苏教版高中数学选修2212导数的运算同步测试题2份

3.1 导数的概念3.2 导数的运算（苏教版选修1-1）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数4532)(23+-+=x x x x f 的导数=')(x f ，=-')3(f .2.已知函数f (x )=x sin x +cos x ，则f ()=.3.已知曲线到点的平均变化率为.4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2－5,则t =2时,汽车的瞬时速度是.5.函数的导数为.6.与直线2x －6y+1=0垂直，且与曲线相切的直线方程是.7.对于函数()f x ，有,1)1(,4)(3-=='f x x f 则此函数的解析式为 . 8.过原点作曲线y =的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.9．曲线y =+11在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是. 10.设f (x )=－2x －4ln x ，则f ′(x )> 0的解集为.二、解答题（每小题10分，共50分）11.利用导数的定义求函数y =的导数.12.求下列函数的导数. (1)；(2). .13.如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．14.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．求函数y=f(x)的解析式.15.已知曲线=与在0x x 处的切线互相垂直，求0x 的值.3.1导数的概念3.2 导数的运算答题纸（苏教版选修1-1）得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9．10． 二、解答题 11.12.13.14.15.3.1 导数的概念3.2 导数的运算参考答案（苏教版选修1-1）一、填空题 1.2665x x +-312.0解析：∵f ′(x )=sin x +x cos x －sin x =x cos x ，∴f ′()＝0.3.0.9 解析：曲线上点A 到点B 的平均变化率为=0.9.4.4 解析：汽车在t =2时的瞬时速度为s (t )在t =2处的导数,将t =2代入s ′(t )=6-10t 即可.5.解析：6.3x+y+2=0解析：由题意得由切线与直线垂直可知，切线斜率为，解得=－1,，故所求切线方程为，即7.4()2f x x =-解析：由34)(x x f ='，可设f (x )=+c ,又f (1)=-1,所以f (1)=1+c =-1，解得c =-2，所以4()2f x x =-.8.(1,e ) e 解析：设切点坐标为(,).∵y ′=，∴切线的斜率k =.又切线过原点，∴k ==，即=，可得＝1，∴切点的坐标为(1,e )，切线的斜率为e .9.9 解析：∵y =+11,∴y ′=3，∴y ′=3，∴曲线y =+11在点P （1,12）处的切线方程为y -12=3（x -1）.令x =0，得y =9.10.解析：由题意知x >0，且f ′(x )=2x －2－.由f ′(x )=＞0（x ＞0），得－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2.故f ′(x )>0的解集为二、解答题11.解：∵Δy=－=＝，∴=－，∴－=－，即y′=－.12.解：(1)因为，所以.(2)因为，所以. 13.解： 切线与直线34+=xy平行，∴切线的斜率为4，又∵切线在点x 处的斜率为，∴1±=x.∴01,8,xy=⎧⎨=-⎩或01,12.xy=-⎧⎨=-⎩∴切点为（1，-8）或（-1，-12）.∴切线方程为)1(48-=+xy或)1(412+=+xy，即124-=xy或84-=xy.14.解：由f(x)的图象经过点P（0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cxbxxxf.23)(2cbxxxf++='由在M(-1,f(-1))处的切线方程是076=+-yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---fff即{{326,23,12 1.0,3.b c b cb c b cb c-+=-=-∴-+-+=-===-即解得故所求的解析式是.233)(23+--=xxxxf15.解：00'''2'210202,|2;3,|3x x x xy x k y x y x k y x========.331200361,61,k k x x=-=-=.。

