辛普森(simpson)公式

⾟普森积分法定积分函数f(x) 在区间 [l,r] 上的定积分∫r l f(x)dx指的是f(x) 在区间 [l,r] 内与x轴所围成的区域的⾯积（x轴上⽅为正，下⽅为负）。

我们需要⼀种⾼效的求解这种积分的近似值的⽅法，于是就有了⾟普森积分法。

普通⾟普森法⾟普森法的基本思想是将求解区间分成若⼲段，每⼀段都使⽤⼆次函数的积分公式来进⾏求解。

⼆次函数积分公式（⾟普森公式）：对于⼀个⼆次函数f(x)=Ax2+Bx+C，有∫r l f(x)d x=(r−l)(f(l)+f(r)+4f(l+r2))6证（from OI-Wiki）：求积分可得F(x)=∫x0f(x)d x=a3x3+b2x2+cx+D那么则有∫r l f(x)d x=F(r)−F(l)=a3(r3−l3)+b2(r2−l2)+c(r−l)=(r−l)(a3(l2+r2+lr)+b2(l+r)+c)=r−l6(2al2+2ar2+2alr+3bl+3br+6c)=r−l6((al2+bl+c)+(ar2+br+c)+4(a(l+r2)2+b(l+r2)+c))=r−l6(f(l)+f(r)+4f(l+r2))然后我们通过套公式就可以写出这样⼀段代码：double simpson(double l, double r) {const double mid = (l + r) / 2;return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6; //f(x)为待求解的函数}⾃适应⾟普森普通的⾟普森积分法为了保证精度，在时间效率上会很⼤地受到区间的限制。

问题在于：区间少了精度不够，区间多了⼜太慢。

⾃适应⾟普森做到了⾃动控制拆分区间的⼤⼩。

double asr(double l, double r, double eps, double ans) {const double mid = (l + r) / 2;const double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps)return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;return asr(l, mid, eps / 2, fl) + asr(mid, r, eps / 2, fr);}到了这⾥，你就可以去做了！Processing math: 100%。

辛普森公式龙贝格算法辛普森公式与龙贝格算法 辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。

它们可以用于计算函数的定积分，通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题来求解。

下面将介绍辛普森公式和龙贝格算法的原理和应用。

辛普森公式是一种通过将函数划分为多个小区间，并在每个区间内使用二次多项式逼近函数曲线的方法来求解定积分。

该公式的基本思想是将函数曲线近似看作是由一系列抛物线段组成的，然后通过对这些抛物线段的面积进行求和来获取整个函数曲线下的面积。

辛普森公式的推导基于牛顿-科特斯公式，通过将区间划分为偶数个小区间，并在每个小区间内使用二次多项式逼近函数曲线来计算定积分。

这种方法可以大大提高计算的精确性，尤其在对曲线进行高精度逼近时特别有效。

龙贝格算法是一种迭代方法，通过逐步细化区间格点来逼近定积分的方法。

它的基本思想是将区间进行二等分，然后通过递归地对子区间进行步长缩放和函数值计算，以获得更加精确的数值积分结果。

龙贝格算法的核心是通过不断加密区间格点和调整步长来逐渐提高计算精度，直到满足预设的误差要求。

这种方法在计算复杂函数的定积分时非常有用，它能够自适应地调整计算步长，并在迭代过程中逐渐收敛到期望的结果。

辛普森公式和龙贝格算法在数值计算中广泛应用于求解定积分问题。

它们适用于各种类型的函数，包括连续函数、平滑函数和非平滑函数。

通过适当选择区间划分和迭代次数，可以有效地控制计算误差，并获得满足要求的数值积分结果。

这种方法相对于传统的数值积分方法具有更高的精确性和可靠性，能够满足各种实际应用的计算需求。

总之，辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。

它们通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题，并利用适当的逼近和迭代方法来提高计算精度。

这些方法在实际应用中具有很高的灵活性和可靠性，可以应对各种类型的函数和积分问题。

通过合理应用辛普森公式和龙贝格算法，我们能够更准确、更快速地求解定积分，为科学研究和工程计算提供有力的支持。

关于复化辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用天津西站项目部刘思传摘要：本文里利用辛普森公式导证了线路坐标计算的公式，并在卡西欧FX-4800P计算器中编写了中边线坐标计算的源程序。

关键词：复化辛普森公式，线路坐标计算，曲率。

一.引言随着我国道路建设等级和质量水平的飞速发展，公路、铁路建设的机械化和日产量日益提高，促使施工中在满足设计精度的前提下，尽可能快速、准确地进行测量放样和检查工作，本文线路曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了线路坐标计算的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。

二.复化辛普森公式数学模型把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。

记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。

复化辛普森积分计算公式而，称(1)式(1)即为辛普森复化公式。

三.线路坐标计算2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算如图1，设回旋曲线起点A 的曲率为A ρ，其里程为DK A ；回旋曲线终点B 的曲率为B ρ，其里程为DK B ，Ax ’'y 为以A 为坐标原点，以A 点切线为'x 轴的局部坐标系；Axy 为线路坐标系。

由此回旋曲线上各点曲率半径为R i 和该点离曲线起点的距离ﺎi 成反比，故此任意点的曲率为 c l R i i i /1==ρ（=为常数）. （2）y'YB图1由式（2）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i 点的曲率为)(A i A B AB A i DK DK DK DK ---+=ρρρρ （3） 当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。

在图1中有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===⎰I A DK DK i i i dl dl dl R d ρβρβ1 （4）将式（3）代入式（4）得πρρβ180*)(2A i Ai i DK DK -+= （5）若已知回旋曲线起点A 在线路坐标系下切线坐标方位角αA ，则里程为Dk i 点切线坐标方位角为i A i βαα+= π180 （6）将式(5)代入式（6）得*)(2A i Ai A i DK DK -++=ρραα π180（7）对于式(7)，当，时，，则a i =a A ，式(7)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，，，则式(7)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。

