2013高考导航 数学 第八章第9课时

(2)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点 B(－3，2 3)的 双曲线方程为________．
【思路点拨】 (1)根据椭圆的焦点和离心率确定 a、b 的值．
(2)设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ，将点(－3,2 3)代入求 λ 的值．
【尝试解答】 (1)椭圆1x62 ＋y92＝1 的焦点坐标为 F1(－ 7，0)，F2( 7，0)， 离心率为 e＝ 47.由于双曲线ax22－by22＝1 与椭圆1x62 ＋y92＝1 有相同的焦点，因此 a2＋b2＝7.
1
．(2011·湖
南
高
考
)
设双
曲线
x2 a2
－
y2 9
＝
1(a
＞
0)
的
渐
近线
方
程为
3x±2y＝0，则 a 的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 渐近线方程可化为 y＝±32x.
∵双曲线的焦点在 x 轴上，
∴a92＝(±32)2，解得 a＝±2.
由题意知 a＞0，∴a＝2.
【答案】 C
2．(2011·江西高考)若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝ ________.
从而sin
A－sin sin B
C＝|BC||A－C||AB|
＝56.
【答案】
(1)x22－1y42 ＝1(x≥ 2)
5 (2)6,
(1)(2011·山东高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋y92＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则 双曲线的方程为________．
A．a2＝123

2013年高考信息冲刺卷新课标名校导航（三）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则3(1)(2)i i i -++＝A ．1i +B ．1i --C ．13i +D ．13i --2．函数()||2f x x x x =-在()1,1-上是A ．增函数B ．减函数C ．没有单调性D ．单调性不确定3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于A ．63B ．31C ．15D ．74．连续掷两次骰子分别得到点数,m n ，则向量(,)a m n =与向量(1,1)b =- 的夹角2πθ>的概率是A ．12B ．13C ．712D ．5125．已知正弦曲线上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l的倾斜角的取值范围是A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[)0,π正视图侧视图C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6．如图，为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）A ．6πB ．184πC ．18π+D ．32π+7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是A B C D 8．21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，常数项为15，则n 等于A ．3B ．4C ．5D ．69．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12- 10．已知向量(1,2)m = ，(2,3)n =- ．若向量p 满足()p m + ∥n ，p ⊥m n + ，则p＝A ．77,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．77,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．77,39⎛⎫⎪⎝⎭D ．77,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 11．在△ABC 中，已知3cos 5A =，5sin 13B =，则sinC ＝ A ．6365 B ．3365- C ．6365或3365-D ．566312．0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点，若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则A ．12()0,()0f x f x <<B ．12()0,()0f x f x <>C ．12()0,()0f x f x ><D ．12()0,()0f x f x >>第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知实数,x y 满足250,1,0,230x y x y x y +-≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪+-≥⎩则目标函数y z x =的最大值为 ．14．设P 是椭圆2221(1)x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，则||PQ 的最大值为 ．15．设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ． 16．已知()f x 是以2为周期的偶函数．当[]0,1x ∈时，()f x x =，那么在区间[]1,3-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有四个根，则k 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足121321,,,,,n n a a a a a a a ---- 是以1为首项，13为公比的等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若23n n b na =，求{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，12PA AC AB ==，N 为AB 上一点，4AB AN =，,M S 分别为,PB BC 的中点．（1）证明：CM SN ⊥；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小． 19．（本小题满分12分）设蓝球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假设A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望． 20．（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，2(,0)a A c，A CM SN且122AF AF = ．（1）求椭圆的方程；（2）过1F ，2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于,,,D E M N 四点，求四边形DMEN 面积的最值．21．（本小题满分12分）定义域为R 的偶函数()f x ，当0x >时，()ln ()f x x ax a R =-∈，方程()0f x =在R 上恰有5个不同的实数解． （1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于,E D ，连接,EC CD ．（1）求证：直线AB 是O 的切线； （2）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知直线l 经过点(2,3)P ，倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之和． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()||(01)f x x a ax a =--<<． （1）解不等式()0f x <；（2）试判断()f x 是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由．2013年高考信息冲刺卷新课标名校导航（三）理科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．。

学案47 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内到两个定点F 1、F 2(F 1F 2＝2c >0)的距离的差的绝对值等于常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M ||MF 1－MF 2|＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当________时，P 点的轨迹是________； (2)当________时，P 点的轨迹是________； (3)当________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质为________．自我检测1．(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________.3．(2010·安徽改编)若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________．4．(2011·江西)若双曲线y 216－x 2m ＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.5．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求PF ＋P A的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．