计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

牛顿插值法

一:实验目的：

1.matlab中多项式的表示及多项式运算

2.用matlab实现牛顿插值法

二:实验代码

(一)function [p]=Newton_Ployfit(X,Y)

if size(X) ~= size(Y)

error;

end

format long g

r=size(X);n=r(2);

M=ones(n,n);

M(:,1)=Y';

for i=2:n

for j=i:n

M(j,i)=(M(j,i-1)-M(j-1,i-1))/(X(j)-X(j-i+1));

end

end

M

p0=[zeros(1,n-1) M(1,1)];p=p0;

for i=1:n-1

p1=M(i+1,i+1).*poly(X(1:i));

p0=[zeros(1,n-i-1) p1];

p=p+p0;

end

(二)x0=linspace(0,2*pi,10);

y0=sin(x0);

p=Newton_Ployfit(x0,y0);

x=0:0.2:2*pi;

y1=sin(x);

y2=polyval(p,x);

plot(x,y1,'co',x,y2,'r');

三：流程图

N

Y

N

Y

Y N

N

Y 输入n

i=0

i=i+1 分别输入n+1个输入各节点

第五章 函数近似计算(插值问题)的插值方法

5.3 Newton插值/均值与差分

lagrange插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。其缺点是，当节点改变时，公式需要重建，计算量大；如果还要根据精度要求，选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出 )(1xL, )(2xL 等，并做误差试算，才可以做到，这当然是不理想的。

为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是Newton(牛顿)插值公式。

Newton插值公式通过均差和差分的记号来表达。

1． 均差的概念及其性质

定义 5.3.1 设函数f在互异节点,,10xx上的值为 )(0xf, )(1xf,等，定义

(1) f在jixx,上的1阶均差为

jijijixxxfxfxxf)()(],[

(2) f在kjixxx,,上的2阶均差为

kikjjikjixxxxfxxfxxxf],[],[],,[

（3）递推地，f在kxxx,,,10上的k阶均差为

kkkkxxxxxfxxxfxxxf02111010],,,[],,,[],,,[

同时规定f在ix上的零阶均差为 )(][]ixfxf

性质1 k阶均差可以表示成1k个函数值的线性组合，即

kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf011010)())(()()(],,,[(5.3.5)

或记为 kjjkjkxxfxxxf0110)(')(],,,[ （5.3.5b）

证明：用数学归纳法。当1k时由均差定义有

011100101010)()()()(],[xxxfxxxfxxxfxfxxf

故(5.3.5)式成立。现假设1mk时(5.3.5)已成立，对mk由均差定义及归纳假设有 mmmmxxxxxfxxxfxxxf02111010],,,[],,,[],,,[

牛顿插值法公式

牛顿插值法公式，这可真是个有趣又实用的数学工具！

还记得我当年读书的时候，有一次参加数学竞赛的集训。那时候，我们一群对数学充满热情的小伙伴天天聚在一起钻研各种难题。有一天，老师就给我们讲到了牛顿插值法公式。

当时，我们都被这个看起来有点复杂的公式给难住了。老师在黑板上写下：$N(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x -

x_0)(x - x_1) + \cdots + f[x_0, x_1, \cdots, x_n](x - x_0)(x - x_1) \cdots (x -

x_{n-1})$ ，然后开始给我们讲解每个部分的含义。

老师说，这个公式就像是一个神奇的魔法，能够通过已知的几个点，帮我们推测出其他未知点的大致情况。比如说，我们知道了一些温度随时间变化的几个特定时间点的数值，用牛顿插值法公式就能大概猜到其他时间点的温度。

咱来仔细瞅瞅这个公式。首先，$f[x_0]$ 就是我们已知的第一个点的函数值。而 $f[x_0, x_1]$ 呢，它叫一阶差商，计算方法是

$\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$ 。再往后的二阶差商 $f[x_0, x_1,

x_2]$ 、三阶差商 $f[x_0, x_1, x_2, x_3]$ 等等，计算起来就更复杂一点啦，但原理都是相通的，就是通过不断地找差值的差值来找到规律。

举个简单的例子吧。假设我们知道三个点，$(1, 2)$ 、$(2, 5)$ 和

$(3, 10)$ 。先算一阶差商，$f[1, 2] = \frac{5 - 2}{2 - 1} = 3$ ，$f[2, 3] = \frac{10 - 5}{3 - 2} = 5$ 。然后算二阶差商，$f[1, 2, 3] = \frac{5 - 3}{3 -

1} = 1$ 。这样，我们就能用牛顿插值法公式写出通过这三个点的插值多项式啦。

举例来看：可以认为某水文要素T随时间t的变化是连续的，某一个测点的水文要素T可以

看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算

来获取任意时间上的要素值。

①平均值法：若求T

i和T

i+1之间任一点T，则直接取T为T

i和T

i+1的平均值。

插值公式为：T=T

i+T

i+12

②拉格朗日（Lagrange）插值法：若求T

i和T

i+1之间任一点T，则可用T

i-1、T

1、T

i+1三个点

来求得，也可用T

i、T

i+1、T

i+2这三个点来求得。

前三点内插公式为：T=(t-t

i)(t-t

i+1)

(t

i-1-t

i)(t

i-1-t

i+1) T

i-1+(t-t

i-1)(t-t

i+1)

(t-t

i-1)(t-t

i+1) T

i+(t-t

i)(t-t

i-1)

(t

i+1-t

i)(t

i+1-t

i-1) T

i+1

后三点内插公式为：T=(t-t

i+1)(t-t

i+2)

(t

i-t

i+1)(t

i-t

i+2) T

i+(t-t

i)(t-t

i+2)

(ti-t

i)(t

i-t

i+2) T

i+1+(t-t

i)(t-t

i+1)

(t

i+2-t

i)(t

i+2-t

i+1) T

i+2

为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。

③阿基玛（Akima）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T

i和T

i+1满足：

f(t

i)=T

i dfdt |

t-ti=k

i f’(t

i+1)=T’

i dfdt |

t-ti+1=k

i+1

式中k

i，k

i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：

T=P

0+P

1(t-t

i)+P

2(t-t

i)2+P

3(t-t

i)3，来对T

i和T

i+1之间的一点T进行内差。

④牛顿（Newton）插值法：若求T

i和T

i+1之间任一点T，插值公式为：

T=f(x

0)+(x-x

0)f(x

0,x

1)+ (x-x

0)(x-x

1)f(x

0,x

1,x

2)+…+(x-x

0)(x-x