ABC ≌△CDA ；②△BCE ≌△DAF . 14．(2011·广东)如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE .已知∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF .(1)试说明AC ＝EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形． 解 (1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ，AC ＝32AB .在等边△ABE 中，EF ⊥AB ，∴∠AFE ＝90°，AF ＝12AE ，EF ＝32AE ＝32AB ，∴AC ＝EF .(2)在等边△ACD 中，∠DAC ＝60°， ∴∠DAF ＝60°＋30°＝90°＝∠EF A ， ∴AD ∥EF .又AD ＝AC ＝EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形． 15．(2011·北京) 在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F . (1)在图1中证明CE ＝CF ； (2)若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数； (3)若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG (如图3)，求∠BDG 的度数．解 (1) 证明：如图1， ∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F ， ∴∠CEF ＝∠F ，∴ CE ＝CF . (2)∠BDG ＝45°.(3) 解法一：分别连接GB 、GE 、GC (如图4)． ∵AB ∥DC ，∠ABC ＝120°， ∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°. ∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE ＝CF , ∴▱CEGF 是菱形，∴EG ＝EC ，∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°.∴△ ECG 是等边三角形． ∴EG ＝CG ，…①∴∠GEC ＝∠EGC ＝60°， ∴∠GEC ＝∠GCF ，∴∠BEG ＝∠DCG ，…②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ， ∴BE ＝DC ，…③由①②③得，△BEG ≌ △DCG . ∴ BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴ ∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°.∴ ∠BDG ＝12(180°－∠BGD )＝60°.解法二：延长AB 、FG 交于H ，连接HD ，如图5， 易证四边形AHFD 是平行四边形． ∵∠ABC ＝120°，AF 平分∠BAD ， ∴∠DAF ＝30°，∠ADC ＝120°，∠DF A ＝30°， ∴△DAF 为等腰三角形，∴AD ＝DF ，图5∴平行四边形AHFD 是菱形，∴△ADH 、△DHF 为全等的等边三角形， ∴DH ＝DF ，∠BHD ＝∠GFD ＝60°. ∵FG ＝CE ，CE ＝CF ，CF ＝BH ， ∴BH ＝GF .∴△BHD ≌△GFD ，∴∠BDH ＝∠GDF ，∴∠BDG ＝∠BDH ＋∠HDG ＝∠GDF ＋∠HDG ＝60°.。

课时训练(二十九) 尺规作图|夯实基础|1.[2018·安顺] 已知△ABC(AC<BC),用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是()图K29-12.[2018·郴州] 如图K29-2,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于点C,D,分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P,以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为()图K29-2A.6B.2C.3D.33.[2018·潍坊] 如图K29-3,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;(3)连结BD,BC.图K29-3下列说法不正确的是()A.∠CBD=30°B.S△BDC=AB2C.点C是△ABD的外心D.sin2A+cos2D=14.[2018·荆州] 已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是.图K29-45.[2018·山西] 如图K29-5,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为.图K29-56.[2018·仙桃] 图K29-6①,②都是由边长为1的小菱形构成的网格,每个小菱形的顶点称为格点.点O,M,N,A,B 均在格点上,请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图.(1)在图①中,画出∠MON的平分线OP;(2)在图②中,画一个Rt△ABC,使点C在格点上.图K29-67.[2018·广东] 如图K29-7,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,连结BF,求∠DBF的度数.图K29-78.如图K29-8,已知锐角三角形ABC.(1)过点A作BC边的垂线AM,交BC于点D(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若BC=5,AD=4,tan∠BAD=,求DC的长.图K29-8|拓展提升|9.用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AC=b,∠B=35°,若这样的三角形只能作一个,则a,b满足的关系式是.10.[2018·常州] (1)如图K29-9①,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连结CF.求证:∠AFE=∠CFD.(2)如图②,在Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点.①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不要求写作法).②在①的条件下,如果∠G=60°,那么Q是GN的中点吗?为什么?图K29-911.(1)如图K29-10,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC.现以C为圆心,CB长为半径画弧交边AC于点D,再以A为圆心,AD长为半径画弧交边AB于点E,求证:=(比值叫做AE与AB的黄金比);图K29-10(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请以图K29-11中的线段AB为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形ABC(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并对所作图中涉及的点用字母进行标注).图K29-11参考答案1.D[解析] 选项A,该作图痕迹表示AB=PB,不符合题意;选项B,该作图痕迹表示作线段AC的垂直平分线交BC于点P,即PA=PC,不符合题意;选项C,该作图痕迹表示AC=PC,不符合题意;选项D,该作图痕迹表示作线段AB的垂直平分线交BC 于点P,即PA=PB,故PA+PC=BC,符合题意.故选D.2.C[解析] 由题意得OP是∠AOB的平分线,过点M作ME⊥OB于E,∵∠AOB=60°,∴∠MOB=30°,在Rt△MOE中,OM=6,∴EM=OM=3,故选C.3.D[解析] 由(1)可知,AB=AC=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°,S△ABC=AB2.又由(2)可知CD=AC=BC=AB,∴∠CBD=∠D=∠ACB=30°,S△BDC=S△ABC=AB2,点C是△ABD的外心.故选项A,B,C正确,故选择D.4.SSS [解析] 由作图可得OM=ON,MC=NC,而OC=OC,∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.5.2[解析] 过点A作AG⊥PQ交PQ于点G,由作图可知,AF平分∠NAB.∵MN∥PQ,AF平分∠NAB,∠ABP=60°,∴∠AFG=30°,在Rt△ABG中,∠ABP=60°,AB=2,∴AG=.在Rt△AFG中,∠AFG=30°,AG=,∴AF=2.6.解:(1)如图①,OP即为所求.(2)如图②所示,△ABC或△ABC1均可.7.解:(1)如图,直线EF为所求.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,AD∥BC.∵∠DBC=75°,∴∠ADB=75°,∴∠ABD=75°,∴∠A=30°.∵EF为AB的垂直平分线,∴∠FBE=∠A=30°,∴∠DBF=45°.8.解:(1)如图所示,AM为所作垂线.(2)在Rt△ABD中,tan∠BAD==,∴=,∴BD=3,∴DC=BC-BD=5-3=2.9.b=a sin35°或b≥a10.解:(1)证明:∵EK垂直平分BC,点F在EK上,∴FC=FB,且∠CFD=∠BFD.∵∠AFE=∠BFD,∴∠AFE=∠CFD.(2)①如图所示,点Q为所求作的点.②Q是GN的中点.理由:∵∠G=60°,∠GMN=90°,∴∠GNM=30°.连结HN,HP,由①作图可知,PN=HN,∠HNG=∠GNP=30°,可得△HPN为等边三角形.又∵P为MN的中点,∴HP=PN=PM,∴∠QMN=30°=∠QNM,∴MQ=QN,∠GQM=60°,∠GMQ=60°,∴△GMQ为等边三角形,因而MQ=GQ,∴GQ=QN,即Q为GN的中点.11.解:(1)证明:设BC=a,则AB=2a,CD=a,AC=a, ∴AE=AD=(-1)a,∴==.(2)如图所示.△ABC即为所求.。