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线段垂直平分线的性质定理PPT课件

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时线段的垂直平分线的性质与判定课件

时线段的垂直平分线的性质与判定课件
如果一条直线上的点到线 段两个端点的距离相等， 那么这条直线是这条线段 的垂直平分线。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。

线段的垂直平分线性质ppt课件

线段的垂直平分线性质ppt课件
猜想：
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.

线段垂直平分线的性质定理及逆定理(共10张PPT)

线段垂直平分线的性质定理及逆定理(共10张PPT)
即：到线段两个端点的距离相等的点在 PC=PC（公共边），
= 猜想： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
这条线段的垂直平分线上． ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. ∠PCA=∠PCB（已证） 轴对称图形的概念是： ∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
N
在△APC与△BPC中
PC=PC（公共边）
∠PCA=∠PCB（已证）
AC=BC（已知）
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
这 ∴个P结A=论PB是(线经段常垂用直来平证分明线两上条的线点段到相等这的条根线据段之两一个.端点
分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
证明： ∵MN⊥AB，
已线知段： 垂线直段平分AB线，上点的P点是与平这面条内线一段点两且个PA端=P点B的．距离相等。
一即、：线 到段线垂段直两平个分端线点的的距性离质相定等理的：点在这条线段的垂直平分线上．
∵ED是线段AB的垂直平分线 解： ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
线段垂直平分线的性质定理及 逆定理
第1页，共10页。
概念复习
▪ 轴对称图形的概念是什么？
▪ 两个图形轴对称的概念是什么？
▪ 垂直平分线的概念是什么？
▪ 图形轴对称的性质？
第2页，共10页。
学习目标
▪ 掌握线段垂直平分线的性质定理 及逆定理
▪ 能运用两个定理解决有关的实际 问题
第3页，共10页。
P1

线段垂直平分线的性质及判定定理ppt课件

线段垂直平分线的性质及判定定理ppt课件
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？

线段的垂直平分线课件

线段的垂直平分线课件

定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直

垂直平分线的性质ppt课件

垂直平分线的性质ppt课件
解:
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14

《线段的垂直平分线》PPT(第2课时)

《线段的垂直平分线》PPT(第2课时)

变式练习1 如图，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中 AB=AD,CB=CD.
(1)小明认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足
为E,并且BE=EB,你同意他的说法吗？
B
解：同意，理由
A ED
∵AB=AD,CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
C
∴AC⊥BD,BE=EB.
(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.
B
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
C
随堂演练
1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A ) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝ EB,FA＝FB，这样的点的组合共有（ D ）种. A.1 B.2 C.3 D.无数
P
A
B
C
情景导入
动手操作：在练习本上以线段AB为底边做等腰△PAB. △PAB的形状和大小是确定的吗？ 不确定 符合条件的△PAB能作几个？ 可以作无数个
观察：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？ P
在一条直线上
推测：这条直线与线段AB的关系
A
B
这条直线是线段AB的中垂线
思考：当PA=PB时，点P一定在AB的中垂线上吗？
解：S四边形ABCD SCBD SABD
1 BDCE 1 BD AE
2
2
1 BD AC 1 ab
2
2
A
B
ED
C
知识点 2 线段垂直平分线性质定理和逆定理的综合运用
例2 已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P

