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高考数学二轮复习专题六第2讲随机变量及其分布

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1 第2讲 随机变量及其分布

一、选择题

1.已知箱子中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个.每次从该箱子中取1个球(有放回，每球取到的机会均等)，共取三次.设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝( )

A.16 B.13 C.23 D.1

解析 由题意知P(B|A)＝P（AB）P（A）＝13×13×1313×13＝13.

答案 B

2.(2015·邯郸模拟)某人射击一次击中目标的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )

A.54125 B.27125 C.81125 D.108125

解析 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是

P1＝C23·352·25，三次全部击中目标的概率是P2＝C33·353.

所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C23·352·25＋C33353＝81125.

答案 C

3.(2015·南昌模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于( )

A.85 B.65 C.45 D.25

解析 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝33＋m，满足二项分布，则有E(X)＝np＝5×33＋m＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5×35×1－35＝65.

答案 B

4.(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 2 解析 该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648.

答案 A

二、填空题

5.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.

解析 从10件产品中取4件，共C410种取法，取到1件次品的取法为C13C37种，由古典概型概率计算公式得P＝C13C37C410＝3×35210＝12.

答案 12

6.(2015·杭州模拟)有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.

解析 ξ的可能取值为0，1，3，P(ξ＝0)＝2×13×2×1＝26；

P(ξ＝1)＝33×2×1＝36；P(ξ＝3)＝13×2×1＝16.

E(ξ)＝0×26＋1×36＋3×16＝1.

答案 1

7.(2015·广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.

解析 依题可得E(X)＝np＝30，且D(X)＝np(1－p)＝20，解得p＝13.

答案 13

8.(2015·衡水中学模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向右或向左，并且向右移动的概率是13.质点P移动5次后，则该点只向右移动了一个单位的概率为________.

解析 质点P只能在左、右两个方向上移动，5次移动之后只向右移动了一个单位，所以有两次向左、三次向右移动，故所求事件的概率为P＝C351331－132＝40243.

答案 40243

三、解答题

9.(2015·唐山模拟)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数.东西南北四个主干道入口3 的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率.

(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

(2)设该城市一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求ξ的分布列及数学期望.

解 (1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A、B、C、D，

则P(A)＝1830＝35，P(B)＝1530＝12，P(C)＝930＝310，P(D)＝1530＝12，

设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则M＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，则P(M)＝25×12×310×12＋35×12×310×12＋35×12×710×12＋35×12×310×12＝45200＝940.

(2)ξ的可能取值为0，1，2，4，P(ξ＝0)＝14200＝7100，P(ξ＝1)＝55200＝1140，

P(ξ＝2)＝77200，P(ξ＝3)＝45200＝940，P(ξ＝4)＝9200.

∴ξ的分布列为：

ξ 0 1 2

3

4

P 7100 1140 77200 940 9200

E(ξ)＝0×14200＋1×55200＋2×77200＋3×45200＋4×9200＝380200＝1910.

10.(2015·豫西名校期末)某公司招聘员工，初试设置计算机、礼仪、专业技能、基本素质共四个科目的考试，要求专业技能、基本素质都要合格，且计算机、礼仪至少有一门合格，则能取得参加复试的资格.现有甲、乙、丙三个人报名参加初试，每一个人对这四门考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立.

科目 基本素质 专业技能 计算机 礼仪

合格的概率 23 34 13 14

(1)求乙取得参加复试的资格的概率；

(2)记ξ表示三个人中取得复试的资格的人数，求ξ的分布列及期望E(ξ)、方差D(ξ).

解 (1)记“乙取得参加复试的资格”为事件A，则：

P(A)＝23×341－23×34＝14，故乙取得参加复试的资格的概率是14.

(2)据题意，三个人中取得复试的资格的人数ξ的取值分别为0，1，2，3，由题意可知4 ξ～B3，14，P(ξ＝0)＝C03343＝2764，

P(ξ＝1)＝C13141342＝2764，P(ξ＝2)＝C23142341＝964，P(ξ＝3)＝C33143＝164，

ξ的分布列为：

ξ 0 1 2

3

P 2764 2764 964 164

∴E(ξ)＝3×14＝34，D(ξ)＝3×14×34＝916.

11.(2015·青岛期末)如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)频率分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人.

(1)求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；

(2)现欲将90～95分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)?

(3)在(2)的结论下，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的3名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望.

解 (1)80～90分数段的毕业生的频率为p1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数为N＝210.35＝60，

90～95分数段内人数的频率为

p2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，

所以90～95分数段内的人数n＝60×0.1＝6.

(2)90～95分数段内共6名毕业生，设其中男生x名，女生为6－x名，设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，则P(A)＝1－C26－xC26＝35，

解得x＝2或9(舍去)，

即6名毕业生中有男生2人，女生4人.

(3)ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的3名学生中男生的人数，

所以ξ的取值可以为0，1，2，

当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝C34C36＝15， 5 当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝C12C24C36＝35，

当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝C22C14C36＝15，

所以ξ的分布列为

ξ 0 1

2

P 15 35 15

所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.

