高考数学专题3第19练.docx
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专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1, 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式,从而求解,属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ,设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立,则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时,/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时,/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄,即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时,f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时,h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时,〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知,a 的取值范围是[0,e ]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题,分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值,然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ,函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时,y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点;当 x>0 时,y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时,y>0, y=f (x) -ax-b 在[0, +oo)上单调递增, 则y =f -ax-b 最多有一个零点,不合题意;当a+l>0,即°>-1时,令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增, 令WVO 得用[0, d+1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点.根据题意,函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点,在[0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图:b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程,导数的应用.当兀V0时,y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点;当空0时,y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准,是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点,则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x (x〉0),得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -(x>0)切于(x0,x0+—),x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2(x0=-A/2舍去),x o曲线y = x + -(x>o)±,点P(V2,3A/2)到直线x+y = o的距离最小,最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法,利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnr上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e, -l)(e 为自然对数的底数),则点A的坐标是▲.【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值,可得切点坐标.设点A(x0,y0),则y Q =lnx0.又# =丄,X则曲线y = InX在点A处的切线为y - %=丄(X —勺),即yin”。
2023年新高考数学19题详解
2023年新高考数学19题是一道考察学生数学运算和推理能力的题目。
本文将对该题进行详细解析,帮助学生更好地理解和掌握解题方法。
首先,让我们来看一下题目的具体内容:
19. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1,g(x) = x + 2,h(x) = f(g(x)),则 h(x) 的解析式为()
A. h(x) = 2x^2 - 3x + 3
B. h(x) = 2x^2 + 3x + 3
C. h(x) = 2x^2 + 3x + 1
D. h(x) = 2x^2 - 3x + 1
接下来,我们将逐步解析这道题目。
首先,根据题目给出的函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1,我们可以计算出 g(x) = x + 2。
然后,我们需要求解 h(x) = f(g(x))。
将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中,得到 h(x) = f(g(x)) = f(x + 2)。
接下来,我们将 f(x) 中的 x 替换为 x + 2,得到 h(x) = 2(x + 2)^2 - 3(x + 2) + 1。
我们可以继续展开 h(x) 的表达式,得到 h(x) = 2(x^2 + 4x + 4) - 3x - 6 + 1。
继续化简,得到 h(x) = 2x^2 + 8x + 8 - 3x - 5。
