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等差数列前n项和性质

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2.3.2 等差数列的前n项和的性质
【学习目标】
1. 熟练掌握等差数列前n项和公式，等差数列前n项和的性质以及其与二次函数的关系；
2. 在学习等差数列前n项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n项和
公式求其通项公式.
【自学园地】
1. 等差数列的前n项和的性质：
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

(1)若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.

（3）232,,,nnnnnSSSSS仍成等差，且公差为n2d.
（4）若项数为2n，则
①S奇与S偶中项数相等，且SSnd偶奇；

②121122()2()2nnnnnaaSanSaaa奇偶．
○321()nnnSnaa
若项数为21n，则
①S奇S偶2121(1)()(1)nnnndaanda；

②nSna奇，(1)nSna偶；
③21(21)nnSna；

④121222()211()2nnnaaSnnSnaa奇偶．
（5）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为anbn＝S2n－1T2n－1.
(6)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，
{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.

2.na为等差数列其前n项和2nSAnBn．
3.若数列na为等差数列{}nSn成等差．
4.等差数列的单调性的应用：
（1）当10,0ad时，nS有最大值，n是不等式100nnaa的正整数解时取得；

（2）当10,0ad时，nS有最大值，n是不等式100nnaa的正整数解时取得．
（II）当数列中有某项值为0时，n应有两解．110mmmSSa．
5.知三求二问题：等差数列数列前n项和公式中各含有4个元素：1,,,nnSnaa与
1,,,n
Snad
，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n项和公式，已知其

中3个量即可求出另外2个量．

【典例精析】
1.（1）已知等差数列na，14812152aaaaa，求15S．

（2）等差数列na前m项和为30，且前2m项和为100，求其前3m项和．
（3） 有一个项数为21n的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比．
（4）有一个项数为21n的等差数列中,若所有的奇数项的和是165，所有偶数项的和是150，
则项数n等于

（5）等差数列na前12项之和为354，其中奇数项之和与偶数项之和的比为27：32，求
公差d．

（6）等差数列na前n项和为nS，,,(,)nmSmSnmnNmn且，求mnS
2.等差数列na和nb的前n项和分别为,nnST之比为nnST3123nn，求1515ab及nnab
3.等差数列na中，nS为前n项和，113,a311SS，问此数列前多少项的和最大？

4．在等差数列na中，3121312,0,0aSS．
（1）求公差d的范围；
（2）问12312,,,,SSSS中哪个值最大？

5．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于 ( )
6.等差数列na中，3621,24SS，求数列na的前n项和为nT．
7. 已知正项数列{}na的前n项和为nS，且1(1)nann，求nS
8.已知正项数列{}na的前n项和为nS，且1(2)nann，求nS
【巩固练习】
1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5

2.设nS是等差数列{}na的前n项和，若3613SS，则612SS（ ）

A. 310 B. 13 C. 18 D. 19
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等 ( )
A．8 B．10 C．12 D.14
4．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；

p3：数列{ann}是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为 ( )
A．p1，p2 B.p3，p4 C．p2，p3 D.p1，p4

5．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝992，则a12的值是 ( )
A．15 B.30 C．31 D.64
6．在递减等差数列{an}中，若a1＋a5＝0，则Sn取最大值时n等于 ( )
A．2 B.3 C．4 D.2或3

7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－12a8的值为 ( )
A．4 B.6 C．8 D.10
8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和是15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9． 已知等差数列{}na中，59aa，公差d>0,则使得前n项和nS取得最小值时的正整数
n的值是( )
A.4和5 B.5和6 C.6和7 D.7和8

10． 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式； (2)求数列{1a2n－1a2n＋1}的前n项和．

11.等差数列{}na中，3621,24,SS求数列{}na的前n项和nT。
【课后作业】
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝ ( )

A．－6 B.－4 C．－2 D.2

2．在等差数列{an}中，a9＝12a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝ ( )
A．24 B.48 C．66 D.132
3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32
C．33 D．34
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．35
C．49 D．63
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1的值等于________．

6．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，
则d的取值范围为________．

7．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
(1)求证：1Sn是等差数列；
(2)求an的表达式．

8.等差数列{}na中，110,a且21325(22)aaa，求
（1）na；
（2）若0d，求123nnTaaaa

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等差数列前n项和Sn的性质应用

等差数列前n项和Sn的性质应用



nn 1
2
d,
Sn n

d 2
n


a1

d 2
.


