相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥ AB于D．
求证：(1) △ ACD ∽△ ABC；
2
(2)AC2＝AD?AB；
2
(3)CD 2＝AD ?DB ．
证明：(1)∵∠ ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ CDA＝90°＝∠ ACB，∵∠A＝∠A，
∴△ ACD ∽△ ABC.
(2)∵△ ACD ∽△ ABC，
∴AC AD ，
AB AC ，
2
∴AC2＝AD?AB；
(3)∵CD⊥AB，
∴∠ ADC ＝∠ BDC ＝90°，
∴∠ A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°
∴∠ A+∠B＝90°
∴∠ ACD＝∠B
∴△ ACD ∽△ BCD，
∴CD AD ，
∴BD CD ，
2
∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D 在线段AB上，△PCD 是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：(1)△ACP ∽△ PDB，
2
(2)CD 2＝AC ?BD ．
证明：(1)∵△ PCD 是等边三角形，∴∠ PCD ＝∠ PDC ＝∠ CPD ＝60°，∴∠ ACP＝∠PDB ＝120°，∵∠ APB＝120°，
∴∠ APC+∠BPD＝60°，
∵∠ CAP+∠APC＝60°
∴∠ BPD＝∠CAP，
∴△ACP∽△ PDB ；(2)由(1)得△ACP∽△ PDB，
∵△ PCD 是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
2
∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D、G 分别在边AB、AC 上，已知
△ABC 的边BC＝15，高AH＝10，
(1)求证：△ADG∽△ ABC；(2)求这个正方形的边长和面积．
解：(1)∵四边形形DEFG 是正方形，
∴DG∥BC
∴△ADG ∽△ ABC；
(2) 如图，高AH 交DG 于M，设正方形DEFG 的边长为x，则DE＝MH ＝x，∴AM＝AH﹣
MH＝10﹣x，
∵ ADG ∽△ ABC，
∴DG AM ，
BC AH ，
∴x 10 x
∴15 10 ，
∴ x ＝6，
2
∴x2＝36．
答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．
4. 如图，有一块三角形的余料△ ABC，它的高AH ＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF 落在BC 上，其余两个顶点D、G 分别在AB、AC 上．
（1）求证：△ ADG ∽△ ABC；
2
（2）设DE＝xmm，矩形DEFG 的面积为ymm2，写出y 与x 的函数关系式；
解：（1）∵四边形DEFG 是矩形，∴DG∥EF，
∴△ADG ∽△ ABC，
（2）∵ DE＝x
∴RH＝DE＝x
∴ AR＝AH-RH =40-x
∵△ADG ∽△ABC
∴DG AR ，
BC AH ，
∴DG 40 x ，
80 40 ，
∴DG＝2（40﹣x）
2
∴ y＝x?2（40﹣x）＝﹣2x +80x
∴当 t 或 t 时， △PBQ 与 △ABC 相似；
5. 如图，在 △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝20m ，BC ＝12m ，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以
2m/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 1m/s 的速度移动， P 、Q 分别从 A 、B 点同时 出发，时间为 ts ．求当 t 为何值时， △PBQ 与△ABC 相似？
解：由题意得， BP ＝ 20﹣2t ，BQ ﹣ t ，
当△PBQ 与 △ABC 相似时， 或 ，
即或
解得，t 或 t
，
6. 如图，已知△ABC 中AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，动点 D 、E 同时从
A 、
B 两点出发，分别沿 A →
C 、B →A 方向匀速移动，它们的速度分别是 1cm/s 和 2cm/s ，当点 E 到达点 A 时，
D 、
E 两点停止运动．设
运动时间为 t(s)，问：当 t 为何值时， △ADE 与△ABC 相似？
解：根据题意得： BE ＝2t ，AD ＝t ，
∴AE ＝6﹣2t ，
①当 时，
即 ，解得： t ；
②当 时，
即 ，解得： t ；
综上所述：当 t 或 时， △ADE 与△ABC
相似．
7. 如图所示，矩形 ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 是线段 BC 上的一点 (P 不与 B 重合)，M 是DB 上
一点且 BP ＝DM ，设 BP ＝x ，△MBP 的面积为 y ．
(1)求 y 与 x 的函数关系式．
(2)写出自变量的取值范围．
解： (1)矩形 ABCD 中， ∠C ＝90°，CD ＝AB ＝8，
根据勾股定理得， BD 10，
过点 M 作 MN ⊥BC 于 N ，则 MN ∥CD ， 所以， △BNM ∽△ BCD ，
解得 MN (10﹣ x)，
所以， △MBP 的面积为 y BP?MN x? (10﹣ x) x 2+4x ，
(2)∵ P 是线段 BC 上的一点 (P 不与 B 重合)，BC ＝6， ∴ 0< x ≤6．
8. 如图， Rt △ABC 中，∠B=90°，AB ＝12cm ，BC ＝10cm ，点 D 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速
度 向点 B 移动，到达点 B 处停止运动，在移动过程中始终保持 DE ∥BC ，DF ∥AC （点 E 、F 分别
在 AC 、BC 上 ）．求经过 t 时四边形 DFCE 的面积 y.
即y 与 x 的函数关系式为