辛普森公式是什么
辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。

利用区间二等分的三个点来进行积分插值。

其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6.
设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为
V=H（S_1+4S_0+S_2）/6.
式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积（即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积）。

事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积。

辛普森程序程序名：ZBJSLb1 0:M" (ZHI JING)X": N" (ZHI JING)Y": U" (HOU SHI)X" : V" (HOU SHI)Y":I=0:J=0:Pol(U-M,V-N):Z [7]=I: "JU LI": Z [7]◢W=J:J<0⇒J=J+360Δ" FWJ":J→DMS◢Lb1 1:｛EG｝: A"XA": B"YA": C"CA"→DMS D"1÷RA": E"1÷RB":F"DK A": G"DKB"↵Lb1 2: ｛HOR｝: H"DKI": O"DL": R"DR":H>G⇒Goto3Δ↵P=(E-D) ÷Abs(G-F): Q= Abs(H-F): S= P×Q: T=D+S ↵L=C+( S+2D) Q ×90÷π: L＜0⇒L = L+360Δ"J=":L→DMS◢Z [1]=C+( S ÷4+2D) Q×45÷(2π): Z [2]=C+(3 S ÷4+2D) Q ×135÷(2π)↵K=C+( S÷2+2D)Q ×45÷π↵"X=": X=A+(Q÷12×(cosC+4(cos Z [1] + cos Z [2])+2 cos K + cosL)◢"Y=": Y=B+(Q÷12×(sinC+4(sin Z [1] + sinZ [2]) +2 sin K +sin L)◢I=0:J=0:Pol(X-M,Y-N):Z=J-W:Z＜0⇒Z=Z+360Δ"Z(JIAO DU)":Z→D MS◢"Z(JU LI)":I◢"XL=": Z [3]=X+Ocos(L-90)◢"YL=": Z [4]= Y+Osin (L-90)◢I=0:J=0:Pol(Z [3]-M, Z [4]-N):Z=J-W:Z＜0⇒Z=Z+360Δ"L(JIAO DU)": Z→DMS◢"L(JU LI)":I◢"XR=": Z [5]=X+Rcos(L+90)◢"YR=": Z [6]= Y+Rsin (L+90)◢I=0:J=0:Pol(Z [5]-M, Z [6]-N):Z=J-W:Z＜0⇒Z=Z+360Δ"R(JIAO DU)": Z→DMS◢"R(JU LI)":I◢(A= X : B= Y : D=E: C= L : F=H:) Goto2↵Lb1 3:A= X : B= Y : D=E: C= L : F=G: Goto1↵注：括号闪烁（）中内容可省略。

辛普森法则公式举例好的，以下是为您生成的关于“辛普森法则公式举例”的文章：在数学的奇妙世界里，有一个叫做辛普森法则的家伙，它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决不少复杂的计算问题。

先来说说啥是辛普森法则吧。

简单来讲，辛普森法则是一种用于数值积分的方法。

比如说，我们要计算一个曲线下面的面积，但是这个曲线的形状又很奇怪，不好直接算，这时候辛普森法则就派上用场啦。

给您举个例子哈。

假设我们有一个函数 f(x) = x² + 2x + 1 ，要计算它在区间 [0, 2] 上的面积。

我们把区间 [0, 2] 分成 n 等份，这里为了简单，咱就先分成 2 等份吧，那每个小区间的长度就是 1 。

然后计算每个区间端点和中点的函数值。

在区间 [0, 1] ，端点是 0 和 1 ，中点是 0.5 。

f(0) = 1 ，f(1) = 4 ，f(0.5) = 1.75 。

在区间 [1, 2] ，端点是 1 和 2 ，中点是 1.5 。

f(1) = 4 ，f(2) = 9 ，f(1.5) = 5.25 。

接下来，就可以用辛普森法则的公式来计算啦。

面积≈ （区间长度 / 3 ）× [ (f(x₀) + f(xₙ)) + 4 × (f(x₁) + f(x₃) +... + f(xₙ₋₁)) + 2 × (f(x₂) + f(x₄) +... + f(xₙ₋₂)) ]在这里，区间长度是 2 ，n = 2 。

所以面积≈ （2 / 3 ）× [ (1 + 9) + 4 × (4 + 5.25) + 2 × 1.75 ] 。

经过计算，就可以得到这个函数在区间 [0, 2] 上的近似面积啦。

我记得有一次，我给班上的学生讲这个辛普森法则。

有个调皮的小家伙，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这也太复杂了，我感觉我的脑袋要转不过来了。

”我笑着对他说：“别着急，咱们一步一步来，你会发现它其实就像玩游戏一样有趣。

辛普森公式推导好的，以下是为您生成的关于“辛普森公式推导”的文章：在数学的奇妙世界里，有一个叫做辛普森公式的家伙，它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们更准确地计算一些图形的面积。

今天咱们就一起来瞧瞧这辛普森公式到底是怎么推导出来的！记得有一次，我在给学生们讲解这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这公式到底是从哪儿冒出来的呀？”看着他那求知若渴的模样，我就知道得好好给他讲讲这背后的奥秘了。

咱们先来说说什么是辛普森公式。

它主要是用来近似计算曲线下的面积的。

比如说，给你一条弯弯扭扭的曲线，要你算它和坐标轴围成的面积，这可不好直接算吧？但辛普森公式就能帮上大忙。

那它是怎么来的呢？咱们假设要计算的区间是 [a, b]，然后把这个区间平均分成 n 等份，每个小区间的长度就是 h = (b - a) / n 。

接下来，咱们在每个分点上取值，分别记为 f(a) 、f(a + h) 、f(a +2h) ...... f(b) 。

然后，辛普森公式就闪亮登场啦！它的表达式是：S = (h / 3) * [f(a)+ 4f(a + h) + 2f(a + 2h) + 4f(a + 3h) + 2f(a + 4h) +... + 4f(b - h) + f(b)] 。