Sn n
为等差数列.

又Q12,20成,2等8 差数列，

S12 12
,
S20 20
,
S28 28
成等差数列，
2 S20 S12 S28 ， 20 12 28
即2 460 84 S28 ,
(2)前20项中，奇数项和
S奇
=
1 3

75=25，
偶数项和
S偶=
2 3
75=50，
又S偶 S奇=10d,
d 50 25 2.5 10
小结
等差数列前n项和Sn的性质应用
等差数列an 中
性质1.
sm，s2m sm，s3仍m 为 s等2m差，K数列，
公差为 m2d.
性质2.
例3 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数
项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
设数列共有2n 项1 ，则 S奇 a1 a3 a5 L a2n1, S偶 a2 a4 a6 L a2n ,
S奇 S偶
a1 a3 a2 a5 a4 L a2n1 a2n
a21 a22 a23 a24 a25
S5 5 1 S10 S5Байду номын сангаас S5
15 4 20 15 15
25
例2
等差数列an前 项n和为
求 s28.
,若sn
S12 84，S20 =460，
等差数列前n项和的性质及应用

等差数列前n项和的性质及应用

答案：1130 (2)225
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
方法2：∵项数为奇数， ∴SS奇 偶＝项 项数 数＋ －11＝22nn＋ ＋11＋ －11＝2n2＋n 2＝n＋n 1，选B.
答案：12 (2)B
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第二章 2.3 第2课时
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答案：A
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第二章 2.3 第2课时
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解析：设公差为d， 则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2， 所以Sn＝－11n＋nn－2 1×2＝n2－12n＝(n－6)2－36. 所以当n＝6时，Sn取最小值．
答案：A
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2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的应 用．
3．掌握等差数列及前n项和最值问题.
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第二章 2.3 第2课时
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课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
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第二章 2.3 第2课时
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随堂 知 能 训 练
知 识 反 馈 ········································· 技 能 检 验
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第二章 2.3 第2课时
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解析：S21＝21a12＋a21＝21a112＋a11＝21a11＝252.
答案：10
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)

等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)

等差数列前n项和公式的几个性质和与应用性质1：设等差数列{}n a的前n项和公式和为n S，公差为d，*m∈n.N则①()dm n m S n S m N -=-21②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈,若k n m ..成等差数列，则k S n S m S knm,,成等差数列性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈,若n m q p +=+，则qp S S n m S S qp n m --=--性质4：设等差数列{}na 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S ②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n 项和公式。

解1：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：nn S n 30433072+-=解2：求1a ,d.例2：设n S 是等差数列{}n a 的前n项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}na 的通项公式n a 。

解1：由性质1和题意知，()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=+=-=-d d S S S S d d S S 2145214523421342134453434)3()2()1( 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=d S dS d S 431541144113543又3453425S S S ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+d d d 4114114312，∴5120-==d d 或当d=0时，33=S ，∴*,1N n a n ∈= 当512-=d 时，52435124113=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S又da S 223313⨯+=，即524512331=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a ，∴41=a故()*,512153251214N n n n a n ∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=例3：一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。

(完整版)等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系总结

(完整版)等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系总结

(完整版)等差数列的前n项和与首项、末
项之间的关系总结
一、定义：
等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。

它的一般
形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, ...，其中a₁为首项，d为公差。

二、前n项和的计算：
等差数列的前n项和可以通过以下公式求得：
Sn = (n/2)(a₁ + an)
其中，Sn表示前n项和，a₁为首项，an为末项（第n项）。

三、首项、末项与前n项和的关系：
1. 首项和末项的关系：
首项a₁和末项an之间的关系可以表示为：
an = a₁ + (n-1)d
其中，d为公差。

2. 前n项和与首项、末项之间的关系：
根据前n项和的计算公式，可以得出以下关系：
Sn = (n/2)(a₁ + a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + (n-1)d)
= (n/2)(2a₁ + nd - d)
= n(a₁ + (n-1)d)/2
四、应用示例：
假设有等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，其中首项a₁=2，公差d=3。

计算该数列前n项和的步骤如下：
1. 根据首项和公差，确定该数列的末项计算公式：an = 2 + (n-
1)3。

2. 根据前n项和的计算公式，将首项a₁、末项an代入计算：Sn = n(2 + (n-1)3)/2。

以上就是对等差数列的前n项和与首项、末项之间的关系进行总结的内容。

注意：本文档的内容仅供参考，不涉及法律问题。