最后,合并同类项,得到 h(x) = 2x^2 + 5x + 3。
因此,h(x) 的解析式为 2x^2 + 5x + 3,选项 B。
浙江省第19题立体几何强化训练(一)练习目标:1、掌握直线与平面的位置关系中的各个定理;2、掌握空间角的求法;3、掌握空间向量中的强建系方法。
练习重点:掌握证明题的书写格式。
【典型习题】1、如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD, PD ⊥DA, AD=DP=DC=CB=1, AB=2, CM ⊥PB, CM//平面PAD.(1) 求证:PB ⊥平面PAD ;(2) 求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值.2. 如图,四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是菱形,CC 1⊥底面ABCD ,且∠BAD =60°,CD =CC 1=2C 1D 1=4,E 是棱1BB 的中点.(1)求证:AA 1⊥BD ;(2)求直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角的正弦值.M A B D P C3、四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD=2, AB=√32, △PAB 中PA=√3, PD=1, M ,N 分别是PA 、BC 的中点。
(1) 证明:MN//平面PCD;(2) 若PC=1, 求AC 与平面PBC 所成角的正弦值。
4、已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形;BC//AD, PA=AD=2AB=2BC=2CD, ∠PAB=∠PAD=60°. (1) 求证:CD ⊥PA;(2) 点E 为PB 的中点,求直线CE 与平面PCD 所成角的余弦值。
AA【巩固练习】1. 如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD=DC=2√2.(1)求证:AB⊥平面ADD1A1;(2)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.2. 在三棱锥S−ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90∘,∠SAB=45∘,∠SAC=60∘,D为棱AB的中点,SA=2.(1)证明:SD⊥BC;(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.3. 如图,已知四棱锥P−ABCD,BC∥AD,平面PAD⊥平面PBA,且DP=DB,AB= BP=PA=AD=2BC.(1)证明:AD⊥平面PBA;(2)求直线AB与平面CDP所成角的正弦值.4. 如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60∘.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求二面角F−BE−D的余弦值;(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.。
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2019届高三第十九次考试文数试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合(){}50A x x x =-≥,{B x y ==,则()U C A B ⋂等于( )A .()0,3B .()0,5C .∅D .(]0,3 2.若复数z 满足()112i z i +=-,则复数z 的虚部为( ) A .32 B .32- C .32i D .32i - 3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形,则原来的图形是( )A .B .C .D .4.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为( )(参考数据:sin150.2588=,sin 7.50.1305=)A .12B .18 C.24 D .325.设实数x ,y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么2x y -的最大值为( )A .3-B .2- C.1 D .26.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻,时长均为5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是( ) A .114 B .112 C.17 D .167.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最大棱长为( )AD.8.函数()()()23ln 442x x f x x -+=-的图象可能是( )A .B . C. D .9.已知函数()122xxf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,若()()1f x f x ->,则x 的取值范围是( ) A .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B .1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,M 是l 上一点,Q 是直线MF 与C 的一个交点,若3FM FQ =,则QF =( ) A .83 B .52C.3 D .211.已知底面半径为1的圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上,则此球的表面积为( ) AB .4π C.163πD .12π 12.