那为啥会是这样呢？咱们来仔细琢磨琢磨。

想象一下，咱们把这个曲线下的面积近似地看成是由一个个小曲边梯形组成的。

对于相邻的三个点，比如 a 、a + h 、a + 2h ，咱们可以用一个二次抛物线来近似这一小段曲线。

通过一番复杂但有趣的数学推导（这里就不详细展开啦，不然脑袋都要晕啦），就可以得到这一小段抛物线所围成的面积的近似表达式，然后把所有这样的小段面积加起来，就得到了辛普森公式。

回到刚刚那个好奇的小家伙，我给他画了好多图，举了好多简单的例子，他终于有点开窍啦，脸上露出了那种“哦，原来是这样”的表情，可把我乐坏了。

其实啊，数学里的很多公式定理都不是凭空出现的，都是前辈们通过不断地思考、尝试、推导得出来的。

复化simpson公式Simpson公式是求积分的重要方法，由英国数学家Thomas Simpson在1743年提出。

Simpson公式的基本思想是将定积分的区间分成n个等分，每个等分被近似地看成一个三角型，以此来计算定积分的值。

首先，根据Simpson公式，将积分区间[a, b]等分为n个点：X0 = a，X1 = a + h，X2 = a + 2h，…，Xn = b。

其中，h = (b – a)/n。

接着，假定函数f(x)在[a, b]上可以用n次多项式来近似，即f(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn。

然后，根据Simpson公式，可以得到定积分的近似值：∫abf(x)dx ≈ h/3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + … + 4f(xn-1) + f(xn)]上式就是Simpson公式的原始形式，它的精确度和n的大小有关，当n越大时，Simpson公式的精确度越高。

基于Simpson公式，还有一种叫做复化Simpson公式的积分计算方法。

复化Simpson公式把定积分区间分成多个子区间，在每个子区间上使用Simpson公式计算，然后把所有子区间的积分值加起来，就可以得到定积分的近似值。

例如，把[a, b]分成n个子区间[x0, x1]，[x1, x2]，…，[xn-1, xn]，它们的积分值分别为I1，I2，…，In，则复化Simpson公式的结果为：∫abf(x)dx ≈ I1 + I2 + … + In复化Simpson公式比单一Simpson公式更容易理解和使用，它还可以提高计算精度，使用复化Simpson公式可以得到更准确的结果。

从上面可以看出，Simpson公式是一种简单、高效的积分计算方法，它可以使用复化Simpson公式提高精度，在很多工程和科学应用中都得到了广泛的应用。

自适应辛普森法积分算法推导辛普森法（Simpson's rule）是一种数值积分方法，用于近似计算给定函数在指定区间上的定积分。

它通过将函数曲线近似为一系列抛物线来进行积分，从而提高计算精度。

假设要计算函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，首先将区间 [a, b] 平均分成 n 个子区间，其中每个子区间的宽度 h = (b-a)/n。

则辛普森法积分的公式可以表示为：∫[a,b] f(x) dx ≈ (h/3) * [ f(a) + 4*f(a+h) + f(a+2h) + 4*f(a+3h) + ... + 2*f(a+(n-1)h) + f(b) ]上述公式中的 f(a), f(b) 分别表示函数 f(x) 在区间端点 a 和 b 处的函数值，而 f(a+h), f(a+2h), ... , f(b-h) 则表示函数 f(x) 在区间内部各个节点的函数值。

下面我们来推导上述公式。

首先，我们将积分区间 [a, b] 平均分成 n 个子区间，每个子区间的宽度为 h = (b-a)/n。

对于辛普森法，我们要以每两个子区间作为一个整体来进行计算。

作为抛物线近似，我们可以将每个子区间的函数曲线近似为一个二次函数，该二次函数经过子区间的三个节点：节点 a、子区间的中点 a+h/2，以及节点 b。

我们用二次多项式 g(x) 来近似子区间上的函数 f(x)，则 g(x)可以表示为：g(x) = A(x-a)(x-a-h) + B(x-a)(x-b) + C(x-a-h)(x-b)其中 A、B 和 C 是待定系数，我们可以通过将 g(x) 代入 f(x) 上的积分公式，并利用积分区间端点处的函数值来求解这些系数：∫[a+h/2,b-h/2] g(x) dx = ∫[a+h/2,b-h/2] f(x) dx将 g(x) 和 f(x) 的具体表达式代入上述积分式中，我们可以得到：(A/3) * h^2 + (4B/3) * h^2 + (C/3) * h^2 = ∫[a+h/2,b-h/2] f(x) dx将积分区间 [a+h/2,b-h/2] 平均分成 m 个小子区间，每个小子区间的宽度为 H = h/m。

Simpson算法及其推广形式摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。

首先是对一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及其算法，进行误差分析，并且列举了实例。

然后，对辛普森公式进行改进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛普森公式对积分的计算更加精确。

另外，还研究了辛普森公式的推广形式。

最后，在结论的当中列举了一个例子。

关键词：辛普森公式算法改进推广形式二重积分的辛普森公式Abstract：This paper first studies the calculation methods of the numerical integration in simpson formula, and then study of the long-simpsonformula and the double integral simpson formula problem. First, study thealgorithm and derived of one-dimensional simpson formula andstep-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpsonformula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this ,improve the simpson formula. This improved the most important is toincre ase the simpson formula’s accuracy of algebra. Besides, we study thesimpson formula’s promotion of forms. At the last, we list a example inthe conclusion.Key word:The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The simpson formula of the two-dimensional integral.1 引言辛普森公式主要的研究数值积分（numerical integration）的。

辛普森体积公式好的，以下是为您生成的关于“辛普森体积公式”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，有各种各样神奇的公式，就像藏在宝库里的珍宝，等待着我们去发现和运用。