[课下梯度提能]一、基本能力达标1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③(e x )′＝e x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝x ；⑤(cos x )′＝－sin x . A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C (3x )′＝3x ln 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x (ln x )2，正确的为②③⑤，共3个．故选C.2．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：选C f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33. 3. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C.π4D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1， ∴切线的倾斜角α满足tan α＝1， ∵0≤α<π，∴α＝π4.4.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1解析：选D 由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1，故选D.5．若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ， ∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)． 代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.6．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )，由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，∴y ′|x ＝m ＝1m ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程y －n ＝1m (x －m )．又∵切线过点(－e ，－1)，∴n ＋1＝1m (m ＋e)． 又n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. ∴点A 的坐标为(e,1)． 答案：(e,1)7．函数f (x )＝mx 2m ＋n 的导数为f ′(x )＝4x 3，则m ＋n ＝________. 解析：f ′(x )＝m ·(2m ＋n )x 2m ＋n －1.由题意知⎩⎨⎧m (2m ＋n )＝4，2m ＋n －1＝3.解得m ＝1，n ＝2.故m ＋n ＝3. 答案：38．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则满足f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－1 3.答案：1或－1 39．求下列函数的导数．(1)y＝lg 2；(2)y＝2x；(3)y＝x2x；(4)y＝2cos2x2－1.解：(1)y′＝(lg 2)′＝0.(2)y′＝(2x)′＝2x ln 2.(3)y′＝(x 32)′＝32x12.(4)∵y＝2cos2x2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.10．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解：∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则当x＝x0时，y′＝2x0.又∵PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M⎝⎛⎭⎪⎫12，14，∴所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.二、综合能力提升1．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1·x2·…·x n的值为()A. 1n B.1n＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B. 2．若曲线y ＝a ln x (a ≠0)与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则st ＝________.解析：曲线y ＝a ln x 的导数为y ′＝a x ，在P (s ，t )处的斜率为k ＝as ，曲线y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在P (s ，t )处的斜率为k ＝se .由曲线y ＝a ln x (a ≠0)与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，可得a s ＝s e ，并且t ＝s 22e ＝a ln s ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a s ＝s e ，s 22e ＝a ln s ，解得ln s ＝12，所以s 2＝e.则a ＝1，所以st ＝e ln e＝2 e.答案：2 e3．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0，∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.4．已知曲线f (x )＝e x ，试在曲线上求点P ，使其到直线y ＝x 的距离最短，并求其最短距离．解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e x)′＝e x，∴e x0＝1，得x0＝0，因此y0＝1.∴切点P(0,1)．由点到直线的距离公式，得d＝|0－1|12＋(－1)2＝22.∴点P为(0,1)，且点P到直线y＝x的最小距离为2 2.由Ruize收集整理。

1.2.3《简单复合函数的导数》同步检测一、基础过关1．下列函数是复合函数的是________．(填序号)①y ＝－x 3－1x ＋1 ②y ＝cos(x ＋π4) ③y ＝1ln x④y ＝(2x ＋3)4 2．函数y ＝1(3x －1)2的导数y ′＝________. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数y ′＝________.4．函数y ＝(2 011－8x )3的导数y ′＝________.5．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为________． 6．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．二、能力提升7．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________8．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 9．设曲线y ＝e 1－2x 与x ＝1的交点为P ，则过P 点的切线方程为____________．10．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．11．(1)设函数f (x )＝e x －e －x ，证明：f (x )的导数f ′(x )≥2；(2)设函数f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．三、探究与拓展12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715 s 时的导数，并解释它的实际意义．答案1．②③④2．－6(3x －1)33．2x cos 2x －2x 2sin 2x4．－24(2 011－8x )25．－26．17．28．e 29．2x ＋e y －3＝010．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.11．(1)证明 f ′(x )＝(e x －e －x )′＝e x ＋e －x ，因为e x >0，e －x >0，所以e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即e 2x ＝1，x ＝0时，等号成立，所以f ′(x )≥2.(2)解 因为f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1， 所以由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1， 即(x －3)2(x －5)(x －1)>0，所以x >5或x <1.又两个函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0x －1>0， 即x >5，所以不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．12．解 函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－12x －12，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.。

1.5.1 曲边梯形的面积明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．3．求曲边梯形面积的步骤：①分割，②以直代曲，③作和，④逼近．4．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.[情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？为此，我们需要学习新的数学知识——定积分．探究点一求曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答 (如下图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．S ＝∑i ＝1nΔS i ≈i ＝1n (i －1n)2·Δx ＝i ＝1n (i －1n )2·1n(i ＝1,2，…，n) ＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n＝1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝13(1－1n )(1－12n)． 所以，当n →＋∞时，13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n →13.求曲边梯形的面积可以通过分割、以直代曲、作和、逼近四个步骤完成． 思考4 在“以直代曲”中，如果认为函数f(x)＝x 2在区间[i －1n ，i n](i ＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f(i n)，用这种方法能求出S。