已知函数()22sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,()1cos 24g x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象在区间,22m m ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有且只有9个交点,记为()(),1,2,,9i i x y i =,则()91i i i x y =+=∑( )A .92π B .8 C. 982π+ D .992π+ 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量()1,2a =,(),1b x =-,若()//a a b -,则a b ⋅= . 14.已知tan 2α=,则2cos sin 2αα+= .15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数;1,1,2,3,5,8,13,,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”.那么222212320152015a a a a a ++++是斐波那契数列中的第 项.16.在ABC ∆中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1cos sin 2b A B =,且a =6b c +=,则ABC ∆的面积为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n ,都有432n n a S =+成立.记2log n n b a =.(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设()()1413n n n c b b +=+⋅+,数列{}n c 的前n 项和为n T ,求证:1334n T ≤<18. 如图已知棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=,SA SD ==,SB =E 是棱AD 的中点,点F 在SC 棱上,且SFSCλ=,//SA 平面BEF .(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)求三棱锥F EBC -的体积.19. 传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中制取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?注:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.(Ⅱ)若参赛选手共6万人 ,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数; (Ⅲ)在优秀等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在良好等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在选出的6名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为a ,在选出的6名良好等级的选手中任取一名,记其编号为b ,求使得方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一一组实数解(),x y 的概率. 20. 如图,已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ,过点1F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ,E 两点,且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.(1)求椭圆C 的方程;(2)记1GF D ∆的面积为1S ,OED ∆(O 为原点)的面积为2S ,试问:是否存在直线AB ,使得12S S =?说明理由.21. 已知函数()()2ln f x a x x x =--,(a R ∈).(1)若()f x 在1x =处取到极值,求a 的值;(2)若()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立,求a 的取值范围;(3)求证:当2n ≥时,1111ln 2ln 3ln n n n-+++>. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.以平面直角坐标系xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线l 的参数方程为21x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数),圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (Ⅰ)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设曲线C 与直线l 的交于A ,B 两点,若P 点的直角坐标为()2,1,求PA PB -的值.23.已知函数()211f x x x =++-. (1)解不等式()3f x ≥;(2)记函数()f x 的最小值为m ,若a ,b ,c 均为正实数,且122a b c m ++=,求222a b c ++的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DBACC 6-10: DBCAA 11、12:CD 二、填空题 13.52-14.1 15.201616.三、解答题17.(Ⅰ)在432n n a S =+中,令1n =得12a =.因为对任意正整数n ,都有432n n a S =+成立,2n ≥时,11432n n a S --=+, 两式作差得,1443n n n a a a --=,所以14n n a a -=,又10a ≠,所以数列{}n a 是以为首项,4为公比的等比数列,即∴124n n a -=⨯,∴2122log log 221n n n b a n -===- (Ⅱ)∵21n b n =-, ∴()()()()()144111113211213222n n n c b b n n n n n n +⎛⎫====⨯- ⎪+⋅+-+⋅++⋅++⎝⎭.∴1111111111111112322423521122n T L n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∴对任意n N *∈,34n T <. 