今天，咱们就来聊聊这个有点特别的“辛普森体积公式”。

记得我以前教过一个学生叫小明，这孩子可有意思了。

刚开始接触立体几何的时候，那叫一个头疼，每次看到体积相关的题目都愁眉苦脸的。

有一次课堂上，我刚提到要讲辛普森体积公式，他就一脸迷茫地看着我，那小眼神仿佛在说：“老师，这又是什么高深的魔法呀？”咱们先来说说这个辛普森体积公式到底是啥。

它呀，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开求解一些不规则几何体体积的大门。

公式看起来有点复杂，但其实理解起来也没那么难。

简单来说，就是通过把几何体沿着某个方向进行等分，然后计算这些等分点对应的截面积，再按照特定的规律进行加权求和，最后就能得出体积啦。

比如说，咱们有一个形状怪怪的花瓶，上下粗细不一样，用常规的体积公式根本没法解决。

这时候辛普森体积公式就派上用场啦！把花瓶沿着高度方向等分成几段，测量出每个等分点处的横截面面积，然后按照公式一套，嘿，体积就出来了！回到小明这孩子身上。

为了让他搞懂这个公式，我给他举了个特别形象的例子。

我拿了一块橡皮泥，捏成了一个不规则的形状，然后跟他说：“小明啊，你看这橡皮泥，咱们要是想知道它的体积，常规办法不好使，但是用辛普森体积公式就能搞定。

”我一点点给他演示怎么划分，怎么测量，怎么计算。

小明那专注的小眼神，紧紧盯着我的手，时不时还点点头。

经过几次这样的讲解和练习，小明终于开窍啦！有一次做作业的时候，遇到一道挺难的体积题目，其他同学都还在抓耳挠腮，小明居然很快就用辛普森体积公式做出来了。

他那兴奋的样子，跑到我面前说：“老师，这个公式太好用啦！”看着他那得意的笑容，我心里也特别欣慰。

在实际生活中，辛普森体积公式也有不少用武之地呢。

比如说工程师在设计一些特殊形状的建筑物或者零件时，就需要用到这个公式来精确计算体积，从而保证设计的合理性和安全性。

复合辛普森公式的代数精度是指该公式在计算过程中所能达到的最高精度，即在计算过程中所能保留的信息。

具体来说，对于给定的初值问题，使用复合辛普森公式进行数值求解时，其代数精度取决于所采用的离散格式的阶数和所使用的时间步长。

具体来说，假设使用的离散格式是二阶中心差分格式，时间步长为h，则复合辛普森公式的代数精度为2h + 1。

这是因为在该离散格式下，复合辛普森公式的计算过程可以表示为：
u_i + h/2 (u_i+1 + u_i-1)
其中，u_i 表示在时间t 的时刻，距离时间t 的时间步长为h 的时刻的状态。

因此，复合辛普森公式的计算过程中，保留了初值和时间步长的一半，因此代数精度为2h + 1。

需要注意的是，代数精度是一个理论上的概念，实际计算中由于数值计算误差等因素的影响，实际精度可能会有所偏差。

因此，在进行数值计算时，需要进行误差分析和比较，以确定实际精度是否符合预期。

辛普森法则求积分
辛普森法则是一种数值积分方法，用于近似计算函数的定积分。

这种方法将定积分区间分成若干个等宽子区间，并在每个子区间内用一个二次函数逼近被积函数。

然后通过对这些二次函数进行积分，得到整个定积分的近似值。

具体而言，设被积函数为$f(x)$，积分区间为$[a,b]$，将积分区间等距地分成$2n$个子区间，每个子区间的长度为$h=\frac{b-a}{2n}$。

则辛普森法则的近似公式为：
$$
\int_a^bf(x)dx\approx\frac{h}{3}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+2ih)+4\s um_{i=1}^nf(a+(2i-1)h)+f(b)\right]
$$
其中$f(a)$和$f(b)$是被积函数在积分区间端点处的函数值，$f(a+2ih)$和$f(a+(2i-1)h)$是偶数项和奇数项的子区间中心点处的函数值。

这个公式可以通过简单的代数运算和积分计算得到，它的精度随着子区间数的增加而增加，当子区间数增加至一定程度时，可以得到较高的精度。

复合辛普森公式计算复合辛普森公式是数值分析中用于计算定积分近似值的一种重要方法。

对于咱们从小学到高中的学习阶段来说，可能接触得不多，但在大学的数学课程里，那可是个“常客”。

咱先来说说这个复合辛普森公式到底是咋回事。

简单来讲，它就是把一个积分区间分成好多小段，然后在每个小段上用二次函数去近似原来的函数，最后把这些小段的积分值加起来，就得到了整个区间的近似积分值。

比如说，有个函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 ，要计算它在区间 [0, 5] 上的定积分。

咱就可以用复合辛普森公式来搞一搞。

那这个公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿。

之前我有个学生，叫小李，特别喜欢钻研数学。

有一次，老师布置了一道用数值方法计算定积分的作业，别的同学都觉得太难，随便糊弄一下就交差了。

可小李不一样，他就盯上了这复合辛普森公式。

他先是认真地把教材翻了好几遍，把公式的原理和推导过程弄得明明白白。

然后呢，就开始动手算那道作业题。

算的过程中，一会儿抓耳挠腮，一会儿又眉开眼笑。

我在旁边观察着，心里挺好奇他到底能不能算出来。

只见他一会儿在纸上写满了密密麻麻的式子，一会儿又擦掉重新来过。

终于，经过几个小时的奋战，他算出了结果，而且和标准答案几乎一模一样！他那兴奋的劲儿啊，就别提了，感觉像是发现了新大陆。

从那以后，小李对数学的兴趣更浓了，成绩也越来越好。

这复合辛普森公式啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一些复杂问题的大门。

在实际应用中，比如在物理学中计算曲线下的面积，工程学中计算不规则图形的面积等等，都能派上用场。

要想熟练掌握复合辛普森公式，可得下一番功夫。

首先，得把公式记牢，这是基础。

然后，多做几道练习题，找找感觉。

总之，复合辛普森公式虽然有点复杂，但只要咱有耐心，有决心，就一定能把它拿下！希望同学们在学习数学的道路上，遇到像复合辛普森公式这样的难题时，不要害怕，勇敢地去探索，说不定会有意外的收获呢！。

r语言辛普森求积公式代码含义在R语言中，辛普森求积（Simpson's Rule）是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