变式迁移1已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2010·安庆模拟)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝32，求∠F 1PF 2的大小．变式迁移3已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．方程思想例(14分)过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求AB ；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1.多角度审题(1)要求弦长AB 需要A 、B 两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB ；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A 、B 两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)，x 23－y 26＝1得5x 2＋6x －27＝0.[4分]∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝43·3625＋1085＝1635.[8分] (2)解直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32. ∴S △AOB ＝12AB ·d ＝12×1635×32＝1235.[10分](3)证明如图，由双曲线的定义得 AF 2－AF 1＝23， BF 1－BF 2＝23， ∴AF 2－AF 1＝BF 1－BF 2， 即AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1.[14分]【突破思维障碍】本题利用方程的思想，把过点A 的直线方程与双曲线方程联立，从而转化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求解，这种思想在解析几何中经常用到．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 的大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c ，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知M (－2,0)、N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹是________．2．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且PF 1∶PF 2＝1∶3，则△F 1PF 2的周长为________．3．(2011·苏州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为________．4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是________．5．(2010·辽宁改编)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．6．(2010·福建)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b ＝________.7．(2011·大纲全国)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则AF 2＝________.8．(2011·南通模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________．二、解答题(共42分)9．(14分)根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(14分)已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆于点M ，连结P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．11．(14分)(2010·四川)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．学案47 双曲线答案自主梳理1．双曲线焦点焦距 (1)a <c 双曲线 (2)a ＝c 两条射线 (3)a >c 3.等轴双曲线y ＝±x 2 自我检测 1．2解析渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2.由题意知a >0，∴a ＝2. 2．03．(62，0) 4．48解析因为a 2＝16，b 2＝m ，所以a ＝4，b ＝m ，c 2＝16＋m ，所以e ＝16＋m4＝2， 解得m ＝48.5．解设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知 PF ＝2a ＋PF 1＝4＋PF 1， ∴PF ＋P A ＝4＋PF 1＋P A .∴当满足PF 1＋P A 最小时，PF ＋P A 最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足PF 1＋P A 最小，易求得最小值为 AF 1＝5， 故所求最小值为9. 课堂活动区例1解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上， 所以F A ＋CA ＝2a ，FB ＋CB ＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴)． 所以F A ＋CA ＝FB ＋CB . 所以F A －FB ＝CB －CA ＝122＋92－122＋52＝2.所以F A －FB ＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．变式迁移1解设动圆M 的半径为r ，则由已知得，MC 1＝r ＋2， MC 2＝r －2， ∴MC 1－MC 2＝22， 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴C 1C 2＝8.∴22<C 1C 2.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以 C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1 (x ≥2)．例2解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x 2a 2－y 2b 2＝λ (参数λ≠0)中，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2<y p ＝3，∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x24a2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5.∴双曲线方程为y 25－x 220＝1. 方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x24－y 2＝λ (λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.变式迁移2y 24－x212＝1解析由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，且c＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1.例3解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解(1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)|PF 1－PF 2|＝6，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2－F 1F 222PF 1·PF 2＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.变式迁移3解 (1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为 y －22x ＝0，y ＋22x ＝0. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)， λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2. ∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 课后练习区1．双曲线右支2．22 3． 2 解析如图所示，在Rt △OPF 中， OM ⊥PF 且M 为PF 的中点， 所以△OMF 也是等腰直角三角形， 所以有OF ＝2OM ，即c ＝2a .所以e ＝ca＝ 2.4．内切5．5＋12解析不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则一个焦点为F (c,0)，虚轴的一个端点B (0，b )，一条渐近线斜率为b a ，直线FB 的斜率为－bc，∴b a ·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，∴b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(e ＝1－52舍去)． 6．1解析双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b2x (b >0)，∴b ＝1.7．6解析在双曲线x 29－y 227＝1中，a 2＝9，b 2＝27，c 2＝a 2＋b 2＝36，∴F 1(－6,0)，F 2(6,0)． 如图，∵M (2,0)， ∴F 1M ＝6＋2＝8， F 2M ＝6－2＝4.