又0n c >,所以,n T 为关于n 的增函数,所以1113n T T c ≥==, 综上,1334n T ≤< 18.(Ⅰ)连接AC ,设AC B E G =,则平面SAC 平面EFB FG =,∵//SA 平面EFB ,∴//SA FG .∵GEA GBC ∆∆∽,∴12AG AE GC BC ==, ∴1123SF AG SF SC FC GC ==⇒=,∴13λ=.(Ⅱ)∵SA SD ==,∴SE AD ⊥,2SE =,又∵2AB AD ==,60BAD ∠=,∴BE =∴222SE BE SB +=,∴SE BE ⊥, ∴SE ⊥平面ABCD ,所以211122sin 60233339F BCE S EBC S ABCD V V V ---===⨯⨯⨯⨯=.19.解:(Ⅰ)由条形图可知22⨯列联表如下()2210045*********3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.(Ⅱ)由条形图知,所抽取的100人中,优秀等级有75人,故优秀率为7531004=. ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为36 4.54⨯=万人. (Ⅲ)a 从1,2,3,4,5,6中取,b 从1,2,3,4,5,6中取,故共有36种 ,要使方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一组实数解,则12a b ≠,共33种情形.故概率33113612P ==.20.解析:(1)因为1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列, 所以1212224a AF AF F F =+==,所以2a =, 又因为1c =,所以23b =,所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)假设存在直线AB ,使得12S S =,显然直线AB 不能与x ,y 轴垂直. 设AB 方程为()1y k x =+,将其代入22143x y +=,整理得()22224384120k x k x k +++-=, 设()11,A x y ,()22,B x y ,所以2122843k x x k -+=+,故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+,所以22243,4343k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为DG AB ⊥,所以2223431443Dkk k kx k +⨯=---+, 解得2243D k x k -=+,即22,043k D k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. ∵1Rt GDF ∆和Rt ODE ∆相似,∴若12S S =,则GD OD =,2243k k -=+ 整理得2890k +=,因此此方程无解, 所以不存在直线AB ,使得12S S =. 21.(1)()12f x ax a x'=--, ∵()f x 在1x =处取到极值,∴()10f '=即10a -=,∴1a =1a =时,令()22101x x f x x x--'=>⇒> ∴()f x 在()0,1上减,在()1,+∞上增,所以()f x 在1x =处取到极小值.(2)()221ax ax f x x--'=,令()221g x ax ax =--,(1x ≥) 1''当0a =时,()10f x x-'=<,()f x 在[)1,+∞上单调递减,又()10f =, ∴1x ≥时,()0f x ≤,不满足()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立.2''当0a >时,二次函数()g x 开口向上,对称轴为14x =,过()0,1- ①当()10g ≥即1a ≥时,()0g x ≥在[)1,+∞上恒成立,∴()0f x '≥,从而()f x 在[)1,+∞上单调递增,又()10f = ∴1x ≥时,()0f x ≥成立,满足()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立. ②当()10g <即01a <<时,存在01x >,使()01,x x ∈时,()0g x <,()f x 单调递减,()0,x x ∈+∞时,()0g x >,()f x 单调递增,∴()()01f x f <,又()10f =,∴()00f x <故不满足题意.3''当0a <时,二次函数()g x 开口向下,对称轴为14x =,()g x 在[)1,+∞单调递减, ()110g a =-<,∴()0g x <,()f x 在[)1,+∞上单调递减,又()10f =,∴1x ≥时,()0f x ≤,故不满足题意.综上所述,1a ≥.(3)证明:由(1)知令1a =,当[)1,x ∈+∞时,()2ln 0x x x --≥(当且仅当1x =时取“=”)∴当2x >时,212ln x x x>-. 即当2,3,4,,x n =,有222111111ln 2ln 3ln 2233n n n+++>+++--- ()11111223341n n=++++⨯⨯⨯- 11111111111223341n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 22. 解(Ⅰ)直线l 的普通方程为:1y x =-,4sin 4cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以24sin 4cos ρρθρθ=+. 所以曲线C 的直角坐标方程为22440x y x y +--=(或写成()()22228x y -+-=). (Ⅱ)点()2,1P 在直线l 上,且在圆C 内,由已知直线l的标准参数方程是2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22440x y x y +--=,得270t -=,设两个实根为1t ,2t,则11t t +=,1270t t =-<,即1t ,2t 异号.所以1212PA PB t t t t -=-=+=23.(1)()13,212112, 1.23,1x x f x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩∴()3f x ≥等价于1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或133x x ≥⎧⎨≥⎩. 解得1x ≤-或1x ≥.∴原不等式的解集为(][),11,-∞-+∞. (2)由(1),可知当12x =-时,()f x 取最小值32,即32m = ∴13222a b c ++=. 由柯西不等式,有()22222221112222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. ∴22237a b c ++≥. 当且仅当22c a b ==,即17a =,27b =,47c =时,等号成立.∴222a b c ++的最小值为37.。