辛普森求积公式的代码含义包括了对定积分进行近似求解的算法以及在R语言中的具体实现。

1. 算法原理辛普森求积公式是基于对定积分进行区间划分，然后利用插值多项式来逼近被积函数。

其基本思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间内利用插值多项式对被积函数进行逼近，最后再将这些小区间的逼近值相加得到整个积分的近似值。

2. R语言实现在R语言中，辛普森求积公式的代码通常使用内置的函数来实现，比如`integrate()`函数。

这个函数可以直接对给定的被积函数进行积分计算，并返回近似的积分值。

另外，在R语言中也可以自定义函数来实现辛普森求积的算法，从而更加灵活地应用于不同的情景。

3. 个人观点和理解辛普森求积公式是一种相对精确的数值积分方法，尤其适用于被积函数比较平滑的情况。

在实际应用中，我们可以通过R语言中的内置函数或自定义函数来使用辛普森求积进行积分计算，从而更好地处理各种实际问题。

总结和回顾通过本文的介绍，我们了解了辛普森求积公式的算法原理以及在R语言中的实现方式。

希望通过实际的例子和实践，读者能更加深入地理解和运用辛普森求积公式，在数值积分和数据分析领域取得更好的效果。

通过对辛普森求积公式代码含义的探讨，我们展示了在R语言中如何使用这个经典的数值积分方法，并希望读者能从中受益并加深对其理解。

辛普森求积公式是一种经典的数值积分方法，它的原理是通过对定积分区间进行适当的划分，然后利用插值多项式来逼近被积函数，最终得到定积分的近似值。

在R语言中，我们可以使用内置的`integrate()`函数来实现辛普森求积，也可以自定义函数来灵活应用。

下面将进一步介绍辛普森求积的原理和R语言中的实现方式，以及一些实际应用中的例子。

让我们来回顾一下辛普森求积公式的算法原理。

当我们需要对一个函数进行定积分时，辛普森求积的基本思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间内利用插值多项式对被积函数进行逼近。

辛普森指数公式
辛普森指数，也称为辛普森多样性指数，是用来衡量一个生态系统中物种多样性的指标。

它是由生态学家路德维格·辛普森提出的，以确定某一生态系统中元素之间的多样性和相互关系。

辛普森指数的计算公式为：D = 1 -Σ(ni/N)^2，其中D表示辛普森指数，ni 表示第i个物种的个体数，N表示所有物种的个体数之和。

这个公式可以理解为：1减去所有物种中每个物种个体数占总个体数比例的平方和。

辛普森指数的值域在0到1之间，越接近1表示多样性越大，越接近0表示多样性越小。

这是因为当所有物种的个体数都相等时，每个物种的比例都是1/n （n为物种数），其平方和最小，此时D值最大，表示多样性最大；而当只有一个物种时，其比例为1，平方和也为1，此时D值为0，表示多样性最小。