16.2 线段的垂直平分线(课件)冀教版数学八年级上册

16.2 线段的垂直平分线(课件)冀教版数学八年级上册
解
读 点 P 在
径画弧，交 l 于 A，B 两点；
直线 l
②作线段 AB 的垂直平分线 CD，
上
CD 即为直线 l 的垂线
图示
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第二课时 线段垂直平分线的判定和画法
考
点
清
单
解
读
返回目录
续表
①以点 P 为圆心，适当长为半径
点 P
画弧，交 l 于 A，B 两点；②分
在直
别以点 A，B 为圆心，适当长为
16.2 线段的垂直平分线
第一课时 线段垂直平分线的性质
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
第一课时 线段垂直平分线的性质
■考点
返回目录
线段垂直平分线的性质定理
考
点
内容
清
单
线段垂直平分线上的点到线段两端的距
解
读 性质
离相等条件：点在线段的垂直平分线上
定理
结论：这个点到线段两端的距离相等
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］9
返回目录
第一课时 线段垂直平分线的性质
返回目录
重 ■题型 线段垂直平分线的性质定理的应用
难
例
如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°．若边
题
型 AC 的垂直平分线 DE 交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，
突
破 连接 CD，则∠DCB 的度数为 （
返回目录
解题通法
涉及尺规作图的题目，首先要根据作图方
重
难
题 法或作图痕迹判断出所作图形，再结合题目所给条件解决
型 问题.

《线段的垂直平分线》课件

《线段的垂直平分线》课件
详细描述
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
THANK YOU
《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。

1312线段的垂直平分线的性质课件

1312线段的垂直平分线的性质课件

添加 标题
边的垂直平分线性质：垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，利用这一性质 可以证明等腰三角形的性质。
添加 标题
垂直平分线的性质在三角形中的应用：利用垂直 平分线的性质，可以证明三角形中的中垂线定理， 即三角形中垂线上的点到三角形三个顶点的距离 相等。
添加 标题
垂直平分线的性质在四边形中的应用：利用垂直 平分线的性质，可以证明四边形中的对角线性质， 即四边形中对角线被垂直平分线所截得的线段相 等。
通过线段中点作垂直平分线
连接线段两端点 分别以线段两端点为圆心，以线段长度为半径画圆 画出两个圆的交点 连接交点和线段中点
利用直角三角形的性质作垂直平分线
准备一张直角三角形纸片，并标记直角顶点为A，斜边中点为B。 将纸片沿中线对折，使斜边重合，得到一条折痕。 将纸片展开，再次沿中线对折，使斜边重合，得到另一条折痕。 连接两条折痕的交点，即为垂直平分线的中点。
分别过线段两端作中垂线的垂线
连接垂足，得到垂直平分线
汇报人：
应用：垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，例如在三角形、四边形等几何图形中。
垂直平分线的性质
定义：垂直平分线是一条线，它经过某一点并与该点相对的线段垂直。 性质：垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。 定理：垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离是垂直平分线最短的。
应用：在几何学中，垂直平分线是重要的概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。
判定定理的应用
三角形中的垂直平分线：判定三角形中的垂直平分线，并确定垂直平分线上的点到三角形顶 点的距离相等。
圆的垂直平分线：判定圆中的垂直平分线，并确定垂直平分线上的点到圆心的距离相等。
角的平分线：判定角的平分线，并确定角平分线上的点到角的两边距离相等。

线段垂直平分线的性质定理及逆定理课件

线段垂直平分线的性质定理及逆定理课件
基础习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点 C在直线OM上，AC=5cm， BC=3cm，则AB=多少cm。
进阶习题
进阶习题1
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=3cm，BC=5cm，求 AB的长度。
VS
进阶习题2
已知线段AB的垂直平分线为OM，点C在 直线OM上，AC=6cm，BC=4cm，求 AB的长度。
理，△AMP≌△MBN，所以PM=PN。
证明逆定理2
假设线段AB上有两点C、D到直线l的距离相等，即CL=DL，取AB的中点M，连接MC 、MD、MN，由于∠CML=∠DML=90°，ML=ML，CL=DL，根据三角形的全等定理
，△CML≌△DML，所以CM=DM，根据中点的性质，CM+MA=DM+MB，所以 AC=BD，即线段AB被直线l垂直平分。
定理证明的注意事项
注意证明的逻辑严推理都是正确的，避免出现 逻辑漏洞。
注意使用正确的几何语言
在书写证明过程时，要使用规范的几何语言，确保表达的准确性和 严谨性。
注意检查结论是否符合题意
在得出结论后，要再次核对结论是否符合题目的要求，确保结论正 确无误。
04 定理的应用
定理在数学竞赛中的解题策略中的应用
在数学竞赛中，利用线段垂直平分线性质定理可以设计出一些巧妙的解题策略， 如利用对称性质简化问题、利用中点性质构造辅助线等。
05 习题与解答
基础习题
基础习题1
已知线段AB的垂直平分线与AB交于 点O，点C在直线OM上，CA=CB， 若AB=6cm，则AC=多少cm。
定理在几何图形中的应用
定理在三角形中的应用
线段垂直平分线性质定理可以用于证明三角形中的一些重要 性质，如等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线 性质等。