新高考19题数学试卷新高考数学模拟题(数列部分)一、题目(第20题)已知数列{a_n}满足a_1 = 1,a_n + 1=2a_n+1(n∈ N^*)。
(1) 证明数列{a_n+ 1}是等比数列;(2) 求数列{a_n}的通项公式。
二、答案。
(1)1. 由a_n + 1=2a_n+1可得:- a_n + 1+1 = 2a_n+1 + 1=2(a_n+1)。
2. 然后,当n = 1时,a_1+1=1 + 1=2。
3. 所以,数列{a_n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列。
(2)1. 因为数列{a_n+1}是等比数列,其通项公式为a_n+1 = 2×2^n - 1=2^n。
2. 那么a_n=2^n-1。
三、解析。
(1)1. 证明思路。
- 要证明一个数列是等比数列,需要证明从数列的第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数(公比)。
- 对于数列{a_n+1},我们通过对已知条件a_n + 1=2a_n+1进行变形,得到a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。
这就表明了frac{a_n + 1+1}{a_n+1}=2,满足等比数列的定义。
- 同时,我们求出了首项a_1+1 = 2,这样就完整地证明了数列{a_n+1}是等比数列。
2. 详细步骤。
- 对a_n + 1=2a_n+1进行移项变形,得到a_n + 1+1 = 2a_n+2 = 2(a_n+1)。
- 当n = 1时,a_1=1,所以a_1+1 = 2,这就是数列{a_n+1}的首项。
- 由于frac{a_n + 1+1}{a_n+1}=2(n∈ N^*),所以数列{a_n+1}是等比数列。
(2)1. 求解思路。
- 因为已经证明了{a_n+1}是等比数列,且首项a_1+1 = 2,公比q = 2,根据等比数列的通项公式a_m=a_1q^m - 1,这里m=n,a_1=2,q = 2,所以a_n+1 = 2×2^n - 1=2^n。
题目:【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin 2A C a b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.一.思路展示与解答(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=. 因为sin A ≠0,所以sin sin 2A CB +=. 由180A BC ︒++=,可得sin cos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B =. 因为cos 02B ≠,故1sin 22B =,因此B =60°. (2)解题视角一:代数法.解三角形问题通常使用代数法研究图形的几何性质,一般都是化为某一种形式的式子,即全部化为角或者边的式子来研究.本题是以锐角三角形为背景的面积最值问题,因此可使用锐角三角形对应的“代数”特点来解决。
方法一 构造单一变量的目标函数(函数思想).本题考查三角形面积最值问题,很自然地想到建立目标函数即三角函数求面积最值。
通过正弦定理及三角形内角和为π,把三角形面积用单一角表示,进而根据锐角三角形所约束的角范围来确定面积的范围.由题设及(1)知△ABC的面积4ABC S a =△. 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故122a <<,从而82ABC S <<△. 因此,△ABC面积的取值范围是⎝⎭.方法二 构造单一变量的不等式(不等式思想).本题的锐角三角形可通过余弦定理建立含有三边的不等式关系,再通过消元的思想得到只有边a 的不等式关系,得出边a 的范围,进而得到面积的范围.由题设及(1)知△ABC的面积ABC S =△.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==,故221a a b -+=,① 因为ABC ∆为锐角三角形,故cos 0cos 0A C >>,,则2210b a -+>,② 22+10a b ->,③将①分别代入②,③,可得:122a <<,从而82ABC S <<△.因此,△ABC 面积的取值范围是⎝⎭.方法三 构造未知与已知的关系(转化与化归思想).本题的锐角三角形也可通过向量建立不等式关系,再用已知向量表示未知向量,即建立未知量只有边a 的不等式关系,来确定边a 的范围,进而得到面积的范围.由题设及(1)知△ABC 的面积4ABC S a =△. 因为ABC ∆为锐角三角形,故cos 0cos 0A C >>,,则由cos 00A AB AC >⇒⋅>,所以()+0AB AB BC ⋅> 所以()2cos 0AB AB BC B π+->,即11022a a ->⇒<, 由cos 00C CA CB >⇒⋅>,所以()+0CB CB BA ⋅>,所以()2cos 0CB BA CB B π+->,即211022a a a ->⇒>,所以122a <<ABC S <<△.因此,△ABC 面积的取值范围是⎝⎭.视角二:坐标法。
