幂的运算示范课

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)(－a)4·(－a)2·(－a)(2 )(－a)4·(－a 2)·(－a)(3 )x 5·x 3－x 4·x 4 +x 7·x +x 2·x 6(4 )33·36－32·36 +3·(－3)7分析：上面几个题目均较为复杂 ,但主要是运用同底数幂相乘的法那么 ,底数不同的要化成相同才能使用法那么 ,而且是同类项的要合并 .解 (1 )(－a)4·(－a)2·(－a) =(－a)4 +2 +1 =(－a)7(2 )(－a)4·(－a 2)·(－a) =a 4·(－a 2)·(－a) =a 4·a 2·a =a 4 +2 +1 =a 7(3 )x 5·x 3－x 4·x 4 +x 7·x +x 2·x 6 =x 5 +3－x 4 +4 +x 7 +1 +x 2 +6 =x 8－x 8 +x 8 +x 8 =2x 8(4 )33·36－32·36 +3·(－3)7 =33 +6－32 +6 +3·(－37) =39－38－38=39－2×38 =3×38－2×38=(3－2)×38 =382. 幂的乘方： 观察：(1 )(23)2 =23×23 =26(2 )(32)3 =32×32×32 =32 +2 +2 =36(3 )(a 3)4 =a 3·a 3·a 3·a 3 =a 3×4 =a 12由此可得···…·个…个()a a a a a a a m n m m m m n m m m n m n===+++即（、为正整数）()a a m n m n=m n 这也就是说：幂的乘方 ,底数不变 ,指数相乘 .例3. 计算：(1 )(103)5 (2 )(a n )2 (3 )(a m -3)2(4 )[(3x －2y)2]3 (5 )[(－x)2]m (6 )－(x 2)m分析：解答此题的关键是掌握幂的乘方性质 ,即：底数不变 ,指数相乘 .(a m )n =a m ·n(m 、n 为正整数 )解： (1 )(103)5 =103×5 =1015(2 )(a n )2 =a 2n（）×3()()()a aa am m m m ----===32232326（）－×4[(3x 2y )]=23()()3232236x y x y -=- (5 )[(－x)2]m=(x 2)m=x 2m(6 )－(x 2)m =－x 2m例4. 计算：(1 )(a 2)8·(a 4)4(2 )(－3x)3·(－x 2)4(3 )(－x 3)2·(－x 2)3 (4 )[(x －y)2]3·(y －x)解： (1 )(a 2)8·(a 4)4 =a 2×8·a 4×4 =a 16·a 16 =a 16 +16 =a 32(2 )(－3x)3·(－x 2)4 =－(3x)3·(x 2)4 =－(3x)3·x 2×4 =－(33×x 3)·x8=－33x 3 +8 =－33·x 11(3 )(－x 3)2·(－x 2)3 =(x 3)2·[－(x 2)3] =x 6·(－x 6) =－x 12(4 )[(x －y)2]3·(y －x) =(x －y)6·[－(x －y)] =－(x －y)6·(x －y) =－(x －y)73. 积的乘方： 观察：(1 )(ab)2 =(ab)·(ab) =(a ·a)·(b ·b) =a 2b 2(2 )(ab)4 =(ab)(ab)(ab)(ab) =(a ·a ·a ·a)·(b ·b ·b ·b) =a 4b 4故而可知：…··…···…个()()()()()()()a ba b a b a b a b a a a a b b b b a bnn n n===可得：(ab)n =a n b n(n 为整数 )这就是说：积的乘方等于各因数乘方的积 . 例5.(1 )(2b)3 (2 )(2×a 3)2(3 )(－a)3 (4 )(－3x)4解： (1 )(2b)3 =23b 3 =8b 3(2 )(2×a 3)2 =22(a 3)2 =4a 6(3 )(－a)3 =(－1)3a 3 =－a 3(4 )(－3x)4 =(－3)4·x 4 =81x 4例6. 计算：(1 )(x 2)3·(x 2y)2 (2 )x 8y 6－(x 4y 3)2 (3 )2x 10－(2x 5)2(4 )85×5 (5 )162×24×42 (用2n的形式表示 )解： (1 )(x 2)3·(x 2y)2 =x 6·x 4y 2 =x 10y 2(2 )x 8y 6－(x 4y 3)2 =x 8y 6－x 4×2y 3×2 =x 8y 6－x 8y 6=0(3 )2x 10－(2x 5)2 =2x 10－4x 10 =－2x 10（）×××480.125=55818818115555()()=== (5 )162×24×42=(24)2×24×(22)2=28×24×24=28 +4 +4=216二、整式的乘法：1. 单项式与单项式相乘： 例7. 