线段的垂直平分线的性质课件ppt

线段的垂直平分线的性质课件ppt
平移等距性
在平移变换中，垂直平分线上的 点到线段两个端点的距离相等， 且等于平移的距离。
旋转变换中应用
旋转不变性
垂直平分线在旋转变换下保持不变， 即旋转后的图形仍然保持垂直平分线 的性质。
旋转等角性
以垂直平分线上一点为旋转中心，旋 转任意角度后，所得图形与原图形关 于该点对称。
对称变换中应用
对称中心
思路拓展与延伸
拓展1
探究线段垂直平分线与三角形的关系。例如，已知三角形ABC 中，D是AB的中点，DE垂直于AC于点E，求证：DE是AB的垂 直平分线。
拓展2
将线段垂直平分线的性质应用于实际问题中。例如，在建筑 设计或工程测量中，如何利用线段的垂直平分线性质来确定 某点的位置或某线段的长度。
易错点提示与防范策略
THANKS
感谢观看
线段的垂直平分线是对称中心，即关于垂直平分线的对称点连线的中点就是垂 直平分线与线段的交点。
对称轴
线段的垂直平分线也是对称轴，即关于垂直平分线对称的两个图形是全等的。
05
典型例题解析与思路拓展
典型例题解析
例题1
已知线段AB和点C，D分别是AB，BC的中点，求证：CD是AB的垂直平分线。
解析
根据中点的定义，可知AC=CB，BD=DA。因为CD是AB的中线，所以CD垂直于AB。 又因为AC=CB，所以角ACD=角BCD，从而角ADC=角BDC。根据角平分线的性质， 可知CD平分角ADB，所以CD是AB的垂直平分线。
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端的距离相等。
性质2
线段的垂直平分线是其对 称轴，即线段关于垂直平 分线对称。
判定方法
判定定理
一条直线是某线段的垂直 平分线当且仅当该直线过 线段的中点且与该线段垂 直。

1.3 线段的垂直平分线课件(第1课时)

1.3 线段的垂直平分线课件(第1课时)

探究新知
结论 线段垂直平分线的判定定理
文字语言：
P
到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
∟
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
作用1：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
作用2：判断一条直线是否是线段的垂直平分线.
探究新知
素养考点 2 线段垂直平分线的判定定理
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC和△APQ全等．
（3）不能．由（1）（2）知，只有直角三角形的两个锐角满足30°、60°，才能 通过折叠将一个直角三角形分成三个全等的小三角形．
巩固练习 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线.
O
B D
E CA
巩固练习
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
例 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一
点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定 一条直线）.
A