山东省高考数学提分专练:第19题空间几何(解答题)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、真题演练 (共6题;共45分)1. (10分)如图:一个圆锥的底面半径为1,高为3,在其中有一个半径为x的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的高;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积是多少?2. (10分)(2017·顺义模拟) 如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中点.(I)求证:EM⊥AD;(II)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值;(III)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为45°,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.3. (5分) (2019高一上·蛟河期中)(1)空间四边形的对角线,,、分别为、的中点,,求异面直线与所成的角;(2)如图,四棱柱中,底面是正方形,侧棱底面,为的中点.求证:平面.4. (5分) (2020高二上·佛山期末) 如图,四棱锥的底面为平行四边形,点、分别在、上,为中点,且平面 .(1)若,求证:平面平面;(2)求证:平面 .5. (10分) (2019高二上·荆州期中) 已知正方体棱长为2,分别为的中点,若线段上一点满足.(1)确定的位置;(2)求与平面所成角的正弦值.6. (5分)(2017·河南模拟) 已知菱形ABCD如图(1)所示,其中∠ACD=60°,AB=2,AC与BD相交于点O,现沿AC进行翻折,使得平面ACD⊥平面ABC,取点E,连接AE,BE,CE,DE,使得线段BE再平面ABC内的投影落在线段OB上,得到的图形如图(2)所示,其中∠OBE=60°,BE=2.(Ⅰ)证明:DE⊥AC;(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值.二、模拟实训 (共9题;共90分)7. (10分) (2020高二上·四川月考) 在四棱锥中,底面是正方形,与交于点,底面,为的中点.(1)求证:∥平面;(2)若,在线段找一点,使平面,求出的值.8. (10分) (2020高二下·上海期末) 已知在空间四边形中,,,连结空间四边形的两条对角线、 .(1)求证:;(2)若,,求异面直线与的所成角.(用反余弦表示)9. (10分) (2015高一上·娄底期末) 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=BB1=1,B1C=2.(1)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;(2)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值.10. (10分)如图所示,四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,对角线AC与BD交于点O,OA=3,OD=1,CD=,SO⊥底面ABCD.求证:SA⊥BD11. (10分) (2019高二下·上海期末) 如图,圆锥的轴截面为等腰为底面圆周上一点.(1)若的中点为,求证:平面;(2)如果,求此圆锥的体积;(3)若二面角大小为,求 .12. (10分)(2020·聊城模拟) 如图,将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,其中,弧的长为,AB为⊙O的直径.(1)在弧上是否存在点C(C,在平面的同侧),使,若存在,确定其位置,若不存在,说明理由.(2)求二面角的余弦值13. (10分) (2019高二上·安徽月考) 已知三棱锥中:,,,是的中点,是的中点.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.14. (10分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,AB1⊥平面ABC,且AB=BC=AB1=2.(Ⅰ)证明:平面C1CBB1⊥平面A1ABB1(Ⅱ)若点P为A1C1的中点,求直线BP与平面A1ACC1所成角的正弦值.15. (10分)(2016·四川理) 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.参考答案一、真题演练 (共6题;共45分)答案:1-1、考点:解析:答案:3-1、答案:3-2、答案:4-1、答案:4-2、考点:解析:答案:5-1、答案:5-2、考点:解析:考点:解析:二、模拟实训 (共9题;共90分)答案:7-1、答案:7-2、考点:解析:答案:8-1、答案:8-2、考点:解析:答案:9-1、答案:9-2、考点:解析:答案:10-1、考点:解析:答案:11-1、答案:11-2、答案:11-3、考点:解析:答案:12-1、。
19高考数学试题及答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-2x+3,求f(1)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B2. 已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},求A∩B。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案:B3. 若直线l的方程为y=2x+1,求直线l与x轴的交点坐标。
A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (1, 0)D. (0, 1)答案:B4. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a^2+b^2=c^2,判断三角形ABC的形状。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案:B二、填空题5. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
答案:1/36. 若复数z满足|z|=2,且z的实部为1,求z的虚部。
答案:±√37. 已知向量a=(3, -1),b=(2, 4),求向量a与向量b的数量积。
答案:58. 计算二项式(1+x)^5的展开式中x^3的系数。
答案:10三、解答题9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f(x)的极值点。
解答:首先求导数f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=2。
计算二阶导数f''(x)=6x-6,代入x1和x2,得到f''(0)=-6<0,f''(2)=6>0,因此x=0为极大值点,x=2为极小值点。
10. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0),且双曲线C的渐近线方程为y=±(1/2)x。
求双曲线C的离心率。
解答:根据双曲线的渐近线方程,可以得到b/a=1/2。
又因为离心率e=√(1+(b/a)^2),代入b/a=1/2,得到e=√(1+(1/2)^2)=√(5/4)=√5/2。
图1江苏高考数学预测卷19一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分,不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上。
1.在复平面内,复数2)31(12i i---对应的点位于第_______象限 2. 已知集合{}21M x x =∈≤Z ,{}31≤<-∈=x R x N , 则N M ⋂=__________ 3.α是三角形的一个内角,“6πα>”是“21sin >α” 的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”)4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线5=+y x 上的概率为 .5.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,测试结果绘制成频率分布直方图(如图),若成绩介于14秒与16秒之间认为是良好,则该班在这次测试中成绩良好的人数为_______.6. 已知,41)6sin(=+πx则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ=___________ 7.按右图所示的程序框图运算,则输出S 的值是8. 将一边长为4的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为___________ 9.函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k +1,k 为正整数,a 1=16,则n a =_______ 10.将全体正奇数排成一个三角形数阵:1 3 57 9 1113 15 17 19 ……按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为_________11. 已知x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥040522y x y x y ,则521-+=y x z 的最小值是______12.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->,作圆:2224a x y +=的切线,切点为E ,直线FE 交双曲线右支于点P ,若1()2OE OF OP =+,则双曲线的离心率为___________13. 若实数x ,y 满足112244+++=+y x y x ,则y x 22+的取值范围是________14.对于定义域和值域均为[0,1]的函数f (x ),定义1()()f x f x =,21()(())f x f f x =,…,1()(())n n f x f f x -=,n =1,2,3,….满足()n f x x =的点x ∈[0,1]称为f 的n 阶周期点.设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是__ 二、解答题:本大题共6小题,计90分。
高中数学学习材料唐玲出品第19练 定积分问题题型一 微积分基本定理的直接应用例1 (2013·江西)若S 1=ʃ21x 2d x ,S 2=ʃ211xd x ,S 3=ʃ21e xd x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A .S 1<S 2<S 3 B .S 2<S 1<S 3 C .S 2<S 3<S 1D .S 3<S 2<S 1破题切入点 先利用微积分基本定理求出这三个定积分的值,然后比较它们的大小. 答案 B解析 S 1=ʃ21x 2d x =13x 3|21=13×23-13=73, S 2=ʃ211xd x =ln x |21=ln 2, S 3=ʃ21e x d x =e x |21=e 2-e =e(e -1),ln 2<ln e =1,且73<2.5<e(e -1),所以ln 2<73<e(e -1),即S 2<S 1<S 3.题型二 定积分的应用例2 (2013·北京)直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B .2 C.83 D.1623破题切入点 求出抛物线的焦点坐标,确定直线l 的方程,画出图形,确定被积函数及积分的上、下限,用定积分表示所求图形的面积,然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可.答案 C解析 ∵抛物线方程为x 2=4y ,∴其焦点坐标为F (0,1),故直线l 的方程为y =1.如图所示,可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y =14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x =2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍), 即S =4-2ʃ20x 24d x =⎪⎪4-2·x 31220=4-43=83.题型三 不规则积分区间的问题例3 由曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是( ) A .1 B.π4 C.223D .22-2破题切入点 先求出曲线y =sin x 与y =cos x 在(0,π2)内交点的横坐标为π4,然后利用定积分的几何意义分两段表示阴影部分的面积,最后求和即可;也可根据图形的对称性用其中一部分面积的2倍来表示. 答案 D解析 方法一 由sin x =cos x (x ∈(0,π2)),得x =π4.故所求阴影部分的面积S =π40⎰(cos x -sin x )d x +π2π4⎰(sin x -cos x )d x=(sin x +cos x )π40|+(-cos x -sin x ) π2π4|=sin π4+cos π4-sin 0-cos 0+[(-cos π2-sin π2)-(-cos π4-sin π4)]=22-2. 