辛普森指数在生态学研究中的应用非常广泛。

它可以用来比较不同生态系统或区域的物种多样性水平，也可以用来研究生态服务功能和生态系统的恢复能力等方面。

此外，值得注意的是，在实际运用中，根据具体的研究背景和需求，可以选择使用D（抽出相同种的概率）或1-D来计算辛普森指数。

因此，在使用辛普森指数时，需要明确具体的研究目的和方法，以确保结果的准确性和可靠性。

摘要在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。

曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关.本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题.关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发目录引言 (1)第一章曲线拟合 (2)§1.1 基本思想及基本概念 (2)§1.1.1 方法思想 (2)§1.1.2几个基本概念 (2)§1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4)§1.2.1辛普森求积公式的定义 (4)§1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5)§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5)§1.2.4辛普森公式的应用 (6)第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7)§2.1 复化辛普森求积公式 (7)§2.1.1问题的提出 (7)§2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7)§2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8)§2.1.4复化辛普森公式的应用 (9)§2.2 变步长辛普森求积公式 (10)§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10)§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12)§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13)§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14)§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14)§2.2.6小结 (14)§2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14)参考文献 (16)附录A (17)附录B (18)附录C (21)引言辛普森是英国数学家.1710年8月20日生于波士沃希；1761年5月14日卒于波士沃希.在定积分近似计算中，以他的姓来命名的“辛普森公式”，虽早在他之前牛顿的学生柯特斯（Cotes）和斯特林就已经得出了（包括一些更高阶的近似公式），但真正广泛地为人所知并加以应用，则是1743年辛普森重新发现之后的事了.辛普森的工作使牛顿的微积分学说得到了进一步完善.在我们的日常生活中计算积分与我们的生活生产密切相关.所以掌握数值积分方法是学生储备知识能量的武器.数值积分的一个基本的计算策略，用易于积分的简单函数来逼近曲线)y .f(x 简单曲线下面的面积近似等于)f下面的面积.如果涉及初等函数的积分找不到其(x他由初等函数构成的解析表达式，或者只在一些离散的x点上知道函数的值，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.那么就必须对定积分进行数值逼近.数值积分实现是将整个闭区间]f进行(x,[ba划分为N个小段，在每个小段上对)低阶分段多项式逼近.对每个小段上的逼近多项式积分时，就得到基本公式.基本公式只涉及足够多的))f(xx对来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到N个小段并,(把结果相加得到复合公式，或称为扩展公式. 在一个小段中节点的位置和数目决定了基本公式的很多重要特性.当节点均匀分布时，所有的积分公式称为牛顿—柯特斯公式.例如，梯形、辛普森、柯特斯求积公式等.经典辛普森求积公式来源于Lagrange插值多项式的应用，它的代数精度高达3阶，其形变后的代数精度高达4阶，且二者都具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度，是定积分近似计算常使用的方法，一直是理工科大学生必修的内容. 下面将给出具体辛普森求积公式的具体思想以及其算法程序设计并给出将其拓展后在实际工程问题中的应用.第一章 辛普森求积公式的理论实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理，对积分dx x f I ba ⎰=)(只要找到被积函数)(x f 的原函数)(X F ,便有下列牛顿-莱布尼茨公式：⎰-=b a a F b F dx x f )()()(，但实际计算dx x f ba ⎰)(往往遇到一些困难，如: 1))(x f 的原函数不能用初等函数表示，故不能用牛顿-莱布尼茨公式计算.2) 虽然找到了)(x f 的原函数, 但因表达式过于复杂而不便应用牛顿-莱布尼茨公式.3) )(x f 在许多实际问题中是以列表函数的形式给出, 即仅仅知道其在一些节点处的函数值， 牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题，数值积分是解决上述困难的一种有效方法.§1.1基本思想及基本概念§1.1.1 方法思想由定积分中值定理：b a a b f dx x f I b a ≤≤-==⎰ξξ),)(()(可知: 积分可以通过被积函数在ξ处的值得到. 由于积分中值定理仅仅告诉我们ξ在一定条件下是存在的, 但并没有给出确定ξ的方法. 一个很自然的想法就是利用被积函数)(x f 在节点b x x x x a n =≤≤≤= 210处函数值的加权平均来替代(近似))(ξf , 按此思想有)()(0i ni i b a x f A dx x f ∑⎰=≈ （1-1） 这就是数值求积的思想（有效地解决了本章开始提出的问题），权因子i A 和节点i x n i ,,2,1,0 =的不同确定方法就对应不同的数值求积公式.§1.1.2 几个基本概念定义1.1 称形如(1-1)式的求积公式为机械求积公式,其中i A 仅节点的选择与)(x f 无关，b x x x x a n =≤≤≤= 210称为求积节点，i A （n i ,,2,1,0 =）称为求积系数.定义1.2 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,而对于1+m 次多项式就不准确成立, 则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）.注1.1 a) m 越大近似程度越高，标志着使函数准确成立的“个数”越多，但代数精度不是唯一衡量标准.b) 若机械求积公式的代数精度0≥m ，则有a b A ni i -=∑=0.c) 若机械求积公式的代数精度为m ，即当m x x x f ,,1)(=时，由（1.1）式可得，对任意次数不超过m 的k 次多项式m k x P k ≤),(有)()(0i k ni i b a k x P A dx x P ∑⎰=≡. d) 代精度的高低, 从侧面反映求积公式的精度高低.定义1.3 称求积公式∑==nk k k n x f A I 0)(为插值型求积公式，式中求积系数k A 通过插值基函数.,1,0)())(()()())(()()(110110n k x x x x x x x x x x x x x x x x x l n k k k k k k n k k k =--------=+-+- 积分求得，即 .,,1,0,)(n k dx x l A b a k k ==⎰ （1-2）定理1.1 插值型求积公式的代数精度至少为n 次.定义1.4 若节点将被积区间等分成n 等分, 即.,2,1,0,n i i na b a x i =-+=则相应的插值求积公式称为Newton-Cotes (牛顿-柯特斯)求积公式. 