计算：(1 )3x 2y · (－2xy 3)(2 )(－5a 2b 3)·(－4b 2c)解： (1 )3x 2y · (－2xy 3 ) =[3·(－2)]·(x 2·x)·(y ·y 3)=－6x 3y 4(2 )(－5a 2b 3)·(－4b 2c) =[(－5)·(－4)]·a 2·(b 3·b 2)·c =20a 2b 5c 单项式与单项式相乘的法那么：只要将它们的系数相乘 ,相同字母的幂分别相乘 ,对于只在一个单项式中出现的字母 ,那么连同它的指数一起作为积的一个因式 . 例8. 计算：（）··13x y x y 5x y 2322()-13(2 )×103)×(5×105)(3 )(－4a 2b 5c)·3ab 6·(－7b 2c 3) （）·4()()--1332324m n m n解：（）··××····13x y x y 5x y 2322()[()]()()-=-1331352322x x x y y y =－5x 6y 5(2 )×103)×(5×105×5×(103×105) =16×108×109(3 )(－4a 2b 5c)·3ab 6·(－7b 2c 3)=[(－4)×3×(－7)](a 2·a)·(b 5·b 6·b 2)· (c ·c 3)=84a 3b 13c 4（）·4()()[()][()]--=--1331332324363448m n m n m n m n =-()()127816348m n m n=-31011m n2. 单项式与多项式相乘： 例9. 计算：(1 )2a 2(3a 2－5b)(2 )(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3)解： (1 )2a 2(3a 2－5b) =2a 2·3a 2－2a 2·5b =6a 4－10a 2b(2 )(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3) =(－2a 2)(3ab 2)－(－2a 2)(5ab 3)=－6a 3b 2－(－10a 3b 3)=－6a 3b 2 +10a 3b 3单项式与多项式相乘的法那么：将单项式分别乘以多项式的各项 ,再将所得的积相加 .例10. 计算：x(x 2－1) +2x 2(x +1)－3x(2x －5)解：原式 =x 3－x +2x 3 +2x 2－6x 2+15x=3x 3－4x 2+14x例11. ：ab 2 =－6 ,求－ab(a 2b 5－ab 3－b)的值 .分析：此题应该先将单项式与多项式相乘 ,得出一些关于ab 2的代数式 ,然后再求结果 .解：－ab(a 2b 5－ab 3－b)=－a 3b 6 +a 2b 4 +ab 2=－(ab 2)3 +(ab 2)2 +ab 2=－ (－6)3 +(－6)2+(－6) =216 +36－6 =2463. 多项式乘多项式： 先研究(m +n)(a +b)：将(m +n)看成一个整体 ,有(m +n)(a +b) =(m +n)a +(m +n)b =ma +na +mb +nb 由此可知 ,多项式乘多项式的法那么：多项式乘多项式 ,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项 ,再把所得的积相加 .例12. 计算：(1 )(x +2)(x －3)； (2 ) (3x －1 )(2x +1)解： (1 )(x +2)(x －3) =x 2－3x +2x －6 =x 2－x －6(2 ) (3x －1 )(2x +1) =6x 2 +3x －2x －1 =6x 2+x －1 例13. 计算：(1 )(x －3y)(x +7y)； (2 )(2x +5y)(3x －2y)解： (1 )(x －3y)(x +7y) =x 2 +7xy －3yx －21y 2 =x 2 +4xy －21y 2(2 )(2x +5y)(3x －2y) =6x 2－4xy +15yx －10y 2 =6x 2 +11xy －10y 2例14. 先化简 ,再求值：6x 2+(3x －2)(1－2x) +(x +2)(3－x) ,其中x =－1解：6x 2+(3x －2)(1－2x) +(x +2)(3－x)=6x 2 +(3x －2－6x 2 +4x) +(3x +6－x 2－2x)=6x 2 +3x －2－6x 2 +4x +3x +6－x 2－2x=－x 2+8x +4=－(－1)2－8 +4 =－5 .例15. 假设不管x 取何值 ,多项式x 3－2x 2－4x －1与(x +1)(x 2+mx +n)都相等 ,求m 、n .分析：先求出 (x +1 )与 (x 2 +mx +n )的积 ,再比拟积与x 3－2x 2－4x －1的系数 .它们对应项的系数应分别相等 .解：(x +1)(x 2 +mx +n) =x ·x 2 +x ·mx +x ·n +x 2+mx +n=x 3 +(m +1)x 2+(m +n)x +n 因为不管x 取何值 ,两多项式相等 ,所以m +1 =－2 n =－1 即m =－3 ,n =－1 本课小结：1. 