故选D.方法二 由sin x =cos x (x ∈(0,π2)),得x =π4.根据图象的对称性,可知所求阴影部分的面积S =2π40⎰(cos x -sin x )d x=2(sin x +cos x )π40|=2(sin π4+cos π4-sin 0-cos 0)=22-2. 故选D.总结提高 (1)利用定积分求解曲边梯形的面积关键是把握住两点:一是准确确定被积函数,一般是“上”减“下”;二是准确确定积分的上下限.(2)对于不规则图形的定积分求法,一般是将其分割后求解,注意区分定积分的几何意义与利用定积分计算曲线与x 轴所围成图形的面积的不同.(3)解决此部分问题注意把握一种方法即根据曲边梯形的结构特征,灵活利用定积分表示曲边图形区域的面积.1.已知自由落体运动的速率v =gt ,则落体运动从t =0到t =t 0所走的路程为( )A.gt 203 B .gt 20 C.gt 202 D.gt 206答案 C解析 由题意,可知所走路程为0d t t ⎰v =0d t gt t ⎰=12gt 200|t =12gt 20. 2.(2014·山东)直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .2 2 B .4 2 C .2 D .4 答案 D解析 令4x =x 3,解得x =0或x =±2,∴S =ʃ20(4x -x 3)=⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x 2-x 4420=8-4=4,故选D. 3.(2014·湖南)已知函数f (x )=sin(x -φ),且2π30⎰f (x )d x =0,则函数f (x )的图象的一条对称轴是( ) A .x =5π6B .x =7π12C .x =π3D .x =π6答案 A 解析 ∵2π30⎰sin(x -φ)d x =-cos(x -φ)2π30|=0,∴-cos(2π3-φ)+cos φ=0.∴cos(2π3-φ)-cos φ=0.∴32sin φ-32cos φ=0. ∴3sin(φ-π3)=0.∴φ-π3=k 1π(k 1∈Z ).∴φ=k 1π+π3(k 1∈Z ).∴f (x )=sin(x -k 1π-π3)(k 1∈Z ).由x -k 1π-π3=k 2π+π2(k 1,k 2∈Z )得x =(k 1+k 2)π+56π(k 1,k 2∈Z ),∴f (x )的对称轴方程为x =(k 1+k 2)π+56π(k 1,k 2∈Z ).故x =5π6为函数f (x )的一条对称轴.4.(2014·江西)若f (x )=x 2+2ʃ10f (x )d x ,则ʃ10f (x )d x 等于( )A .-1B .-13C.13 D .1答案 B解析 ∵f (x )=x 2+2ʃ10f (x )d x ,∴ʃ10f (x )d x =(13x 3+2x ʃ10f (x )d x )|10 =13+2ʃ10f (x )d x , ∴ʃ10f (x )d x =-13. 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=ʃ30(1+2x )d x ,S 20=17,则S 30为( )A .15B .20C .25D .30 答案 A解析 由已知得S 10=ʃ30(1+2x )d x =12,据等差数列性质可得S 10=12,S 20-S 10=5,S 30-S 20=S 30-17亦成等差数列, 故有12+S 30-17=10⇒S 30=15. 6.设n =π204sin x d x ,则二项式(x -1x)n 的展开式的常数项是( )A .12B .6C .4D .1答案 B解析 由定积分得n =-4cos x π20|=4, 二项式的通项公式为T k +1=C k 4x 4-k(-1x)k =C k 4(-1)k x4-2k,由4-2k =0,得k =2,所以常数项为T 3=C 24(-1)2=6,故选B.7.若函数f (a )=ʃa 0(2+sin x )d x ,则f (π2)等于( ) A .1 B .0 C .π+1 D .1-cos 1 答案 C解析 由于g ′(x )=(2x -cos x )′=2+sin x ,故f (a )=ʃa 0(2+sin x )d x=g (a )-g (0)=2a -cos a +1, 因此f (π2)=2×π2-cos π2+1=π+1,故选C.8.由直线x =-π3,x =π3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B .1 C.32 D.3 答案 D解析 根据定积分的定义,所围成的封闭图形的面积为π3π3-⎰cos x d x =sin x π3π3|-=sin π3-sin ⎝⎛⎭⎫-π3= 3. 9.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ∈[0,1],1x ,x ∈(1,e](e 为自然对数的底数),则ʃe0f (x )d x 的值为________.答案 43解析 依题意得ʃe 0f (x )d x =ʃ10x 2d x +ʃe 11xd x =x 33|10+ln x |e 1 =13+1=43. 10.计算定积分ʃ1-1(x 2+sin x )d x =________.答案 23解析 ʃ1-1(x 2+sin x )d x =(x 33-cos x )|1-1=23. 11.(2014·辽宁)正方形的四个顶点A (-1,-1),B (1,-1),C (1,1),D (-1,1)分别在抛物线y =-x 2和y =x 2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1-1[x 2-(-x 2)]d x =ʃ1-12x 2d x =23·x 3|1-1=23-(-23)=43, 阴影部分面积为2×2-43=83,所以所求概率为834=23.12.已知函数f (x )=-x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112,则a 的值为________. 答案 -1解析 由曲线在原点处与x 轴相切,可得f ′(0)=b =0, 此时f (x )=-x 3+ax 2=x 2(a -x ),据定积分知阴影部分面积-ʃ0a (-x 3+ax 2)d x =112, 解得a =-1.。