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高中数学统计与概率知识点归纳

高中数学统计与概率知识点归纳

高中数学统计与概率知识点归纳

高中数学中的统计与概率是两个非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。本文将对这些知识点进行归纳和总结，以便读者更好地理解和掌握。

首先，让我们来看看统计。统计是研究如何从数据中获取有用信息的学科。在高中数学中，统计的主要内容包括以下三个方面：

1、概率分布：这是统计的基础知识，它描述了各种可能结果出现的概率。例如，投掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率为0.5。

2、参数估计：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的方法。例如，通过样本的平均值来估计总体的平均值。

3、假设检验：假设检验是用来检验一个假设是否成立的统计学方法。例如，我们想要检验某种新药的疗效是否优于安慰剂，可以通过比较实验组和对照组的数据来进行假设检验。

接下来，让我们来看看概率。概率是描述事件发生可能性大小的数学工具。在高中数学中，概率的主要内容包括以下三个方面：

1、事件的关系和运算：事件的关系包括互斥、独立、不独立等，事件之间的运算包括并、交、差等。 2、概率的性质和计算：概率的性质包括加法定理、乘法定理、全概率公式等，概率的计算方法包括直接计算、利用公式计算等。

3、概率分布：概率分布描述了随机变量的取值概率，例如伯努利分布、二项分布、正态分布等。

在应用方面，统计与概率的知识点可以应用于很多领域，例如金融、医学、工业、农业等。例如，在金融领域，可以通过统计方法来分析股票数据的规律和趋势；在医学领域，可以通过概率方法来预测疾病的发病率和死亡率。

总之，统计与概率是高中数学中非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。通过对这些知识点的归纳和总结，我们可以更好地理解和掌握它们，从而更好地应用于实际问题的解决中。

高中数学 概率与统计知识点总结

高中数学：概率与统计知识点总结

一、前言

在现实生活中，我们经常需要处理各种与概率和统计相关的问题。例如，在掷骰子时计算点数、在班级中选取学生、或者在评估天气预报的准确性。这些问题都涉及到概率和统计的理论。为了更好地理解和解决这类问题，我们需要详细学习这些理论。本文将总结高中数学中的概率与统计知识点，帮助大家深化理解并掌握这些理论。

高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案

高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案

金戈铁骑 —————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————

第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法

[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B级要求.

2.考查n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B级要求．

热点一 计数原理与二项式定理

例1 (2018·苏州调研)已知fn(x)＝x2＋3ax3n，n∈N*.

(1)当a＝1时，求f5(x)展开式中的常数项；

(2)若二项式fn(x)的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．

解 二项式x2＋3ax3n的展开式通项为

Tr＋1＝Crn()x2n－r3ax3r＝Crn(3a)rx2n－5r (r＝0,1,2，…，n)，

(1)当n＝5，a＝1时，f(x)的展开式的常数项为T3＝9C25＝90.

(2)令2n－5r＝7，则r＝2n－75∈N，所以n的最小值为6，

当n＝6时，二项式x2＋3ax36的展开式通项为

Tr＋1＝Cr6(3a)rx12－5r (r＝0,1,2，…，6)，

则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为

C06＋C16(3a)＋C26(3a)2＝135a2＋18a＋1＝10，

即15a2＋2a－1＝0，解得a＝－13或15.

思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：

(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别．

(2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．

(3)关于x的二项式(a＋bx)n(a，b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数，且当x给予金戈铁骑 某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．

2020届高考数学二轮复习专项二专题六专题强化训练Word版含解析

2020届高考数学二轮复习专项二专题六专题强化训练Word版含解析

1

[A组 夯基保分专练]

一、选择题

1．(2018·惠州第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，若P(ξa＋1)，则实数a等于( )

A．7 B．6

C．5 D．4

解析：选B.由随机变量ξ服从正态分布N(4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x＝4，又P(ξa＋1)，所以x＝a－5与x＝a＋1关于直线x＝4对称，所以a－5＋a＋1＝8，即a＝6.故选B.

2．(2018·武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为( )

A.310 B.25

C.320 D.14

解析：选C.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C23种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为C23C36＝320.故选C.

3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝( )

A.29 B.13

C.49 D.59

解析：选A.小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A44＝4×3×2×1＝24种，

所以P(A|B)＝24108＝29.

4．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1a4>a5特征的五位数的概率为( )

A.110 B.120

2 C.124 D.310

解析：选B.1，2，3，4，5可组成A55＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C24C22＝6个，故出现a1a4>a5特征的五位数的概率为6120＝120.

专题六 第二讲 战考场

专题六 第二讲 战考场

一、选择题

1．(2011·合肥模拟)某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，当2道题都是理科题时获奖，则获奖的概率为( )

A.925 B.625

C.310 D.12

解析：从5道题中抽取2道有A25种抽法，都是理科题有A23种抽法，故所求概率为A23A25＝310.

答案：C

2．[理](2011·东北三校)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为( )

A.148 B.124

C.112 D.16

解析：依题意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a>0，b>0，

∴3a＋2b≥26ab，即26ab≤1，∴ab≤124.

答案：B

[文] (2011·郑州质量检测)一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )

A.215 B.29

C.15 D.13

解析：依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有C23·C12·C12·A22＝24种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有C12·C12＝4种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于96720＝215.

答案：A

3．[理](2011·广州模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为( )

A.73 B.53

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