在幂的运算中 ,很多情况下要注意观察是否是同底数幂 ,假设是才可以用其法那么 ,否那么 ,不可以用其法那么 .2. 在整式的乘法中 ,要注意熟记这些法那么 ,而且还要继续注意在使用幂的运算时观察其底数 .【模拟试题】 1. 计算：(1 )(x 4)3 , (2 )(y 3)2·(y 2)3 , (3 )3y 2·y 3－5y ·y 4,(4 )(－P)2·(－P)3·P 4－P ·P 3·(－P)5(5 )t 2·(t 3)2 , (6 )8x 6－2(x 2)3 , (7 )(x ·x 2·x 3)4 , (8 )[(y 2)2]4(9 )12y 8－2y 2·(y 2)3－3(y 4)2－4(y ·y 3)2(10 )x 3(x 2y)4 , (11 )(x 2·x 3 +m )3(12 )3(x 5)2·(x 3)2－(2x 3)2·(x 2)5(13 )(3a 3)3 +(3a 3·3a 6)－3a 9（）··142177151200320042005()()()---2. 计算：(1 )－3xy ·2x 2y（）·213925323xy yx ()- （）3()()31222a b a b nn - (4 )(－3ab 2)(2a 2－5ab －1) (5 )x(x －y) +x(y －x)(6 )3x(－x 2－4x +1)－2x ·(3x 2+x －5)(7 )(x －1)(x 2+x +1)(8 )x(x 2－1)－(x +1)(x 2+1)(9 )(x 2－x －1)(2x +1)3. 162×43×26 =22x -1 ,[(10)2]y =1012求x +y 的值 . 4. 先化简再求值：(－2x )·(3x 2－4x －1) +6x 3－2x ,其中|x －2| =0 .5. (x 2 +px +8)(x 2－3x +q)的乘积中不含有x 2与x 3的项 ,求p 、q 的值 .【试题答案】 1. 计算：(1 )(x 4)3 =x 12(2 )(y 3)2·(y 2)3 =y 6·y 6 =y 12(3 )3y 2·y 3－5y ·y 4 =3y 5－5y 5 =－2y 5(4 )(－P)2·(－P)3·P 4－P ·P 3·(－P)5 =P 2(－P 3)·P 4－P 4 (－P 5)=－P 9 +P 9=0(5 )t 2·(t 3)2 =t 2·t 6 =t 8(6 )8x 6－2(x 2)3 =8x 6－2x 6 =6x 6(7 )(x ·x 2·x 3)4 =(x 6)4 =x 24(8 )[(y 2)2]4 =[y 4]4 =y 16(9 )12y 8－2y 2·(y 2)3－3(y 4)2－4(y ·y 3)2 =12y 8－2y 8－3y 8－4y 8 =3y 8(10 )x 3(x 2y)4 =x 3·x 8y 4 =x 11y 4(11 )(x 2·x 3 +m )3 =x 6·x 3(3 +m) =x 6 +9 +3m =x 15 +3m(12 )3(x 5)2·(x 3)2－(2x 3)2·(x 2)5 =3x 10x 6－2x 6·x 10 =x 16(13 )(3a 3)3 +(3a 3·3a 6)－3a 9 =33·a 9 +9a 9－3a 9 =33a 9（）··142177151200320042005()()()--- =---()()()1577151200320042005·· =----()()()()1577157151200320032005··· =----[()()]()()15771571512003×·· =--171512003·()()=7152. 计算：(1 )－3xy ·2x 2y =－6x 3y 2（）·2139232532385x y y x x y()-=- （）3()()312322233a b a b a bn n n -=- (4 )(－3ab 2)(2a 2－5ab －1) =－6a 3b 2+15a 2b 3+3ab 2(5 )x(x －y) +x(y －x) =x(x －y)－x(x －y) =0(6 )3x(－x 2－4x +1)－2x ·(3x 2 +x －5) =－3x 3－12x 2 +3x －6x 3－2x 2+10x=－9x 3－14x 2+13x(7 )(x －1)(x 2 +x +1) =x 3 +x 2 +x －x 2－x －1 =x 3－1(8 )x(x 2－1)－(x +1)(x 2 +1) =x 3－x －x 3－x 2－x －1 =－x 2－2x －1(9 )(x 2－x －1)(2x +1) =2x 3－2x 2－2x +x 2－x －1 =2x 3－x 2－3x －13. 解：162×43×26 =(24)2×(22)3×26 =28×26×26 =220 =22x -1故2x －1 =20x =212而[(10)2]y=1012得102y=1012y =6 故x y +=+=21263324. 