《线段的垂直平分线》课件

《线段的垂直平分线》课件
《线段的垂直平分线》课件
目录
• 线段与垂直平分线基本概念 • 构造垂直平分线方法 • 垂直平分线与相关几何图形关系 • 垂直平分线在解决实际问题中应用 • 知识点总结与回顾 • 练习题及解答环节
01 线段与垂直平分线基本概 念
线段定义及性质回顾
01
02
03
线段定义
直线上两个点和它们之间 的所有点组成的图形叫做 线段。
关键概念梳理
线段的垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线。
线段的中点
线段上的一点，把线段分成两条相等的部分，这个点叫做线段的中 点。
垂直
两直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直。
重要性质归纳
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
利用尺规作图法
准备工具
直尺和圆规是尺规作图 的基本工具，需确保工 具准确无误。
确定线段
在图纸上确定需要作垂 直平分线的线段AB。
作法步骤
首先以线段AB的两个端 点为圆心，以大于线段 AB长度的一半为半径画 弧，两弧交于两点C和D； 然后连接CD，直线CD 即为线段AB的垂直平分 线。
使用几何画板辅助构造
在四边形中应用举例
在平行四边形中
平行四边形的对角线互相平分，因此可以利用垂直平分线的性质来证明对角线 的性质。
在菱形中
菱形的对角线互相垂直且平分，垂直平分线可以应用于证明菱形的性质和判定。
拓展到多边形和圆中
在多边形中
对于任意多边形，可以通过连接多边形的顶点与对边的中点，构造出多条垂直平 分线。这些垂直平分线会相交于多边形的质心，质心具有一些重要的几何性质。

《线段的垂直平分线》PPT课件

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练习
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
答：∠CAE=50°.
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要 求写出作法）.
1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上, A
∴PA=PB
同理,PB=PC.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直
平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（ C ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
M A
E C
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几何语言: ∵点P在线段AB的垂直平分线上
M P
∴PA=PB
或
A
∵ MN⊥AB, AC=CB，点P在MN上
C
N
B
∴PA=PB
.
5
线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等.
逆 命 题
到线段的两端点距离相等的点在线 段的垂直平分线上.
.
6
到线段的两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
已知：如图， PA=PB
拓展练习：
C E
A
D
B
1.在△ABC中，∠ACB=90°， BD=4cm，BC的垂直平分线DE
交AB于D点,则CD=_4_c_m_
2、在△ABC,PM,QN分别垂直 平分AB,AC，则: 若BC=10cm则△APQ的周长 =__1
D E
B
C
E D B
A
.
3、在△ABC中， AB=AC，AB的中垂线 与AC所在的直线相交 所得的锐角为50°， 则∠B=_7_0_0_或__2.00
上的点到线段的两端点的距离相（第 2 题） 等)
∴AB+CD=AD+BC
3． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD ＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
证明：∵ BD＋AD＝BC
BD+CD=BC
∴AD=CD
（第 3 题）
∴点D在AC的垂直平分线上(
到线段两端点距离相等的点
在线段的垂直平分线上）
由此你能得到什么规律？
线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离相等。 A
C
B
.
33
N
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相
等。
M 已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C,
且AC=BC，点P在直线MN上.
求证： PA=PB
P
A
C
B
.
4
N
线段垂直平分线的性质定理：线
段垂直平分线上的点到线段的两端 点的距离相等.
.
1
学习目标
1、通过操作、验证、逻辑证明，理解并掌握 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
2、联系实际，运用线段垂直平分线的性质定 理及逆定理解决有关问题。
.
2
动手操作：作线段AB的垂直平分线MN，
垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； 测量PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
M P
C
13
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
二、逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等
到线段两端点距离相等的点在线 段的垂直平分线上
PA=PB
.
14
作业：
• 教材P99 2,3题 • 练习册
求证： 点P在线段AB的垂直平分线上
M
几何语言
P
P ∵PA=PB ∴P在线段AB的垂直平分线上
A
C
B
A
C
B
.
N
7
线段垂直平分线 上的点到线段两 端点的距离相等.
互逆定理
到线段的两端点距离相 等的点在线段的垂直平 分线上.
性质定理可以用来 证明两条线段相等 （或三角形是等腰 三角形）.
逆定理可以用来证明点 在直线上(或直线经过 某一点).
.
15
.
16
.
8
练习 1． 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求
作一点P，使PA＝PB．
提示：连结AB,
作AB的垂直平分 (第 1 题) 线，交直线L于P, 点P就是所求的点。
2． 如图，已知AE＝CE，BD⊥AC,垂足为点E。 求证：AB＋CD＝AD＋BC．
证明：∵ AE＝CE， BD⊥AC
∴BA=BC， DA=DC(线段垂直平分线