即等距节点情形下的插值求积公式称为牛顿-柯特斯公式, 相应的求积系数称为Cotes 系数. 常见的几个简单求积公式( Newton-Cotes 公式)，如表1-1所示：表1-1 几种简单N-C 求积公式总结表 n 名称形式 1=n 梯形求积公式)]()([2)(b f a f a b T dx x f b a +-=≈⎰ 2=n 辛普森求积公式 )]()2(4)([6)(b f b a f a f a b S dx x f ba +++-=≈⎰4=n 柯特斯求积公式 )](7)(32)(12)(32)(7[90)(321b f x f x f x f a f a b C dx x f b a ++++-=≈⎰其中.1,,1,,-=-=+=n k na b h kh a x k 注1.2 a ）8≥n 时，N-C 公式出现数值不稳定.b ）n 为偶数时，N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，n 为奇数时，N-C 公式的代数精度至少为n 次.定义1.5 截断误差: 由（1-3） 当1=n 时可得梯形求积公式的截断误差T R],[)(,],[,)(12)("))((2)("))((!2)("23b a C x f b a a b f dx b x a x f dx b x a x f T I R b a b a T ∈∈--=--=--=-=⎰⎰ηηηξ 类似的，可得当2=n ，4=n 时的截断误差注1.3 从截断误差公式可知，当区间长度a b -较大时，求积公式误差较大.§1.2辛普森算法基本定义及其应用§1.2.1 辛普森求积公式的定义设计积分区间],[b a 划分为n 等份，步长na b -，选取等距节点kh a x k +=构造出的插值型求积公式)()()(k n k n x f c a b I -= 为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes ）公式，式中)(n k c 称为柯特斯系数.根据插值型求积公式系数（1-2），引进变换th a x +=，则有⎰∏⎰∏≠=-≠=---=---=n kj j kn n n k j j n k dt j t n k n nk dt j k j t a b h c 0000)()()!(!)1( 当2=n 时，由上式有61)2)(1(4120)2(0=--=⎰dt t t c dx x n f x f A dx x f f R f I f I b a n n i n i i b a n n )()!1()()()(][][][1)1(0⎰∑⎰++=+=-==-ωξ64)1(2120)2(1=--=⎰dt t t c 61)1(4120)2(2=-=⎰dt t t c 则相应的求积公式是辛普森求积公式：)]()2()([6)(b f b a f a f a b dx x f s b a ++-==⎰ （1-4） §1.2.2辛普森求积公式的几何意义辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C 三点的抛物线)(x L y =代替)(x f y =所得曲边梯形面积，如图1.1所示.§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项由N-C 公式的特点知，当n 为偶数时N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，由于Simpson 求积公式为2=n 时的N-C 公式，故它的代数精度至少为3次，即3≥m将4)(x x f =代入Simpson 公式（1-4）左边5554a b dx x b a -==⎰右边≠+++-=))2(4(6444b b a a a b 左边 由此可知4)(x x f =使得Simpson 求积公式不准确成立，所以3=m 即Simpson 公式代数精度为3次由N-C 公式的余项公式（1-3）知，当2=n 时可得辛普森求积公式的截断误差 y xO0 )(x L y =a 2b a + b A BC)(x f y =图1.1 辛普森求积公式的几何意义图],[)(],,[),()2(1804)4(4b a C x f b a f a b a b R s ∈∈---=ηη （1-5） §1.2.4辛普森公式的应用例1.1 用辛普森求积公式计算积分dx x x ⎰+1024. 由积分形式可知 2,1,0===n b a用辛普森公式计算有下式)]1()21(4)0([614102f f f dx x x s ++=+=⎰其中24)(x x x f +=. 计算流程图C 语言程序代码及其运算结果详见附录A分析附录A 可知 111765.04102=+⎰dx x x开始定义函数f （x ）输入n ，a ，b 的值计算h=（b-a ）/n调用函数f （x ），计算s 的值输出s 的值结束图1.2 例1.1流程图第二章 辛普森求积公式的拓展及其应用为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式，如：梯形公式或辛普森公式，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式，本章重点介绍复化辛普森求积公式.§2.1 复化辛普森求积公式§2.1.1问题的提出由截断误差可知，当区间长度a b -较大时，Newton-Cotes 求积公式的误差较大. 为构造更高精度的数值积分公式，可以采用分段低次多项式替代整体高次多项式，为此，利用积分关于区间具有可加性，将],[b a 区间上的积分，分成若干小区间上的积分，以此来减少积分区间长度引起的误差.这就引用了复化求积公式. 其基本思想是：先把积分区间分成一些长度较小的子区间，在每个子区间上使用低阶的牛顿-柯特斯公式，即利用n a b h ih a x dx x f dx x f i n i x x b a i i -=+==∑⎰⎰=-,,)()(11 并把小区间n i x x i i ,,2,1],,[1 =-上的积分dx x f ii x x ⎰-1)(用前面的方法近似求得，由此即可得到相应的复化求积公式. 最常用的是复化梯形公式和复化辛普森公式，下面学习辛普森求积公式.§2.1.2复化辛普森公式及其分析定义 2.1 将小区间n i x x i i ,,2,1],[1 =-上的积分分别用辛普森公式计算，即可得到复化辛普森公式n n i i n i i i i i b a ni S b f x f x f a f h x f x f x f h dx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121 其中221h x x i i ==-. 另一种定义形式为：用分段二次插值函数代替，记1,2,1,0,2-==m k m n 在第k 段的两个小区间上，用三个结点))(,()),(,()),(,(2222121222++++k k k k k k x f x x f x x f x 作二次插值函数)(x s k ，然后积分，求m 段之和可得整个区间上的近似积分mab h x f x f x f x f hs m k k m k k m n 2))(2)(4)()((3112101220-=+++=∑∑-=-=+ 称该求积公式为复化辛普森求积公式（抛物线公式）.定理2.1 若],,[)(4b a C x f ∈则复化辛普森公式的截断误差为b a f h a b S dx x f n b a≤≤--=-⎰ξξ),()2(180)()()4(4 且0)],()([)21(1801)("'"')4(4→-→-⎰h b f a f h S dx x f ban. 注 2.1 从误差公式可以看出当],[)(4b a C x f ∈时，n S 比n T 2的精度一般要高，但他们的计算量几乎一样.注2.2 ○1nS 属于机械型求积公式，但不属于插值型、也不属于N-C 求积公式. ○2n S 的代数精度为4次，具有稳定性和收敛性即][f I S n→（∞→n 或∞→h ）.