解：(－2x)(3x 2－4x －1) +6x 3－2x =－6x 3+8x 2+2x +6x 3－2x =8x 2而|x －2| =0知x =2故8x 2 =8×22=325. 解：(x 2 +px +8)(x 2－3x +q) =x 4 +(p －3)x 3 +(8 +q －3p)x 2+(pq －24)x +8q而题目中其乘积中无x 3与x 2项 ,故p －3 =0 8 +q －3p =0 得p =3 ,q =1 .本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写 .过程教案法的理论根底是交际理论 ,认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动 ,而不是写作者的个人行为 .它包括写前阶段 ,写作阶段和写后修改编辑阶段 .在此过程中 ,教师是教练 ,及时给予学生指导 ,更正其错误 ,帮助学生完成写作各阶段任务 .课堂是写作车间 , 学生与教师 , 学生与学生彼此交流 , 提出反应或修改意见 , 学生不断进行写作 , 修改和再写作 .在应用过程教案法对学生进行写作训练时 , 学生从没有想法到有想法 , 从不会构思到会构思 , 从不会修改到会修改 , 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力 .学生由于能得到教师的及时帮助和指导 ,所以 ,即使是英语根底薄弱的同学 ,也能在这样的环境下 ,写出较好的作文来 ,从而提高了学生写作兴趣 ,增强了写作的自信心 .这个话题很容易引起学生的共鸣 ,比拟贴近生活 ,能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时 ,应注意将本单元情感目标融入其中 ,即保持乐观积极的生活态度 ,同时要珍惜生活的点点滴滴 .在教授语法时 ,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心 ,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句 ,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底 .此教案设计为一个课时 ,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括 ,下一个课时那么对语法知识进行讲解 . 在此教案过程中 ,应注重培养学生的自学能力 ,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法 ,才能使学生的学习积极性进一步提高 .再者 ,培养学生的学习兴趣 ,增强教案效果 ,才能防止在以后的学习中产生两极分化 .在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。

《实数指数幂及其运算》教学设计◆教学目标（1）理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；提升学生的数学抽象素养；（2）了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.提升学生的直观想象素养．（3）掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行化简计算，提升学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质．教学难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.预设的答案：（1）本章将要研究指数函数、对数函数、幂函数这三类基本初等函数的性质与图像.（2）本章是继上一章学习函数及其性质的基础上继续深入学习的一部分，是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生获得较为系统的函数知识，并初步了解函数的一般方法，培养函数应用的意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性，因此，这一章起到了承前启后的重要作用.（3）起点是分数指数幂和根式的概念，目标是通过研究分数指数幂和根式使学生对指数函数及对数函数等基本初等函数的图像及其性质有更加理性的认知，对掌握基础的数学语言有不可或缺的作用.设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、问题导入问题2：国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%.你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？