在△F 1AF 2中，AM 为∠F 1AF 2的平分线， ∴AF 1AF 2＝F 1M MF 2，∴AF 1F 1M ＝AF 2MF 2，即AF 18＝AF 24， ∴AF 1＝2AF 2.又|AF 1－AF 2|＝2a ＝6，∴AF 2＝6. 8．x 24－y 212＝1解析可知双曲线仅与x 轴有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0，即x 2－6x ＋8＝0， ∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴x 24－y 212＝1.9．解 (1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上，(2分)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，(－3)2a 2－(23)2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4.(4分)所以双曲线的方程为49x 2－y 24＝1.(7分)方法二设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ (λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y24＝1.(7分) (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.(14分)10．解(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意，双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(5分)(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，AB ＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)． 将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.(7分)解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)． ∴y 0＝332.由此可得M (－52，332)， ∴P (－10,33)．(10分)当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)， 即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1， 得2x 2＋15x ＋25＝0.所以x ＝－52或－5(舍去)． ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×10×332×12＝15 3. (14分)11．解(1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪x －12， 化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(5分) (2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y ， 得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.(7分)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1， 所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)． 因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12(x 1＋1)， FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 12(x 1＋1).同理可得FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 22(x 2＋1).因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1) ＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1＝0.(11分) ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)．AB 的方程为 y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32.同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32. 因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋32×⎝⎛⎭⎫－32＝0.(13分) 综上，FM →·FN →＝0，故FM ⊥FN .故以线段MN 为直径的圆过点F .(14分)。

2013高考数学教案和学案(有答案)--第9章--学案47D探究点一双曲线的定义及应用例1已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．探究点二 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2010·安庆模拟)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________． 探究点三 双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝32，求∠F 1PF 2的大小．变式迁移3 已知双曲线C ：x 22－y 2＝1. (1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ→，求λ的取值范围．方程思想例 (14分)过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求AB ；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1. 多角度审题 (1)要求弦长AB 需要A 、B 两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB ；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A 、B 两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解 由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33(x －3)，x 23－y 26＝1得5x 2＋6x －27＝0.[4分] ∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝43·3625＋1085＝1635.[8分](2)解 直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32. ∴S △AOB ＝12AB ·d ＝12×1635×32＝1235.[10分](3)证明 如图，由双曲线的定义得AF 2－AF 1＝23，BF 1－BF 2＝23，∴AF 2－AF 1＝BF 1－BF 2，即AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1.[14分]【突破思维障碍】本题利用方程的思想，把过点A 的直线方程与双曲线方程联立，从而转化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求解，这种思想在解析几何中经常用到．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 的大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c ，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知M (－2,0)、N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹是________．2．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且PF 1∶PF 2＝1∶3，则△F 1PF 2的周长为________．3．(2011·苏州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为________．4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是________．5．(2010·辽宁改编)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．6．(2010·福建)若双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b ＝________.7．(2011·大纲全国)已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则AF 2＝________.8．(2011·南通模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________．二、解答题(共42分)9．(14分)根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(14分)已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若BM→＝MP→，求四边形ANBM的面积．11．(14分)(2010·四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案47 双曲线答案自主梳理1．双曲线 焦点 焦距 (1)a <c 双曲线 (2)a ＝c 两条射线 (3)a >c 3.等轴双曲线 y ＝±x 2自我检测 1．