§2.1.3复化辛普森公式计算流程图为了减少计算工作量，优化程序设计，将复化辛普森公式nni i n i i i i i b a n i S b f x f x f a f hx f x f x f hdx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121改写为])}2(])12([2{)]()([5.0[3}])12([2)2()]()([5.0{3}])12([4)2(2)()({61111111∑∑∑∑∑==-=-=-++-++--=-+++++-=-+++++-=n i n i n i n i ni n ih a f h i a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f a b S 则于此相对应的辛普森流程图为：§2.1.4 复化辛普森公式的应用例2.1 用复化辛普森公式计算正弦积分的近似值.分析该积分可知,sin )(dx xxx f =0=a ，1=b 则 125.081==-=n a b h 为步长C 语言程序代码及其运算结果详见附录B 由此可知94608.04=S开始输入A,B,NH=（B-A ）/（2*N ）S=0.5*（F （A ）- F （B ）），调用函数FS=S+2*F[A+（2*I-1*H ）]+（F （A+2*I*H ）），调用函数FS=（B-A ）/（3*N ）S输出S结束I=1,N定义函数F++I8sin 10==⎰n dxx xS n 图2.1 复化辛普森算法流程图例2.2 用复化辛普森公式计算定积分84102=+⎰n dx x x. 分析该积分可知24)(x x x f +=，0=a ，1=b 则125.081==-=n a b h 为步长 C 语言程序代码及其运算结果详见附录B. 由此可知11157.04=S在利用插值型求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径.一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积的阶数.但是，由于插值多项式的阶数越高，其逼近性质未必好（即精度未必能提高），因此，牛顿-柯特斯公式的阶数越高，其积分精度也未必越高，工程上一般只作到六阶牛顿-柯特斯公式（即龙贝格公式）为止.二是采用复化公式，尽量减小每个求积小区间的长度.在实际应用时，往往将两种方法混合使用，以便提高求积的精度.§2.2 变步长辛普森求积公式在数值积分中，精度是一个很重要的问题，如果误差太大，就没有实际意义.为了提高精度，通过需要在复化求积公式中尽量减少各细分小区间的长度，即减少步长h .显然，如果步长h 取得太大，则精度就难以保证.但是，如果步长取得太小，则计算工作量就随之增大，并且，由于项数增加，其误差积累也就增大.因此，在采用复化公式求积时，关键的问题是合理地选择步长（即合理选择对整个积分区间的细分数），以便既能满足精度要求，又不至于引起过多的误差积累和过大的计算工作量.在实际计算过程中，通常采用变步长的求积法.§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程变步长辛普森求积公式是建立在变步长梯形公式的基础上，同时它又是龙贝格算法导出的中间过程，我们知道, 若被积函数具有一定的光滑性, 则增加节点可以降低复化求积公式的截断误差.这里需要解决的问题是增加节点后的复化求积方法能否充分利用已有的计算工作量. 譬如: 若将n T 作为⎰=ba dx x f I )(的近似精度不够, 需减少步长(增加节点数)计算相应的m T 来近似I , 当然我们想要充分利用已经求得的n T .为此, 设区间n b a ],[等分后, 利用复化梯形公式已经求得n T 这一结果, 为了得到精度更高的数值结果, 我们将原有的步长折半, 即把区间],[b a 分为n 2等分, 然后应用复化梯形公式求得n T 2.下面将会看到这样既提高了精度, 又能充分利用已经求得的n T .事实上, 我们可以建立n T 与n T 2的下述递推关系. 设nab h x f x f h T n i i i n -=+=∑-=+,)]()([211 则∑∑∑∑-=+-=+-=+++-=+=++=++=1101011102)(221)(2)]()([4)]()(2)([4212121n i i n n k k n k k k i k k n h n x f h T x f h x f x f h x f x f x f hT其中nab x x h k k -=-=-1 即，∑-=+=12221n i n nh T T 新增分点的函数值 注2.3 由上述公式可知在n T 的基础上计算n T 2只需调用n 次函数即可，最大限度地节省了n T 2的计算量.加速公式的导出：由前面的误差分析，我们可以得到复化梯形公式n T 的截断误差为2)("12h f ab ξ--，即 2)("12h f ab T I n ξ--=- 类似根据复化梯形公式n T 2的截断误差为2)2)(("12hf a b η--，有 22)2)(("12hf a b T I n η-≈-两式相比可得412≈-n T I ， 其中dx x f f I I b a ⎰==)()(即)(3122n n n T T T I -≈- （2-1）注2.4 ○1公式（2-1）说明n T 2的误差可以近似地由n T 2与n T 表现， 这样就给出了复化梯形公式估计误差的事后估计法.○2由公式（2-1）还可以得到校正公式（加速公式） n n n n n T T T T T I 3134)(31222-=-+≈数值实验结果表明，在一定条件下，上式计算出来的值比原来的n T 2好得多，上述公式称为梯形公式的加速公式.梯形求积公式的实质：假设已知n T ，n T 2，则nk k k n k k k n k n k k k k k n n S x f x f x f hx f x f hx f x f hx f x f h T T =++=+-+++=-=+-=+-=-=+++∑∑∑)]()(4)([6)]()([231)]}()([4)]()([4{3431341101101012212121即n n n T T S 31342-=上式表明n T 与n T 2通过上面公式处理后，可得精度更高的n S .即复化辛普森公式，这也是加速的实质.§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程类似梯形加速公式的推导，由n S 的截断误差公式（1-5）可得][1512n n n S S S I -≈-即n n n n n S S S S S I 1511516][151222-=-+≈注2.5 ○1上述两个公式分别称为复化辛普森公式估计误差的事后估计公式及复化辛普森公式的加速公式.○2类似地可以证明： n n n S S C 15115162-=○3在求得n C ，nC 2的基础上，可以进一步加速得：龙贝格公式n n n C C R 63163642-=§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图开始 N=1，H=B-AIP=F(A)+F(B) FIC=0,X=A-H/2K=1,NX=X+HIC=IC+F(x) FI2=(4*IC+IP)*H/6N=1|I2-I|<ESPI1<=I2,IP=IP+2*ICN=N+NH=0.5*HYNNI=2I输出结束图2.2 变步长辛普森算法流程图§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码详见附录C§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用例2.3 用变步长辛普森求积公式计算定积分dx x x⎰+1024取000001.0=ε.C 语言程序代码及其运算结果详见附录C. 分析结果可知111572.04102=+⎰dx x x§2.2.6小结通过分析例1.1、2.2、2.3有下表2-1表2-1 三种算法比较 算法名称 代数精度积分形式计算结果 余项辛普森求积 3dx x x⎰+10240.111765111765.0)4ln 5(ln 21-- 复化辛普森求积 4dx x x⎰+10240.1115711157.0)4ln 5(ln 21-- 变步长辛普森求积dx x x⎰+10240.111572111572.0)4ln 5(ln 21-- 由表2-1可以得出用变步长辛普森求积公式求得的结果偏离准确值的程度最小，即其计算结果最接近准确值，其次是复化辛普森求积方法，辛普森求积方法较前述两种方法误差较大.但三种算法均具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度．在工程技术中有较为广泛的应用.§2.2.7 数值求积公式在实际工程中的应用例 2.4人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。