师生活动：考虑到学生可能对平均增长率不太熟悉，在课堂上可以先不要求进行相关计算，但是用利用本节将要学习的内容解决相关问题.相关的计算和预测数据等，在本节最后将会呈现.设计意图：从学生熟悉的现实生活中常见的但又不知如何解决此类问题的情境导入，制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣.引语：为了解决类似情境中的问题，我们需要对指数运算有更多的了解.（板书：实数指数幂及其运算）【新知探究】1．把初中学过的知识作为实例，感知指数幂，分析出有理指数幂的概念，并逐步引到实数指数幂的研究上.初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32， 30=师生活动：问题1 整数指数幂a n (n ∈N ＋)的意义是什么？a n 、a 、n 分别叫做什么？一般地，a n 中的a 称为底数，n 称为指数①．==-53153追问1：正整指数幂有哪些运算法则？整数指数幂运算的运算法则有a m a n=a m+n，（a m）n=a mn，（ab）m=a mb m.追问2：对于幂指数0，是否满足上述法则？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：（1）非零实数的0次幂等于1；（2）0的0次幂无意义.2、初中我们还学习了平方根和立方根：（1）如果x2=a，则称x为a的平方根（或二次方根）：当a>0时，a有两个平方根，它们互为相反数，负的平方根记为当a=0时，a只有一个平方根，=；当a＜0时，a在实数范围内没有平方根．例如，=二次根式的运算法则有2a===（2）如果x3=a，则x称为a的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数a有且只例如，=问题3：类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义？预设的答案：（1）如果,4ax=则x称为a的四次方根：当a>0时，a有两个四次方根，它们互为相反数，正的四次方根记作4a，负的四次方根记作a=0时，a只有一个四次方根，记作04=；当a<0时，a在实数范围内没有四次方根.（2）如果,5ax=则x称为a的五次方根：在实数范围内，任意实数a有且只有一个五次方根，记作5a.师生活动：问题4：通过上述问题的探讨，请同学们自行归纳出n次方根的概念938预设的答案：一般地，给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得 x n =a ，则x 称为a 的n 次方根．总结：本章中，所有字母的取值范围均默认为使式子有意义的取值范围．例如，因为方程x 4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32，而且x 5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2 根据方程x n =a 解的情况不难看出：（1）0的任意正整数次方根均为0，记为000=.（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a 的n 次算术根，记为n a ，负的方根记为-n a ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a ＜0且n 为偶数时，n a 在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为n a ．而且正数的奇数数次方根是一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数.当n a 有意义的时候，n a 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数. 一般地，根式具有以下性质： （1）a a nn =)(（2）当n 为奇数时，a a n n=；当n 为偶数时，||a a n n =强调：（1）n a 一般读作“n 次根号a ”（2）当a <0且n 为偶数时，n a 在实数范围内没有意义；（3）当n a 有意义时，n a 是一个实数，而且它的n 次方等于a ，即a a nn =）（预设的答案：（1）2- （2）23） 4- （4）2 （5）｜a −b ｜ (6)2)(b a - 设计意图：通过让学生自行归纳n 次方根的概念，培养学生利用类比等方式学习新知识的能力，通过特殊情况归纳得到一般情况是本书反复强调的一点，符合学生的认知习惯.问题5：对于n a ，当n 是正整数时的意义我们已经知道，那么这里的n 能不能是分数呢？当n 是分数时，n a 的意义又是什么呢？预设的答案：n 可以是分数，比如215，215应该满足555)5(1221221===⨯，这表示215应该是5的平方跟，但是5的平方根有两个，即5和5-，为了方便起见，我们规定5521=.