第26卷第3期2008年5月
西安航空技术高等专科学校学报
Journal of Xi an Aerotechnical College
Vol 26No 3M ay 2008
收稿日期:2008 01 08
作者简介:史历(1956-),男,山西省垣曲县人,1982年毕业于西安交通大学,现任职于西安航专基础课部,副教授,主要从事
高等数学及应用数学的教学与研究。西安交通大学管理学院高培中心2000~2006年特聘教授,西北大学软件与微电子学院2004~2008年特聘教授,硕士生导师,研究方向:线性规划、动态规划、图与网络优化的数学模型与应用。
空间直角坐标系与先天八卦图的关联
史 历
(西安航空技术高等专科学校基础课部,陕西西安710077)
摘 要:几何学与代数学的起源;先天八卦的来源;笛卡儿的贡献;莱布尼兹从八卦里受到的启发;数轴与太极的关系,平面直角坐标系与两仪生四象的关系,在空间平面直角坐标系上建立正八面体,表示出先天八卦图的空间立体形状;空间直角坐标系与先天八卦图对应对称关系的一致性。应将 先天八卦图!申报为我国非物质文化遗产。关键词:直角坐标系;正八面体;先天八卦图;先天八卦图的立体形状
中图分类号:029:P 128 文献标识码:A 文章编号:1008 9233(2008)03 0061 04
1 几何与代数的结合
最早的远古代数有记录的开端可以追溯到古巴比伦,其年代大约始于公元前1800年左右。而标志中国古代数学体系形成的∀九章算术#,是一部现在有传本的、最古老的中国数学书,它的编纂年代大约是在公元1世纪东汉初期。几何与代数这两门科学的起源与发展,是人类对自然界的认识和利用的一种描述和记载。人类文化的初期,是先对自然现象如太阳、月亮、植物和动物等的认识和区别,产生了图腾文化,这也是几何学的初芽。随着社会的发展和进步,产生了 石头记数!、 结绳记数!和 刻痕记数!的代数思想和方法。
代数学与几何学的结合,是法国科学家笛卡儿(Descar tes R.1596年3月31日∃∃∃1650年2月11日)的贡献。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点,表示要去 寻求另外一种包含这两门科学的好处、而没有它们的缺点的方法!。1637年,笛卡儿发表了∀几何学#,创建了直角坐标系,进而创立了解析几何学,表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式,而且可以通过代数变换来实现发现几何性质,证明几何性质。解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向,把相互对立着的 数!与 形!统一了起来,使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见,更为微积分的创立奠定了基础,从而开拓了变量数学的广阔领域。此后,人类进入变量数学阶段。正如恩格斯所说: 数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分就立刻成为必要的了。!
法国数学家拉格朗日(L agrange J.L.,1736.1.25∃1813.4.10)曾经说过: 只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是,当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后,就以快速的步伐走向完善。!
我国数学家华罗庚(1910.11.12∃1985.6.12)说过: 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数时难入微。形数结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!!
数学的形成和发展伴随着人类文化的起源和发展,数学的研究和应用也促使着人类的进步更加文明和科学。
2 太极与八卦的产生
伏羲为人类文明进步做出的具大贡献是始画八卦,罗奉十三年(己丑,公元前7712年),伏羲获白龟于白龟山(今河南平顶山市)。他细心观察龟甲的分布,深入研究∀河图#、∀洛书#之间的内在联系,悟出了太极原理,始作∀太极图#。他发现龟背甲骨中五环八,背甲十三,腹甲九,裙边甲二十四,背圆,腹方,四足撑天地,遂明大道。于大隗山玄元洞(今河南郑州新密市)推衍八卦,重为六十四卦。八卦可以推演
出许多事物的变化,预测事物的发展。
伏羲传说是否暂且不论。1973年在江苏海安青墩遗址出土的鹿角上刻有八个六爻数字卦,年代约在5500年前;引起易学界、数学界和语言文学家的高度重视。八卦确实是上古华夏先民们智慧的结晶,八卦是人类文明的瑰宝,公元1700年左右,德国大数学家莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm von L eibniz,1646.7.1.∃1716.11.14.)从一位友人送给他的中国 易图!(八卦)里受到启发,最终悟出了二进制数之真谛;率先为计算机的设计系统提出了二进制的运算法则,为计算机的现代发展奠定了坚实的基础与卓越的贡献。八卦中包含的 二进法!,现在广泛地应用于生物及电子学中。八卦中的许多奥妙神奇之处,至今还正在研究和探讨之中。八卦是华夏先民智慧的遗存,是我们民族的荣誉和骄傲,更需要我们发挥这一瑰宝对现代人类文明的照射、对现代科学发展的促进。
空间直角坐标系与先天八卦图各自都有一个逐步形成和完善的过程。不仅两者有联系,并且在它们各自逐步形成和完善的过程中,也同样是相联系的。如果这种联系是肯定的,是否可以推断:空间直角坐标系产生于先天八卦图。那么,八卦这一华夏先民智慧的遗存,不仅让莱布尼兹从中悟出了二进制数之真谛,也使笛卡儿创造了直角坐标系。下面分别讨论空间直角坐标系和先天八卦图的逐步形成过程,及在逐步形成过程中两者之间的对应与联系。
3 数轴与太极
数轴是数学的基础知识之一,坐标系也是用数轴来定义的。代数的基本元素实数与几何中的基本元素点,通过数轴产生一一对应的关系;数轴通过原点将实数分为:正实数(+)和负实数(-)
。
八卦起源于太极,太极生两仪、两仪生四象、四象生八卦。
古太极生古两仪:(古图中的方位是左东右西
)
将正实数(+)与阳仪(∃)对应,将负实数(-)与阴仪(∃
∃)对应;再把古图的方位(左东右西)与现代作图的方
位(左西右东)相一致,则太极生两仪产生了数轴分实数。
4 平面直角坐标系与两仪生四象
平面直角坐标系是由两个数轴将平面分为四部分,分别称为四个象限(象限与四象,字面上就有一定的联系):第一
象限中点的坐标(++),第二象限中点的坐标(-+),第三
象限中点的坐标(--),第四象限中点的坐标(+-)。
两仪派生的四象分别为:
若将正(+)与阳(∃)对应,将负(-)与阴(--)对应,则四个象限就与古四象完全相对应:(观看四象的阴阳是从下向上)
从中文字面上观看:四象好似四个象限的简称。可能是在把笛卡儿直角坐标系引入中国时,译著者就已经把它和古四象联系在一起了。
5 空间平面直角坐标系与先天八卦图
空间平面直角坐标系由三条相互垂直的数轴定义而成,将空间划分为八个部分,分别为第一卦限(%)、第二卦限(&)、第三卦限(∋)、第四卦限(()、第五卦限())、第六卦限(∗)、第七卦限(+)、第八卦限(,)。如图1所示:
图1 空间平面直角坐标与先天八卦图
空间中任意一个点对应的三个有序实数的正负分别为:第一卦限(%):(+++);第二卦限(&):(-++);第三卦限(∋):(--+);第四卦限(():(+-+);第五卦限()):(++-);第六卦限(∗):(-+-);
第七卦限(+):(---);第八卦限(,):(+--)。从空间中任意一点的正负对应关系(或坐标系中八个卦限的对称关系)来观察:
[第一卦限(%):(+++)]对应(对称)于[第七卦限(+):(---)];
[第二卦限(&):(-++)]对应(对称)于[第八卦限(,):(+--)];
[第三卦限(∋):(+62
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