3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程
●三维目标 1．知识与技能
(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件． (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．
(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．
1．利用点斜式解答如下问题：
(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；
(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y －2＝3
2(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．
2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y
6＝1表示吗？
【提示】 能．
直线方程的两点式和截距式
若点12112212的中点，则
⎩⎨⎧
x ＝x 1＋x 22
，
y ＝y 1
＋y 2
2.
我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1
，直线的截距式x a ＋y b ＝1，并且掌握了它们的适用条件．
1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？ 【提示】 能．
2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 【提示】 一定． 直线的一般式方程
(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－A
B ，在y 轴上的截距是－C
B .当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.
方程．
【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程． 【自主解答】 由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －(－1)0－(－1)＝x －3
－1－3
，即x ＋4y ＋1＝0.
同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －1
3－1，即2x ＋y －5＝0.
直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1
－1－1
，即3x －2y ＋3＝0.
1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．
2．利用两点式求直线方程的前提是x 1≠x 2，y 1≠y 2，切忌不注意坐标间的关系盲目套用公式．
在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程． 【解】 设AB 边中点为D (x ，y )，
则⎩⎨⎧
x ＝－1＋32
＝1，
y ＝0＋(－1)2＝－1
2
，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.
l 的方程． 【思路探究】
思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解； 思路二：利用直线方程的点斜式求解．
【自主解答】 法一 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋y
a
＝1，
因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2
a ＝1，即a ＝1，
所以直线l 的方程为x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0. 综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.
法二 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．
令x ＝0，得y ＝－2－3k .令y ＝0，得x ＝2
k ＋3.
由题意－2－3k ＝2k ＋3，解得k ＝－1或k ＝－2
3
.
所以直线l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－2
3(x －3)，
即x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.
1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．
2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：
已知直线l 过点(1,1)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程． 【解】 由条件知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则
由条件知1－k ＝2(1－1
k
)，解得k ＝1或k ＝－2.故l 的方程为y ＝x 或y ＝－2x ＋3.
(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点； (6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1. 【思路探究】 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． 【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0. (5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)
2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0.
(6)由截距式方程得
x －3＋y
－1
＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.
直线方程的五种形式的比较：