当n 是分数时，na 的意义是如果n 是正整数，那么：当n a 有意义时，规定n na a =1设计意图：通过让学生对具体实例的理解，快速的理解一般情况的事实.总结：对于一般的正分数nm ，也可作类似规定，即 nm m n n ma a a ==)(但值得注意的是，这个式子在nm不是既约分数（即m ，n 有大于1的公约数）时可能会有歧义.追问：当0≠a 且m 与n 都是正整数时，n mnm a a=，那么此时该如何理解nm a-呢？预设的答案：可以从运算法则的角度来理解，即nmnm nm aaa10==--.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）（2） （3）(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈()(0,0,)rr ra b a b Q b r Q ⋅=>>∈本资源展现分数指数幂的意义，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．本资源适用于分数指数幂的意义的教学，供教师备课和授课时参考．若需使用，请插入微课【知识点解析】分数指数幂的意义问题6：求证：如果a >b >0，n 是大于1的自然数，那么11nna b > 证明 假设nnb a 11<或nnb a 11=根据不等式的性质与根式的性质，得a <b 或a =b ． 这都与a >b 矛盾，因此假设不成立，从而nnb a 11> 利用上述结论，可以证明（留作练习）： （1）如果a >s >0，s 是正有理数，那么a s >b s ； （2）如果a >1，s 是正有理数，那么a s >1，a -s <1； （3）如果a >1，s >t >0，且s 与t 均为有理数，那么a s >a t问题7：若＞0，P 是一个无理数，则该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本6页.a (0,)pa a p >是一个无理数此图片是动画缩略图，本资源通过数轴上近似值逼近的方法认识无理数指数幂，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率. ，本资源适用于认识无理数指数幂的教学，供教师备课和授课使用..若需使用，请插入【数学探究】认识无理数指数幂 .预设的答案：一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,)pa a p >是一个无理数(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r ab a b a r R ⋅=>∈本资源展现无理数指数幂的意义，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．本资源适用于无理数指数幂的意义的教学，供教师备课和授课时参考．若需使用，请插入图片【知识点解析】无理数指数幂的意义 例1.求值:①8;②25③()－5;④().师生活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，写成2－1，写成()4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①8=(23)=2=22=4; ②25=(52)=5=5－1=; ③()－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32; ④()=()=()－3=.设计意图：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8===4.3221-21811643-218116323232323⨯21-21-)21(2-⨯5121811643-32)43(4-⨯3282732328364例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·;a 2·;(a >0).师生活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·=a 3·a =a=a ;a 2·=a 2·a =a=a ;=(a ·a )=(a )=a .设计意图：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数. 例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a b )(－6a b )÷(－3a b ); （2）(m n)8.师生活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a b=4ab 0=4a ;（2）(m n)8=(m )8(n)8=mn =m 2n －3=. 