2解析 渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2.由题意知a >0，∴a ＝2.2．0 3．(62，0)4．48解析 因为a 2＝16，b 2＝m ，所以a ＝4，b＝m，c2＝16＋m，所以e＝16＋m4＝2，解得m＝48.5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知PF＝2a＋PF1＝4＋PF1，∴PF＋PA＝4＋PF1＋PA.∴当满足PF1＋PA最小时，PF＋PA最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足PF1＋PA最小，易求得最小值为AF1＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，所以FA＋CA＝2a，FB＋CB＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)．所以FA＋CA＝FB＋CB.所以FA－FB＝CB－CA＝122＋92－122＋52＝2.所以FA－FB＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1 (y≤－1)．变式迁移1解设动圆M的半径为r，则由已知得，MC1＝r＋2，MC2＝r－2，∴MC1－MC2＝22，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴C1C2＝8.∴22<C1C2.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1 (x≥2)．例2解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ(参数λ≠0)中，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2<y p＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ (λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.变式迁移2 y 24－x 212＝1解析 由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，且c ＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1.例3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解 (1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)|PF 1－PF 2|＝6，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2－F 1F 222PF 1·PF 2＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.变式迁移3 解 (1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)，λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2.∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 课后练习区1．双曲线右支 2．22 3． 2 解析如图所示，在Rt △OPF 中， OM ⊥PF 且M 为PF 的中点，所以△OMF 也是等腰直角三角形， 所以有OF ＝2OM ，即c ＝2a .所以e ＝ca ＝ 2. 4．内切5．5＋12解析 不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，则一个焦点为F (c,0)，虚轴的一个端点B (0，b )，一条渐近线斜率为b a ，直线FB 的斜率为－b c ，∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b c ＝－1，∴b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(e ＝1－52舍去)．6．1解析 双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b2＝0， 即y ＝±b2x (b >0)，∴b ＝1.7．6解析 在双曲线x 29－y 227＝1中，a 2＝9，b 2＝27，c 2＝a 2＋b 2＝36，∴F 1(－6,0)，F 2(6,0)． 如图，∵M (2,0)， ∴F 1M ＝6＋2＝8， F 2M ＝6－2＝4.在△F 1AF 2中，AM 为∠F 1AF 2的平分线， ∴AF 1AF 2＝F 1M MF 2，∴AF 1F 1M ＝AF 2MF 2，即AF 18＝AF 24， ∴AF 1＝2AF 2.又|AF 1－AF 2|＝2a ＝6，∴AF 2＝6.8．x 24－y 212＝1解析 可知双曲线仅与x 轴有交点， ∴⎩⎨⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0，即x 2－6x ＋8＝0，∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴x 24－y 212＝1.9．解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上，(2分)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，(－3)2a 2－(23)2b 2＝1， 解得a 2＝94，b 2＝4.(4分)所以双曲线的方程为49x 2－y 24＝1.(7分)方法二 设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y 24＝1.(7分) (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.(14分)10．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意，双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1且满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎨⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1， 双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(5分)(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，AB ＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM→＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)．将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 29＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.(7分)解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332.由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)．(10分) 当P 为(－10,33)时，直线PA 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.所以x ＝－52或－5(舍去)．∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴．∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×10×332×12＝15 3.(14分)11．解 (1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12， 化简得x 2－y23＝1(y ≠0)．(5分)(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y23＝1联立消去y ，得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0. 由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.(7分)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2⎣⎡⎦⎤x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)．因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12(x 1＋1)，FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 12(x 1＋1).同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，3y 22(x 2＋1). 因此FM →·FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k2k 2－3＋1＝0.(11分) ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)．AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，32.同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－32. 因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＝0.(13分)综上，FM →·FN→＝0，故FM ⊥FN . 故以线段MN 为直径的圆过点F .(14分)。