设计意图：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.a 32a 3a a a 21213+2732a 32232+383a a 31213421323221213161654183-612132-+653121-+4183-4183-841⨯883⨯-32n m设计意图：巩固集合的概念，元素与集合之间的关系．关键是要搞清每个集合中的元素是什么，进而确定给定的元素与集合之间的关系．【课堂小结】1．板书设计：4.1指数与指数函数1．有理指数幂例12．有理指数幂的性质例23．实数指数幂例3练习与作业：教科书第8页练习A1，2题；教科书第8页练习B 1，4题．2．总结概括：问题8：(1)无理指数幂的意义是什么？.(2)实数指数幂的运算性质有哪些？(3)逼近的思想，体会无限接近的含义.师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数.（2）对任意的实数r，s，均有下面的运算性质:①a r·a s=a r+s(a>0，r，s∈R).②(a r)s=a rs(a>0，r，s∈R).③(a·b)r=a r b r(a>0，b>0，r∈R).设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确指数幂的有关知识．布置作业：教科书第8页练习B 1-4题．【目标检测】1.下列说法中:①16的4次方根是2; ②416的运算结果是±2; ③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义;④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义.其中正确的是()A.①③④B.②③④C.②③D.③④设计意图：考查学生对指数幂的掌握程度．2.2.已知x5＝6，则x等于()A. 6B.56 C.－56 D.±56设计意图：考查学生对根式的理解．3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2 B.3m C.6m D.5－m 设计意图：考查学生对根式的理解及运算的素养．参考答案:1、①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2; ②错，416＝2，而±416＝±2. ③④正确. 答案D2、由根式的定义知，x5＝6，则x＝56，故选B.3、要使6m有意义，m≥0.。

初中数学七年级下册公开课教学设计课题：《幂的运算》第一课时同底数幂的乘法教学准备PPT课件教学流程本节课教学流程共分为七个环节，依次是：环节一情境导入环节二知识回顾环节三探究新知环节四新知应用环节五巩固提升环节六课堂小结环节七布置作业教学过程教学环节教学内容师生行为设计意图与学习评价环节一情境导入问题：我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可进行2.57×1015次运算，问它工作1h(3.6×103s)可进行多少次运算？9.252×1015×103=？引出课题：同底数幂的乘法【意图】创造一种与现实探索活动有联系的问题情境，使学生体会到学习本节内容的必要性，激发学生学习的兴趣.环节二知识回顾1.乘方：2.幂：1. 2×2×2=23a⋅a⋅a⋅a=a42. 23=2×2×2a4=a⋅a⋅a⋅a【意图】复习时明确乘方的意义很有必要，这是新旧知识的链接.【评价】能说出具体例子的乘方和幂的意义.学环节教学内容师生行为设计意图与学习评价环节五巩固提升2.填空：(1)a7⋅a9=(2)x5⋅(−x)4=3.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？能力提升练习：1.计算：(1) x n⋅x n+1(2) −a2⋅a3⋅(−a)32.已知2a=4，2b=8，求2a+b等于多少？问题解决：3. (1)a3⋅a3=2a3(2)a3+a3=a6(3)b⋅b6=b6师生共同分析、板书解题过程利用本节课的知识解决上课开始时提出的问题.【评价】1、熟练运用同底数幂的乘法运算性质进行计算.2、能利用运算性质解决一些实际问题.3、通过实例了解同底数幂的乘法运算性质的逆运用.环节六课堂小结同底数幂相乘，底数不变，指数相加a m⋅a n=a m+n(m,n 都是正整数 )【意图】通过小结，谈收获及注意的问题，体验成功的喜悦；让学生认识自我，增强自信心，对本节课的学习进行自我评价.环节七布置作业1.课本54页习题8.1第1题2.用a，2 ，5构造同底数幂的乘法算式并计算【意图】通过作业，让学生巩固新知识并培养应用意识.【评价】熟练运用同底数幂的乘法运算性质进行计算，能利用运算性质解决一些实际问题.自我评价请你根据今天的学习表现，结合学习目标，进行自我评价，把自己能得到的涂上颜色！。